Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 1

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1 Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo. Dados os sinais x c (t a seguir, encontre as amostras, a representação em somatórios de impulsos deslocados, e trace os gráficos de = x c (nt a para T a =,5, e : a x c (t = cosπt T a =,5s =...+δ[n+] δ[n+]+δ[n] δ[n ]+δ[n ]+... T a = s =... δ[n+3]+δ[n+] δ[n+]+δ[n] δ[n ]+δ[n ] δ[n 3]+... T a = s =...+δ[n+3]+δ[n+]+δ[n+]+δ[n]+ +δ[n ]+δ[n ]+δ[n 3] c x c (t = t u(t.8 T a =,5s = δ[n]+,777δ[n ]+ +,5δ[n ]+,353553δ[n 3]+... T a = s = δ[n]+,5δ[n ]+,5δ[n ]+ +,5δ[n 3]+... T a = s = δ[n]+,5δ[n ]+,65δ[n ]+ +,565δ[n 3]

2 d x c (t = cos 8 t+ π T a =,5s =...+,98785δ[n +3]+,9388δ[n +]+ +,837δ[n +]+,777δ[n] + +,55557δ[n ]+,38683δ[n ]+ +,959δ[n 3]+... T a = s =...+,9388δ[n +3]+δ[n+]+ +,9388δ[n +]+,777δ[n] δ[n ],38683δ[n 3]+... T a = s =...,777δ[n +]+.777δ[n +]+ +δ[n+]+,777δ[n],777δ[n ] δ[n 3] Decomponha as sequências a seguir em somatórios de impulsos deslocados: a Sequência dada em gráfico: = δ[n+]+δ[n+3]+3δ[n +]+δ[n+]+ b Sequência dada em gráfico: +δ[n]+δ[n ]+3δ[n ]+3δ[n 3]+δ[n ] = δ[n+6],8333δ[n +5],667δ[n +],5δ[n+3],333δ[n+],67δ[n+]+,67δ[n ]+,333δ[n ]+ +,5δ[n 3]+,667δ[n ]+,8333δ[n 5]+δ[n 6] c = cos n, n < 8 = δ[n]+,77δ[n ],77δ[n 3] δ[n ] d = nmod5, n < 8.77δ[n 5]+.77δ[n 7] = δ[n ]+δ[n ]+3δ[n 3]+δ[n ]+ +δ[n 6]+δ[n 7]+3δ[n 8] 3. Dados os sinais abaixo, encontre o gráfico de x[ n],,, x[n 3], e x[n 3]:

3 3 a = u[n]. b = u[n] u[n 8] x[ n] x[ n] x[n 3] x[n 3] x[n 3] x[n 3] c = n(u[n+8] u[n 8] x[ n] x[n 3] x[n 3] ( 3π d = cos 6 n, n < 8 x[ n] x[n 3] x[n 3]

4 e = n x[ n] x[n 3] x[n 3] f = δ[n+]+3δ[n+]+δ[n] δ[n ]+δ[n ] x[ n] x[n 3] x[n 3] Dados os sinais x [n] e x [n], encontre e trace os gráficos de y [n] = x [n] + x [n], y [n] = x [n]x [n] e y 3 [n] = 3x [n] x [n]: b x [n] = cos n a x [n] = u[n] x [n] = u[ n+] x [n] = cos. ( 3π n x [n] +x [n] x [n]x [n] x [n] x [n]

5 5 c x [n] = sen 8 n x [n] = n x [n] +x [n] x [n]x [n] x [n] x [n] A função fatorial para um determinado número n é definida como n (k = n(n (n...(n k + = k (n r r= em que se define n ( =. Mostre que: e n (k = k(n (k k n (k = k! A primeira diferença é dada por n (k = n (k (n (k Desenvolvemos a segunda parcela obtendo Portanto, (n (k = k (n r r= = n k n = n k n n(k k n n k r= (n r n (k = n (k n k n n(k [ = n k ] n (k n = k n n(k Podemos desenvolver esse resultado através do produto que define a função: n (k = k k (n r n r= = k n(n (n...(n k+ n = k(n (n...(n k+

6 6 Esse termo pode ser ajustado somando e subtraindo ao último fator do produto: n (k = k(n (n...(n k++ = k(n (n...[(n (k +] Comparando esse resultado com a definição, temos: n (k = k(n (k Para demonstrar a relação seguinte, calculamos a segunda diferença: n (k = ( n (k = (k(n (k aplicando a relação anterior, temos: n (k = k(k (n (k Por indução: r n (k = k(k (k...(k r+(n r (k r Fazendo r = k: k n (k = k(k (k...(n k ( = k! 6. Mostre a regra da multiplicação para a primeira diferença, ou seja, (u[n]v[n] = v[n] u[n] + u[n ] v[n] = u[n] v[n] + v[n ] u[n] Temos a relação (u[n]v[n] = u[n]v[n] u[n ]v[n ] Subtraindo e somando u[n ]v[n], obtemos (u[n]v[n] = u[n]v[n] u[n ]v[n]+u[n ]v[n] u[n ]v[n ] Dessa relação, segue diretamente (u[n]v[n] = v[n] u[n+u[n ] v[n] A demonstração para a outra relação é idêntica, apenas trocando de lugar u[n] e v[n] 7. Dados os sinais abaixo, determine a paridade do sinal. Se o sinal não for par nem ímpar, encontre suas partes par e ímpar (ou conjugado simétrico e anti-simétrico, caso o sinal seja complexo: a = n b = ( n x e[n] = ( n + n x o[n] = ( n n x e[n] = ( ( n +( n x o[n] = ( ( n ( n ( 3π c = cos 8 n+ π

7 7 d = x e[n] = ( 3π cos 8 n x o[n] = ( 3π sen 8 n a k n k k= e = e jωn x e[n] = x o[n] = f = e j(ωn+φ g = n mod3 a k n k, k par k= a k n k, k ímpar k= x e[n] = cos(ωn x o[n] = jsen(ωn x e[n] = e jφ cos(ωn x o[n] = je jφ sen(ωn O sinal é par. Isso pode ser demonstrado pelo fato que ( n = n, portanto ( n mod3 = n mod3. 8. Demonstre que, se é um sinal par, então = x[]+ n= Seja um sinal par. Então podemos separa o somatório em = +x[]+ n= Os dois somatórios do lado direito na expressão acima são idênticos, pois, por hipótese, x[ n] =. Assim, E portanto = +x[]+ n= = x[]+ n= n= 9. Demonstre que, se é um sinal ímpar, então =

8 8 Seja um sinal ímpar. Então podemos separa o somatório em = +x[]+ n= Os dois somatórios do lado direito na expressão acima são idênticos, porém, com sinais inversos, pois, por hipótese, x[ n] =. Assim, E portanto = +x[]+ = x[] n= n= No entanto, para que o sinal seja ímpar, é necessário que x[] = x[], portanto, x[] =. Assim: =. Demonstre que, se x [n] e x [n] são ambos sinais pares, então y[n] = x [n]x [n] é um sinal par. Demonstre que, se x [n] e x [n] são ambos sinais ímpares, então y[n] = x [n]x [n] é um sinal par. Demonstre que, se x [n] é um sinal ímpar e x [n] é um sinal ímpar ou vice-versa, então y[n] = x [n]x [n] é um sinal ímpar. Sejam x [n] e x [n] dois sinais pares, então y[ n] = x [ n]x [ n] = (x [n](x [n] = x [n]x [n] = y[n] Portanto, o sinal é par. Sejam x [n] e x [n] dois sinais ímpares, então y[ n] = x [ n]x [ n] = ( x [n]( x [n] = x [n]x [n] = y[n] Portanto, o sinal é par. Seja x [n] um sinal ímpar e x [n] um sinal par, então y[ n] = x [ n]x [ n] = ( x [n](x [n] = x [n]x [n] = y[n] Portanto, o sinal é ímpar. O mesmo raciocínio pode ser feito invertendo os lugares de x [n] e x [n].. Se um sinal tem parte par x e [n] e parte ímpar x o [n], demonstre que x [n] = (x e [n]+x o [n] n= n= Seja = x e[n]+x o[n] então x [n] = n= = = (x e[n]+x o[n] n= x e [n]+xe[n]xo[n]+x o [n] n= x e [n]+ x e[n]x o[n]+ x o [n] n= n= n= Como vimos no Exercício, o produto de um sinal ímpar por um sinal par é um sinal ímpar. Portanto, o sinal x e[n]x o[n] no segundo somatório é um sinal ímpar. E, como vimos no Exercício 9, o somatório infinito de um sinal ímpar é nulo, portanto: x [n] = n= = x e [n]+ x o [n] n= n= x e[n]+x o[n] n=

9 9 Note também que tanto x e[n] quanto x o[n] são sinais pares (novamente, pelos resultados do Exercício e, pelos resultados do Exercício 8, poderíamos simplificar ainda mais essa expressão, escrevendo: n= x [n] = x e []+x o []+ x e [n]+x o [n] n=. Determine se os sinais abaixo são periódicos ou não e, caso positivo, determine seu período a = cosn b = cosπn O sinal não é periódico. O sinal é periódico com N = amostras. c = nmod3 O sinal é periódico com N = 3 amostras. ( 3π d = cos n+ π 8 e = ( n O sinal é periódico com N = 8 amostras. O sinal é periódico com N = amostras. f = cos 8 n O sinal é periódico com N = 6 amostras. g = cos 3 n +sen 5 n O sinal é periódico com N = 3 amostras. 3. Seja x c (t = cos(πt. Encontre e trace o gráfico da seqüência obtida a partir da amostragem de x c (t com a T a =.5s b T a = s c T a =.75s d T a = s Há algo a ser notado a respeito desses gráficos? Explique os seus resultados.

10 T a =,5s O gráfico está ao lado. A frequência do sinal parece aumentar conforme o intervalo de amostragem aumenta, embora o sinal seja o mesmo. Isso acontece devido às características dos sinais senoidais, que podem ter sua frequência modificada conforme o intervalo de amostragem se modifica. T a =,5s T a =,75s T a =s Considere x c (t = cosωt. Qual deve ser o intervalo de amostragem T a para que o sinal amostrado seja periódico com período N =,,8 e 6 amostras? O critério para que o sinal seja periódico, já que se trata de um cosseno, pode ser tirado da expressão: cos(ωnt a = cos(ω(n +NT a Ou seja, exige-se que ωnt a = πr, com r inteiro. Portanto: T a = πr ωn Assim, para N =, T a = πr/ω, para N =, T a = πr/ω, para N = 8, T a = πr/ω, e para N = 6, T a = πr/8ω. 5. Se x [n] é periódico com período N e x [n] é periódico com período N, sob qual condições o sinal y [n] = x [n]+x [n] é periódico, e qual o seu período? Repita o problema para y [n] = x [n]x [n]. Se x [n] é periódico com período N, então x [n] = x [n+k N ] Da mesma forma, se x [n] é periódico com período N, então x [n] = x [n+k N ] Os fatores inteiros k e k aparecem nessas equações porque todo sinal que é periódico em um certo número de amostras, é periódico também em um múltiplo inteiro desse valor. Para que a soma y[n] desses dois sinais seja periódica, é necessário que y[n+kn] = x [n+k N ]+x [n+k N ] A condição, portanto, é que o período da soma englobe um certo número inteiro de períodos de cada um dos sinais sobre os quais se faz a operação. Portanto, kn = k N = k N Assim, é fácil ver que a condição é que kn seja o mínimo múltiplo comum de N e N. O raciocínio é exatamente o mesmo para o produto. 6. Demonstre que, se ω = π/n, com N inteiro e maior que, então e sen(ω n = cos(ω n =, N

11 O seno é um sinal ímpar. Pelos resultados do Exercício 9, sabemos que o somatório de um sinal ímpar em um intervalo simétrico em relação a origem é. Portanto, a primeira equivalência fica demonstrada. Para a segunda equivalência, note que N é o período do cosseno. O somatório, portanto, é feito em um período. Por identidades trigonométricas, pode-se mostrar que ( N cos ω n+ω = cos(ω n Note que isso só é válido para N, e para N par. Se N for ímpar, um raciocínio semelhante pode ser feito, e um resultado equivalente encontrado. Assim, o somatório pode ser dividido em três partes: N cos(ω n = N cos(ω n+ cos(ω n+cos(ω N e pela propriedade acima, esses dois somatórios são iguais. Como cos(ω N = : N n= N N cos(ω n = cos(ω n+ cos(ω n+ = n= n= 7. Mostre que, se é periódico com período N, então N n= = N+k n=k O somatório pode ser decomposto em duas partes, conforme expressão abaixo: N n= k = n= N + n=k Analisemos a primeira parcela dessa decomposição. Como é, por hipótese, periódico com período N, então = x[n+n], assim k k = x[n+n] n= n= Façamos m = n+n. Assim, quando n =, m = N, e quando n = k, m = N +k. O somatório pode ser reescrito como k N+k = x[m] n= m=n Voltando com esse resultado na decomposição original, e retornando a variável do somatório para n para unificar os resultados, temos N n= N+k = n=n N + n=k É fácil notar que esses somatórios podem ser coletados em apenas um, conforme a expressão: N n= N+k = n=k 8. Determine se os seguintes sinais são sinais de energia, sinais de potência ou nenhum dos dois: a = n O sinal não é de energia nem de potência. Isso acontece porque tanto a energia quanto a potência tendem a infinito na soma total. b = n u[n] O sinal é de energia. c = cos n O sinal é de potência. d = cos n, para n < 8

12 O sinal é de energia. 9. Para cada um dos sistemas abaixo, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável. a H{} = e n O sistema é linear, causal, variante com o tempo e instável. b H{} = O sistema é linear, causal, variante com o tempo e estável. c H{} = x[n ] O sistema é linear, causal, invariante com o tempo e estável. d H{} = n O sistema é linear, causal, variante com o tempo e instável. e H{} = n O sistema é linear, causal, variante com o tempo e instável. f H{} = x[n ]+x[n ] O sistema é linear, causal, invariante com o tempo e estável. n g H{} = x[k] O sistema é linear, causal, invariante com o tempo e instável. h H{} = a+b O sistema é não-linear, causal, invariante com o tempo e estável. i H{} = x[ n] O sistema é linear, causal, variante com o tempo e estável. j H{} = x [n] O sistema é não-linear, causal, invariante com o tempo e estável. k H{} = log O sistema é não-linear, causal, invariante com o tempo e instável.. Calcule a convolução entre as seqüências e h[n] abaixo. Faça uma representação gráfica de cada uma das seqüências e da seqüência resultante da convolução:

13 3 a = δ[n+]+δ[n+]+δ[n]+δ[n ] h[n] = δ[n] δ[n ]+δ[n ]+δ[n 5] h[n] = δ[n+]+δ[n+] δ[n]+3δ[n 3] = +3δ[n ]+δ[n 5]+δ[n 6] b = δ[n]+δ[n ] δ[n ] h[n] = u[n] h[n] = δ[n]+δ[n ] c = u[n] h[n] = δ[n] δ[n ] h[n] = δ[n] d = u[n] h[n] = δ[n] δ[n 3] h[n] = δ[n]+δ[n ]+δ[n ] e = δ[n]+δ[n ] h[n] = δ[n ] h[n] = δ[n ]+δ[n 3] f = e n u[n] h[n] = e n u[n] h[n] = (n+e n u[n]

14 h = cos π n, para n < 8 h[n] = δ[n] δ[n ] g = α n u[n] h[n] = β n u[n] com α < e β <. h[n] = αn+ β n+ u[n] α β O gráfico abaixo usa α =,9 e β =,75..5 h[n] = = δ[n] δ[n 8] + cos n sen n δ[n] δ[n 8] + cos n+ π 8. para n 8. Os impulsos aparecem devido à variação existente nos limites de Demonstre que (α n (α n y[n] = α n ( y[n]. Essa convolução é dada pela expressão desenvolvida a seguir: (α n (α n y[n] = α k x[k]α n k y[n k] = α k α n k x[k]y[n k] = α n x[k]y[n k] = α n x[k]y[n k] = α n ( y[n]. Demonstre que, se é uma função periódica com período N, então a saída de um sistema linear e invariante com o tempo cuja entrada é também será periódica com período N. Um sistema linear e invariante com o tempo é completamente descrito pela convolução com sua resposta ao impulso, operação que pode ser escrita como y[n] = h[k]x[n k] em que y[n] é a resposta do sistema para a entrada, e h[n] é a resposta do sistema ao impulso. Para verificar se o sinal de saída é periódico, fazemos: y[n+n] = h[k]x[n+n k] Como, por hipótese, é periódica, então x[n+n k] = x[n k], portanto: y[n+n] = h[k]x[n k] = y[n] Portanto o sinal de saída é periódico.

15 5 3. Demonstre que se um sistema linear e invariante com o tempo é sem memória, então h[n] = aδ[n], com a C. Um sistema linear e invariante com o deslocamento é completamente definido pela convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso. Essa operação é definida por: y[n] = h[k]x[n k] Um sistema sem memória não pode depender de amostras passadas ou futuras do sinal de entrada. Para que isso aconteça nesse caso, portanto, é necessário que h[n] = para n. Assim, a resposta ao impulso contém apenas uma amostra de amplitude arbitrária em n =. Nenhuma hipótese precisa ser feita a respeito dessa constante por exemplo, ela pode ser um número complexo qualquer. Portanto, para que o sistema seja sem memória, é necessário que h[n] = aδ[n]