FFT Realização Eficiente da DFT

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1 FFT Realização Eficiente da DFT Luís Caldas de Oliveira. Algoritmos de Decimação no Tempo. Algoritmos de Decimação na Frequência 3. Realização dos Algoritmos FFT 4. Algoritmos para N Factorizável 5. Realização da DFT Usando a Convolução

2 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas. X(k) = N n= x(n)e jπ N kn, k N N multiplicações complexas; N(N ) somas complexas; aproximadamente N operações complexas; aproximadamente 8N operações reais; requer N registos complexos. Luís Caldas de Oliveira

3 Decimação no Tempo X(k) = N n= = = n par N r= x(n)e jπ N kn, k N... + n ímpar... N j π x(r)e N/ kr + e jπ N k j π x(r + )e N/ kn r= = G(k) + e jπ N k H(k) G(k) e H(k) têm período N/. Luís Caldas de Oliveira 3

4 Decomposição da DFT x() x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) DFT de N/ pontos DFT de N/ pontos G() G() G() G(3) H() H() H() H(3) X() X() X() X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j π N = e k O número de multiplicações complexas diminui para N + ( N ) Luís Caldas de Oliveira 4

5 Decomposição da DFT x() x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/ X() X() X() X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k = j π N e k O número de multiplicações complexas diminui para N + N + 4( N 4 ) Luís Caldas de Oliveira 5

6 DFT de Pontos A decomposição da DFT prossegue até se chegar a DFTs de pontos: x() x() X() X() No total o número de multiplicações complexas da FFT é de N log N Luís Caldas de Oliveira 6

7 FFT x() x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) X() X() X() X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j π k = e 8 Luís Caldas de Oliveira 7

8 Redução Adicional dos Cálculos Cada borboleta tem a forma geral: X (q) m X (q) m j π r e N j π N (r + N ) e X (q) m X (q) m e jπ N (r+n ) = e jπ e jπ N r = e jπ N r X (p) m X (p) m X (q) X (q) m π m j r e N O número de multiplicações reduz-se para N log N Luís Caldas de Oliveira 8

9 FFT de 8 Pontos com Decimação no Tempo x() X() x(4) X() x() X() x(6) X(3) x() X(4) x(5) X(5) x(3) X(6) x(7) 3 X(7) k = j π k e 8 Luís Caldas de Oliveira 9

10 Realização In-Place Utiliza-se um conjunto de N registos complexos. Os registos são inicializados com as amostras temporais re-ordenadas: X () = x() X () = x(4) X () = x(). Os registos são actualizados pela seguinte recursão: X m (p) = X m (p) + e jπ N r X m (q) X m (q) = X m (p) e jπ N r X m (q) Luís Caldas de Oliveira

11 Ordenação Bit-Reversed O re-ordenamento da sequência de entrada da FFT com decimação no tempo é realizada na ordem: X ( ) = X ( ) = x( ) = x( ) X ( ) = X ( ) = x( ) = x(4 ) X ( ) = X ( ) = x( ) = x( ) X (3 ) = X ( ) = x( ) = x(6 ) X (4 ) = X ( ) = x( ) = x( ) X (5 ) = X ( ) = x( ) = x(5 ) X (6 ) = X ( ) = x( ) = x(3 ) X (7 ) = X ( ) = x( ) = x(7 ) Luís Caldas de Oliveira

12 Decimação na Frequência - Amostras Pares X(k) = N n= x(n)e jπ N kn, k N Amostras pares: X(r) = = = N n= N n= N n= x(n)e jπ N nr [x(n) + x(n + N j π g(n)e N/ nr )]e j π N/ nr Luís Caldas de Oliveira

13 Decimação na Frequência - Amostras Ímpares X(k) = N n= x(n)e jπ N kn, k N Amostras ímpares: X(r + ) = = = N n= N n= N n= x(n)e jπ N n(r+) [x(n) x(n + N )]e jπ N n e h(n)e jπ N n j π e N/ n j π N/ n Luís Caldas de Oliveira 3

14 Decomposição da DFT por Decimação na Frequência x() g() X() x() x() g() g() DFT de N/ pontos X(4) X() x(3) g(3) X(6) x(4) x(5) x(6) x(7) h() h() h() h(3) 3 DFT de N/ pontos X() X(5) X(3) X(7) k π j = e 8 k Luís Caldas de Oliveira 4

15 FFT de 8 Pontos com Decimação na Frequência x() X() x() X(4) x() X() x(3) X(6) x(4) X() x(5) X(5) x(6) X(3) x(7) 3 X(7) k = j π k e 8 Luís Caldas de Oliveira 5

16 Realização In-Place X (p) m X (p) m X (q) m j π r e N X (q) m { Xm (p) = X m (p) + X m (q) X m (q) = (X m (p) X m (q))e jπ N r Luís Caldas de Oliveira 6

17 FFT Inversa A realização directa da FFT pode ser usada para calcular a DFT inversa de uma sequência. Sendo g(n) a DFT de uma sequência X(k): g(n) = N k= X(k)e jπ N kn Pode-se obter a transformada inversa de X(k) por: x(n) = N = N N k= N k= X(k)e jπ N kn X(k)e jπ N k(n n) = N g((n n)) N Luís Caldas de Oliveira 7

18 FFT de Sequências Reais Pode-se calcular a DFT de N pontos de uma sequência real x(n) usando uma FFT de N/ pontos:. Formar uma sequência g(n) = x(n) + jx(n + ), para n N. Calcular G(k) a FFT de N/ pontos de g(n) 3. Determinar ( k N ): [[ X (k) = X (k) = e j π N k G R (k) + G R ((( N k)) N ) [[ G I (k) + G I ((( N k)) N ) ] + j ] [ j G I (k) G I ((( N k)) N ) [ ]] G R (k) G R ((( N k)) N ) ]] 4. Finalmente: X(k) = X (k) + X (k) k N X (k N ) X (k N ) N k N no caso contrário Luís Caldas de Oliveira 8

19 Realização da FFT na Linguagem C A linguagem C não dispõe nem de estruturas de dados nem de operadores aritméticos para números complexos. A realização apresentada tem fins didácticos: o algoritmo foi dividido em funções para melhor legibilidade; não se utilizam tabelas com valores pré-calculados. A realização poderia ser mais eficiente expandindo as funções e pré-calculando os factores multiplicativos. Luís Caldas de Oliveira 9

20 Números Complexos Definição das funções matemáticas e da estrutura de dados para armazenamento de números complexos: #include <math.h> struct Complex { double re; double im; }; Luís Caldas de Oliveira

21 Operações Básicas com Números Complexos struct Complex Csoma(struct Complex z, struct Complex z) { z.re += z.re; z.im += z.im; return z; } struct Complex Csub(struct Complex z, struct Complex z) { z.re -= z.re; z.im -= z.im; return z; } struct Complex Cmul(struct Complex z, struct Complex z) { struct Complex z3; z3.re = z.re * z.re - z.im * z.im; z3.im = z.re * z.im + z.im * z.re; return z3; } Luís Caldas de Oliveira

22 Realização da Re-ordenação void Ctroca(struct Complex *z, struct Complex *z) { struct Complex tmp; tmp = *z; *z = *z; *z = tmp; } /* re-ordenacao da entrada */ void reord(int N, struct Complex X[]) { int dir, inv, pot; inv = ; for (dir = ; dir < N; dir++) { /* incrementa contador de ordem inversa dos bits */ for (pot = N/; pot <= inv; pot /= ) inv -= pot; inv += pot; } } if (dir < inv) Ctroca(&X[dir], &X[inv]); Luís Caldas de Oliveira

23 Cálculos dos Factores Multiplicativos static int LogN; static struct Complex Wr[]; /* Calcula a tabela de factores multiplicativos */ void factores(int N) { double arg = ; /* pi/ */ int m; } LogN = (int)(log(n+.)/log(.)); Wr[].re = ; Wr[].im = ; Wr[].re = ; Wr[].im = -; for (m = ; m < LogN; m++) { arg /=.; Wr[m].re = (double) cos(arg); Wr[m].im = (double) -sin(arg); } Luís Caldas de Oliveira 3

24 Realização das DFTs de Pontos X (p) m X (p) m X (p+) m X (p+) m /* primeiro passo (m=): DFTs de pontos */ void dft(int N, struct Complex X[]) { int p = ; struct Complex tmp; } /* q = p + * Xm(p) = Xm-(p) + Xm-(q) * Xm(q) = Xm-(p) - Xm-(q) */ for (p = ; p < N; p+=) { tmp = X[p+]; X[p+] = Csub( X[p], tmp ); X[p] = Csoma( X[p], tmp ); } Luís Caldas de Oliveira 4

25 X (p) m X (p) m Realização das Borboletas X (q) m π j r N e X (q) m /* borboletas de m= a log(n) */ void borbol(int N, struct Complex X[]) { struct Complex tmp, Wm; int m, j, p, potm =, potm = 4; } for (m = ; m <= LogN; m++) { Wm = Wr[]; for (j = ; j < potm; j++) { /* potm = ˆ(m-) */ for (p = j; p < N; p += potm) { /* potm = ˆm */ tmp = Cmul( X[p+potm], Wm ); X[p+potm] = Csub( X[p], tmp ); X[p] = Csoma( X[p], tmp ); } Wm = Cmul( Wm, Wr[m-] ); } potm = potm; potm *= ; } Luís Caldas de Oliveira 5

26 Realização da FFT /* algoritmo fft de N pontos com decimacao no tempo */ void fft(int N, struct Complex X[]) { static int Nanterior = ; } reord(n, X); if (N!= Nanterior) { Nanterior = N; factores(n); } dft(n, X); borbol(n, X); Luís Caldas de Oliveira 6

27 Algoritmos Cooley-Tukey (N Factorizável) Conceito de mapas de índices n = N n + n k = k + N k N = N N n N n N k N k N n e k tomam todos os valores entre e N sem repetições. Luís Caldas de Oliveira 7

28 Decomposição da DFT X(k) = X(k + N k ) = N N n = n = x(n n + n )e jπ N (k +N k )(N n +n ) X(k + N k ) = N n = j π G(n, k )e N k n G(n, k ) = G(n, k )e jπ N k n G(n, k ) = N n = j π x(n n + n )e N k n Luís Caldas de Oliveira 8

29 Casos Particulares n = N n + n k = k + N k Decimação no tempo: N = N/ N = Decimação na frequência: N = N = N/ Luís Caldas de Oliveira 9

30 Caso Geral N = N N... N v Algoritmos de base R: N = R v Se a entrada estiver ordenada normalmente a saída ficará ordenada pela inversão dos dígitos do índice na base R. Exemplo: N = v n = v n n v + n v k = k + k v k v Algoritmos mistos: A decomposição é efectuada em factores diferentes. Luís Caldas de Oliveira 3

31 Algoritmo da Transformada Chirp (CTA) O algoritmo CTA permite determinar qualquer conjunto de M amostras da FT equiespaçadas no círculo unitário. ω k = ω + k ω, k M X(e jω k) = N n= x(n)e jω n e j ωkn Este algoritmo pode ser realizado usando a convolução: X(e jωn ) = e j ωn [g(n) e j ωn ] g(n) = x(n)e jω n e j ωn Luís Caldas de Oliveira 3

32 Diagrama da CTA x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) m (n) = e jω n e j ω n h(n) = m (n) = e j ωn X(e jωn ) = y(n) m (n) e j ωn (N ) n M caso contrário h(n) é não causal e tem comprimento N + M Luís Caldas de Oliveira 3

33 Vantagens da CTA não é necessário que N = M; N e M não precisam de ser factorizáveis; ω é arbitrário. Luís Caldas de Oliveira 33

34 Realização Causal x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) m (n) = e jω n e j ωn h(n) = m (n) e j ω(n N+) / n N + M caso contrário m (n) = e j ω(n N+) / X(e jωn ) = y(n + N ) Luís Caldas de Oliveira 34

35 Cálculo da DFT Usando a CTA Neste caso: ω = e ω = π N x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) m (n) = e jπ h(n) = N n e jπ m (n) = e jπ N n X(e jπ N n ) = y(n + N) m (n) N n n N + M caso contrário Luís Caldas de Oliveira 35