Plano Básico. (Análise de Fourier) Métodos Numéricos. Pedro André Martins Bezerra Décio Haramura Junior

Transcrição

1 UIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação utorial Plano Básico Métodos uméricos (Análise de Fourier) 3 de Janeiro de 8

2 Sumário Introdução Série de Fourier ransformada de Fourier ransformada Discreta de Fourier ransformada de Fourier de empo Discreto ransformada Rápida de Fourier Aplicações

3 Motivação A análise de Fourier é importante, pois: Permite o estudo de espectros de sinais mais detalhado; Simplifica o problema original (como na resolução de equações diferenciais); Inúmeras aplicações no processamento digital de sinais e no processamento digital de imagens;

4 Classificação de Sinais Sinais contínuos ou discretos Sinais periódicos ou aperiódicos Dependendo do sinal de entrada é feita uma análise específica de Fourier

5 écnicas de Análise ransformada de Fourier (F) (aperiódico,contínuo) Série de Fourier (FS) (periódico, contínuo) ransformada de Fourier de empo Discreto (DF) (aperiódico, discreto) ransformada Discreta de Fourier (DF) (periódico, discreto)

6 Série de Fourier

7 Características A série de Fourier permite expressar um dado sinal periódico no tempo, por intermédio da soma de um número infinito de sinusóides, harmonicamente relacionadas. Por exemplo, o sinal periódico representado abaixo, pode ser expresso por: V 4V 1 1 t) sen t sen3 t sen t (

8 Exemplo da Formação de um Degrau Primeira harmônica.5 Harmônicas erceira Harmônica Amplitude Quinta Harmônica tempo

9 Somatório das Harmônicas Somatório de 5 Harmônicas Somatório de 5 Harmônicas.4 Somatório das harmônicas.3 Somatório das harmônicas Amplitude Amplitude empo empo

10 Condições de Dirichlet Para que um sinal periódico possa ser representado por uma série de Fourier devem ser satisfeitas as seguintes condições: S(t) deve ser unívoca S(t) deve ter um número finito de descontinuidades dentro de cada período S(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos dentro de cada período t A integral deve existir t S() t dt

11 Série de Fourier A Série de Fourier é representada pela seguinte expressão a S( t) a1 cos( t) a cos( t)... an cos( nt ) b sen( t) b sen( t)... b sen( n t) 1 n a S t a n t b sen n t ( ) ncos( ) n ( ) n1 n1

12 Algumas Integrais Importantes As seguintes integrais serão importantes para a demonstração dos coeficientes da Série de Fourier sen( n t) sen( m t) dt Para m n sen( nt ) sen( mt ) dt Para m n sen( n t) dt cos( n t) dt cos( n t) cos( m t) dt Para m n cos( nt ) cos( mt ) dt Para m n sen( n t) cos( m t) dt Para todo m, n

13 Cálculo de a Para Calcular a Integramos a Série de Fourier de ambos os lados: a S t a n t b sen n t ( ) ncos( ) n ( ) n1 n1 em-se que: a S() t dt S() t dt a a dt Como: sen( n t) dt cos( n t) dt

14 Cálculo de a n Para Calcular a n multiplica-se ambos os lados por cos(nx) Integrase a Série de Fourier de ambos os lados: a S t a n t b sen n t ( ) ncos( ) n ( ) n1 n1 Como: sen( n t) cos( m t) dt Para todo m, n cos( nt ) cos( mt ) dt Para m n em-se que: S( t)cos( n t) dt a cos( n t) cos( n t) dt n an S( t)cos( nt ) dt a n

15 Cálculo de b n Para Calcular b n multiplica-se ambos os lados por sen(nx) Integrase a Série de Fourier de ambos os lados: a S t a n t b sen n t ( ) ncos( ) n ( ) n1 n1 Como: sen( n t) cos( m t) dt Para todo m, n sen( nt ) sen( mt ) dt Para m n em-se que: S( t) sen( n t) dt b sen( n t) sen( n t) dt n bn S( t) sen( nt ) dt b n

16 A Forma rigonométrica dos Coeficientes Sabe-se que: cos( n t) e sen( n t) e e e j jn t jn t jn t jn t Logo, a S t a n t b sen n t ( ) ncos( ) n ( ) n1 n1 St () a a e e b e e jnt jnt jnt jnt ( ) ( ) n n1 n1 a ( a jb ) ( a jb ) n n jnt n n jnt S() t e e n1 n1 n j

17 A Forma rigonométrica dos Coeficientes a ( a jb ) ( a jb ) n n jnt n n jnt S() t e e n1 n1 jnt jnt n n n1 n1 S() t c c e c e S() t n c e n jn t Onde: an jbn 1 cn S( t)(cos( nt ) jsen( nt )) dt 1 S() t e jn t dt

18 ransformada de Fourier

19 Definição A ransformada de Fourier representa sinais de tempo contínuo não periódicos como uma integral ponderada de senóides complexas de tempo contínuo cujas freqüências variam continuamente de - a + A resposta, no domínio da freqüência, é contínua e não periódica

20 Obtenção da F a Partir da FS Do slide anterior: S() t 1 n jnt c S() t e dt n c e n jn t Enviando o período para infinito temos:, se então 1 d Como a freqüência deixa de ser discreta para ser continua: Por definição, o produto c n é a ransformada de Fourier jt cn F( ) S( t) e dt n

21 A ransformada Inversa de Fourier A Partir da fórmula da Série de Fourier, multiplicando e dividindo o segundo membro por : S() t 1 t jn cne n Quando tende a infinito a inversa fica: 1 jt S( t) F( ) e d c n F() e 1 d

22 Convergência da Integral de Fourier Uma função unívoca que é diferente de zero em um intervalo de tempo infinito possui ransformada de Fourier se a integral f () t dt existe e as possíveis descontinuidades de f(t) são todas finitas

23 ransformada Discreta de Fourier (DF)

24 ransformada Discreta de Fourier (DF) Uso da DF: Sinal periódico e discreto, com saída periódica discreta; ormalmente em casos práticos, pois é feita uma amostragem do sinal pretendido; ão se dispõe de expressão analítica. OBS.: A precisão da DF é diretamente proporcional ao número de pontos amostrados; A freqüência de amostragem tem que estar de acordo com o critério de yquist.

25 Expressões para a DF Expressão para a DF direta (análise) [ ] X k n 1 x[ n] W kn, k,1,,..., -1 Expressão para a DF inversa (síntese) x[ n] 1 1 k X[ k] kn W, n,1,,..., -1 Onde W e j

26 Complexidade da DF Direta X[ k] n 1 x[ n] W kn,,1,,..., -1 ( a bi).( c di) ( ac bd) ( ad bc) i Admitindo que x[n] e X[k] são complexos: k Multiplicações complexas = = 4 multiplicações reais+ adições reais Adições complexas é (-1) = (-1) adições reais O total de multiplicações reais é de 4 e o de adições reais é de (-1)+ =(4-)

27 Complexidade da DF Direta O custo computacional da implementação direta da DF é proporcional a, o que se pode tornar proibitivo, em termos práticos, se o valor de for grande :

28 Complexidade da DF Direta É importante salientar que para o cálculo da DF é necessário que todos os W nk sejam armazenados o que pode ser ruim caso o espaço seja crítico Em operações onde o tempo de processamento é crítico é necessário que se use algoritmos mais rápidos e eficientes para o cálculo da DF

29 ransformada de Fourier de empo Discreto (DF)

30 ransformada de Fourier de empo Discreto (DF) Uso da DF: Sinal aperiódico e discreto, com saída aperiódica contínua; Para expressar matematicamente o sinal no domínio da freqüência, ou seja, obter uma equação para a saída; OBS.: Se nesse caso fosse usada a DF, a saída seria formada apenas de amostras da equação encontrada pela DF.

31 ransformada de Fourier de empo Discreto (DF) A DF é calculada a partir da DF (periódica e discreta), quando é levada ao infinito. X[ k] n 1 x[ n] W kn, k,1,,..., -1 X n ( ) x[ n] e jn

32 **ransformada de Fourier de empo Discreto Inversa (IDF) Parte de um sinal contínuo e aperiódico e transforma em discreto e aperiódico. x[ n] 1 X ( ) e jn d

33 ransformada Rápida de Fourier (FF)

34 ransformada Rápida de Fourier (FF) A FF Realiza uma DF maior a partir de DFs menores Decomposição da seqüência de entrada ou da seqüência de saída. As propriedades de simetria e periodicidade de W nk são usadas

35 Simetria e Periodicidade de W nk Simetria complexa conjugada Periodicidade em n e K (período ) kn kn j kn j kn W e kn jsen kn kn jsen kn e W ) ( ) cos( ) ( ) cos( kn kn j k kn j kn j k kn j k kn j k n W e k jsen k e e e e W ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) (cos(

36 Princípio de Cálculo da FF A FF pode ser calculada a partir de duas técnicas distintas: Decimação no tempo (decimation in time -DI) Decomposição relativa à seqüência de entrada Decimação nas freqüências (decimation in frequency -DIF) Decomposição relativa à seqüência de saída

37 O algoritmo FF de Decimação no empo (DI) (número de amostras) deve ser potência de O algoritmo divide a seqüência de entrada em duas sub-seqüências com metade do comprimento, uma respeitante às amostras de índice par, e a outra respeitante à amostras de índice ímpar

38 O algoritmo FF de Decimação no empo (DI) Depois da primeira divisão, separando os pontos ímpares dos pares: Entretanto W =e -jπ/(/) =W /, logo: ) ( 1 1 1,1,..., para k ] 1)[ ( ] )[ ( 1) ( ) ( ) ( ) ( n kn kn n kn n n k n n k n kn W n x W W n x W n x W n x W n x k X -1..., 1, Com k ), ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1 1) ( 1 1 k H W k G W n x W W n x W n x k X k n n k k n n k n kn

39 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 Considerando =8 G(k) e H(k) são periódicas com período / (o que para =8 conduz por exemplo a que H(4)=H() e G(4)=G()

40 Redução na Complexidade Separando os pontos pares dos ímpares e usando a propriedade periódica de G(k) e H(k): A quantidade de operações passa a ser * (/) + = / +

41 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 É válido notar também que: W W W W e W e W jsen W j ( ) ( l ) l ( ) l l j l l (cos( ) ( )) Isso implica que a quantidade de multiplicações de W k por H(k) pode ser reduzida pela metade, pois a partir de k = / os H(k) repetem e os W k repetem com o sinal trocado

42 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 Para =8, será em particular: X(3) = G(3) + W 83 H(3) mas será também X(7) = G(3) + W 87 H(3) = G(3) - W 83 H(3)

43 Redução na Complexidade O custo computacional (em termos de número de multiplicações complexas) desta estrutura é assim proporcional a: ²/ + / Mantendo-se o número de adições

44 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 O procedimento de divisão em DFs menores pode ser usado nas DFs de comprimento /

45 Redução na Complexidade O seu custo computacional fica proporcional a: * (/4) + /4 = /8 + /4 O custo total (multiplicações) resultante no cálculo de X(k) será proporcional a: * /8 + * /4 + / = /4 +

46 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 Para uma DF de comprimento tem-se a seguinte simplificação: A estrutura elementar acima é chamada de borboleta e tem um custo computacional igual a de uma multiplicação complexa e duas adições complexas

47 Exemplo do Cálculo da DF Para =8 Juntando todas as estruturas anteriores obtém-se o seguinte desenho:

48 Redução na Complexidade O custo computacional relativo a multiplicações complexas é igual a /+/4+/4+/ Isso equivale a: /(log ) Para =8 isso equivale a 1 multiplicações Para adições isso equivale a *log.

49 Para uma Melhor Compreensão

50 Observações O número de borboletas por andar não muda: é constante e igual a / A quantidade de grupos é dividido por no avanço dos andares Por outro lado a quantidade de borboletas por andar é multiplicada por

51 Observações Para não haver desperdício de memória os dados de entrada vão sendo substituídos por novos valores de estágio para estágio.(computação In-Place)

52 Bit Reversed Para que o algoritmo da FF funcione corretamente é necessário que a ordem dos dados de entrada sejam trocados. Para isso o índice dos dados de entrada são transformados em binário e em seguida invertidos O resultado dessa inversão em decimal fornece os novos índices dos dados

53 Exemplo do Bit Reversed para =8

54 O Procedimento Computacional O procedimento Computacional consiste em duas partes distintas: Primeiramente deve-se aplicar o Bit Reversed nos dados de entrada Iterar-se o cálculo de todas as /*log borboletas (/ borboletas por andar * log andares), assegurando que para cada borboleta se indiciam corretamente: a) os dados de entrada/saída b) o seu coeficiente complexo W r Para facilitar a programação substitui-se W /b a por W ab

55 O Pseudo-código da FF (DI) /* inicialização */ estg= número de andares ; =^estg; grup=; butf=1; /* bit reversal */ bitreversal(x, ); /* * itera sobre todas as borboletas, usando * um contador de andar, grupo e borboleta */ for (i=; i<estg; i++) { grup=grup/; for (j=; j<grup; j++) { for (k=; k<butf; k++) { ind1=j**butf+k; ind=ind1+butf; arg=grup*k; temp=x[ind]*w arg ; x[ind1]=x[ind1]+temp; x[ind]=x[ind]-temp; } } butf=butf*; }

56 O Algoritmo FF de Decimação na Freqüência

57 A ransformada Inversa A inversa pode ser obtida através da DF das seguintes maneiras:

58 Aplicações Análise de Espectro

59 Análise de Espectro no Domínio da Freqüência A DF é usada para a visualização das freqüências que compõem um sinal no domínio do tempo

60 A Soma de Senóides Dado o seguinte sinal no domínio do tempo: s=sin(*pi*t*5)+sin(*pi*t*15)+sin(*pi*t*3) Gráfico da soma de senoides Amplitude empo(s)

61 Aplicação do Filtro Aplicando no sinal um filtro passa-banda elíptico de quarta ordem cujas freqüências de corte são 1Hz e Hz Filtro Elíptico Ganho Freqüência(Hz)

62 Resultado do Filtro A seguinte forma de onda é obtida quando o filtro é aplicado: 1.5 Onda Filtrada 1 Amplitude empo(s)

63 o Domínio da Freqüência Usando nosso algoritmo para verificar o espectro de freqüência da onda filtrada e não filtrada temos: Espectro de Freqüência da Onda Filtrada 6 5 Onda não Filtrada Onda Filtrada 4 Módulo Freqüência(Hz)

64 Aplicações Convolução

65 Aplicações Convolução A convolução é um operador matemático definido por: y( t) x ( t) x ( t) 1 t y( t) x ( ) x ( t ) d x ( t ) x ( ) d 1 1 t

66 Aplicações Convolução a prática a convolução pode ser utilizada para calcular a resposta de um circuito para uma entrada qualquer. t y( t) x( ) h( t ) d, Onde, h(t) é a resposta ao impulso do circuito.

67 Cálculo da convolução através da ransformada de Fourier o domínio da freqüência a convolução se torna uma multiplicação. Portanto, é preciso fazer a F das duas entradas, multiplicar e voltar para o domínio do tempo. Como essas operações foram feitas pelo computador aplicou-se o algoritmo da FF e da IFF. y( t) x( t)* h( t) IFF FF FF [ ( xt ()). ( ht ())]

68 Exemplo: Circuito RC Cálculo de h(t): Lei dos nós: i i i R C i V R C dv dt Em t=, i ( t) e i R 1 dv 1 ( t) V( ) C dt C

69 Exemplo: Circuito RC (cont.) Em t, i( ) V dv 1 (1) C V ( t) e R dt C dv 1 i( t) h( t) C e dt RC t RC t RC Considerando R=4kΩ e C=3μF 1 t 1 h() t e A 1 E aplicando uma entrada x(t)=e -t

70 Cálculo da Convolução Analiticamente t 1 ( t) y( t) x( ) h( t ) d e e 1 d 1 t 1 t t t e e e e d 1 11 t

71 Código do Programa em Matlab

72 Gráfico Resultante y( t) i ( t) C e t e 11 t 1 Convolução i(a) t(s)

73 Conclusão A FF é uma ferramenta indispensável para o processamento de sinais Facilita o Cálculo de diversas operações complexas no domínio do tempo

74 Bibliografia LIVROS: HAYKI, S.S. Sinais e Sistemas. 1a. Edição, Bookman Company,. LESLIE Balmer. Signals and Systems na Introduction. Prentice Hall, 1991 SIES: ftp://ftp.fe.up.pt/pub/pessoal/deec/ajf/pds/teoricas/pds1819.pdf - /1/8 - /1/8 aci%c3%b3n/informes%internos/ff.pdf - /1/8 - /1/8 - /1/8 %PP%-%imprimir.pdf - /1/8