Sistemas de tempo discreto

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1 Sistemas de tempo discreto Magno T. M. Silva EPUSP, fevereiro de Sistemas de tempo discreto p. /37

2 . Sistemas de tempo discreto São funções matemáticas que transformam uma seqüência de entrada s(n) em uma seqüência de saída y(n) s( n ) y( n) = T { s( n) } T { } Exemplos: y(n) = [ ] s(n) + s(n ) + s(n ) 3 y(n) =,8s(n) +,s(n + ) y(n) = s(n ) s(n ),5y(n ) + y(n ) y(n) = cos(ω s(n)) Sistemas de tempo discreto p. /37

3 . Propriedades de sistemas de tempo discreto. Resposta Impulsiva Se s(n) = δ(n), a seqüência de saída de um sistema de tempo discreto recebe o nome de resposta impulsiva ou resposta ao pulso unitário = δ n { δ } T { } s( n) ( ) y( n) = T ( n) = h( n) Sistemas de tempo discreto p. 3/37

4 . Propriedades de sistemas de tempo discreto. Homogeneidade Um sistema de tempo discreto é homogêneo se y(n) = T {c s(n)} = c T {s(n)} sendo c uma constante complexa qualquer Sistemas de tempo discreto p. 4/37

5 . Propriedades de sistemas de tempo discreto 3. Linearidade Um sistema de tempo discreto é linear se e somente se y(n) = T {a s (n) + a s (n)} = a T {s (n)} + a T {s (n)} = a y (n) + a y (n) Sistemas de tempo discreto p. 5/37

6 . Propriedades de sistemas de tempo discreto 4. Invariância no tempo Um sistema de tempo discreto é invariante no tempo se y(n) = T {s(n)} y(n n ) = T {s(n n )}, ou seja, um deslocamento de n amostras da seqüência de entrada produz um deslocamento correspondente também de n amostras na seqüência de saída para todos os valores de n e n. Sistemas de tempo discreto p. 6/37

7 . Propriedades de sistemas de tempo discreto 5. Causalidade Um sistema de tempo discreto é causal se h(n) =, n < Exemplo de um sistema causal:.8 h(n) n Sistemas de tempo discreto p. 7/37

8 . Propriedades de sistemas de tempo discreto Exemplo de um sistema não-causal: h(n).5 / n Num sistema não-causal a saída do instante n depende da entrada de instantes futuros, por exemplo, (n + ), (n + 5), etc Sistemas de tempo discreto p. 8/37

9 . Propriedades de sistemas de tempo discreto 6. Memória Um sistema de tempo discreto é sem memória se sua saída y(n) no instante n = n, depende apenas da entrada do instante n = n, ou seja, s(n ). Sistemas de tempo discreto p. 9/37

10 . Propriedades de sistemas de tempo discreto 7. Estabilidade Um sistema de tempo discreto é estável em entrada-saída se uma seqüência limitada s(n) M produz uma seqüência de saída limitada y(n) M para M e M finitos. Isso também corresponde a k= h(k) <. Sistemas de tempo discreto p. /37

11 3. Relação entrada-saída de um SLIT s( n ) y(n) h(n) Como caracterizar a saída y(n) em função da entrada s(n) e da resposta ao pulso unitário h(n)? Sistemas de tempo discreto p. /37

12 3. Somatório de convolução Sinal de entrada de um sistema de tempo discreto s(n) = + k= s(k)δ(n k) Sinal de saída de um SLIT { + y(n) = T s(k)δ(n k) k= } y(n) = + k= s(k)t {δ(n k)} Sistemas de tempo discreto p. /37

13 3. Somatório de convolução Resposta ao pulso unitário h(n) = T {δ(n)} Sistema invariante no tempo h(n k) = T {δ(n k)} Saída de um SLIT y(n) = + k= s(k)t {δ(n k)} y(n) = + k= s(k)h(n k) Sistemas de tempo discreto p. 3/37

14 3. Somatório de convolução s( n ) y(n) h(n) y(n) = + k= s(k)h(n k) = s(n) h(n) Sistemas de tempo discreto p. 4/37

15 3. Interpretação gráfica da convolução y(n ) = + k= s(k)h(n k) Rebatimento em torno da origem h(k) = h( k) Deslocamento de h( k) em n amostras = h( (k n )) = h(n k) Produto, termo a termo, das seqüência s(k) e h(n k) = v(n, k) Soma de todos os termos da seqüência v(n, k) Sistemas de tempo discreto p. 5/37

16 3. Ex. : s(n)=u(n) u(n 5) e h(n)=,6 n s(n) h(n) s(n) n h( n) s(n) n 4 6 n Sistemas de tempo discreto p. 6/37

17 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) n =.5 y(n) n = n = n = 3 n = n n Sistemas de tempo discreto p. 7/37

18 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) n = 5.5 y(n) n = 6 n = 7 n = 8 n = n n Sistemas de tempo discreto p. 8/37

19 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n).5 y(n) n Sistemas de tempo discreto p. 9/37

20 3. Exemplo : h(n) e s(n)=u(n+) u(n ) h(n) s(n) n h( n) s(n) n n h(n) é o mesmo do Exemplo. Sistemas de tempo discreto p. /37

21 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) y (n) n = n =.5 n = n = Sistemas de tempo discreto p. /37

22 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) n = 4.5 y (n) n = n = n = Sistemas de tempo discreto p. /37

23 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) y(n) n=.5 n= Sistemas de tempo discreto p. 3/37

24 3. Exemplo : y(n) = h(n) s(n) 3 y(n) n Sistemas de tempo discreto p. 4/37

25 4. Propriedades da Convolução Comutativa y(n) = s(n) h(n) = h(n) s(n) Associativa (s(n) h (n)) h (n) = s(n) (h (n) h (n)) Distributiva s(n) (h (n) + h (n)) = s(n) h (n) + s(n) h (n) Sistemas de tempo discreto p. 5/37

26 4. Propriedades da Convolução Comutativa s( n ) y(n) h(n) h (n) y(n) s( n) Associativa s( n ) h ( ) h y(n) ( n s( n ) y(n) ) h n)* h ( ) n ( n Distributiva s( n ) h ( n ) y(n) s( n ) y(n) h n) + h ( ) ( n h ( n ) Sistemas de tempo discreto p. 6/37

27 5. Sistemas FIR e IIR causais Sistemas FIR (Finite Impulse Response) y(n) = M k= h(k)s(n k) Sistemas IIR (Infinite Impulse Response) y(n) = + k= h(k)s(n k) Sistemas de tempo discreto p. 7/37

28 5. Estrutura de implementação de um sistema FIR y(n) = M k= h(k)s(n k) s( n) z s( n ) s( n ) s( n 3) s( n M ) z z z h () h () h() h(3) h( M ) h( M ) y( n) Sistemas de tempo discreto p. 8/37

29 5. Sistemas descritos por equações de diferenças Equação de diferença linear com coeficientes constantes N a(k)y(n k) = M b(l)s(n l) k= l= Formulação recursiva ( y(n) = N a(k)y(n k) + a() k= M l= b(l)s(n l) ) Sistemas de tempo discreto p. 9/37

30 5. Estrutura de implementação de um sistema IIR a() = : y(n) = M b(l)s(n l) N a(k)y(n k) l= k= s( n ) b () y( n) s( n ) z b() a() z y( n ) s( n ) z b() a() z y( n ) z z s( n M + ) z s( n M ) b( M ) b( M ) a( N + ) a( N ) z y( n N + ) y( n N) Sistemas de tempo discreto p. 3/37

31 6. Resposta em freqüência de um SLIT s( n) = e j n h( n) j n j y( n) = e H( e ) y(n) = h(k)s(n k) = k= k= h(k)e jω(n k) = e jωn h(k)e jωk = e jωn H(e jω ) k= }{{} Resposta em freqüência Sistemas de tempo discreto p. 3/37

32 6. Resposta em freqüência É π-periódica: H (e j(ω+kπ) ) = k= h(k)e j(ω+kπ)n }{{} e jωn = H(e jω ) É uma função complexa de ω: H(e jω ) = H R (e jω ) + jh I (e jω ) = H(e jω ) e jθ(ω) H(e jω ) = HR (ejω ) + HI (ejω ) (módulo) θ(ω) = arctg H I(e jω ) H R (e jω ) (fase) Sistemas de tempo discreto p. 3/37

33 6. Sistema com resposta ao pulso unitário real O complexo conjugado de H(e jω ) é H (e jω ) = k= h (k)e jωk Se o h(n) for real, então: H (e jω ) = H(e jω ) θ(ω) = θ( ω) H(e jω ) = H(e jω ) Fase: função ímpar Módulo: função par Sistemas de tempo discreto p. 33/37

34 6. Associação de sistemas Associativa s( n ) y(n) H ( e jω ) H ( e jω ) s( n ) y(n) H ( e jω ) H ( e jω ) Distributiva H s( n ) y(n) H ( ( e e jω jω ) ) s( n ) y(n) ( jω ( e jω H e ) + H ) Sistemas de tempo discreto p. 34/37

35 6. Exemplo : Sistema de média móvel y(n) = [ ] s(n ) + s(n) + s(n + ) 3 Resposta ao pulso unitário h(n) = (/3) [ δ(n + ) + δ(n) + δ(n ) ] Resposta em freqüência H(e jω ) = k= k= h(k)e jωk = 3 Módulo: H(e jω ) = (/3) cos(ω) + {, ω π/3 Fase: θ(ω) = π, π/3 ω π [e jω( ) +e jω +e jω ] Sistemas de tempo discreto p. 35/37

36 6. Resposta em freqüência: módulo e fase Módulo (db) Fase/π (rad) ω/π (rad/amostra) Sistemas de tempo discreto p. 36/37

37 6. Sistema descrito por equação de diferenças M N y(n) = b(l)s(n l) a(k)y(n k) l= k= Entrada s(n) = e jωn Saída y(n) = e jωn H(e jω ) = s(n)h(e jω ) Resposta em freqüência: M b(l)e jωl H(e jω ) = + l= N a(k)e jωk k= Sistemas de tempo discreto p. 37/37