Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra

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1 Análise e Processamento de BioSinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Tópicos: Introdução à Análise de Sinais e Sistemas Introdução: O que é um sinal? O que é um sistema? Panorâmica sobre Sistemas Específicos e Classes de Sinais Classificação de Sinais Operações Básicas sobre Sinais Sinais e Sistemas Elementares Operações de Interligação Propriedades de Sistemas Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

2 Sinais O que é um sinal? Um sinal é formalmente definido como uma função de uma ou mais variáveis que representa informação sobre um dado fenómeno físico. Quando a função depende de duas ou mais variáveis estamos perante um sinal multi-dimensional. Sinais Contínuos no tempo são funções de variáveis reais (t) onde t pode tomar qualquer valor real (t) poderá ser nulo para um dado intervalo de valores de t Sinais Discretos no tempo (sequências) são funções que tomam valores num conjunto discreto de pontos (eio dos números inteiros) [n] onde n {...-3,-,-,0,,,3... Por vezes utilizamos índice em substituição de tempo quando analisamos sinais discretos no tempo. Os valores para poderão ser reais ou compleos Slide 3 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Sistemas O que é um sistema? Um sistema é definido formalmente como uma entidade que realiza uma função, processando/transformando um ou mais sinais de entrada de forma a gerar novos sinais de saída. Slide 4 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

3 Sistemas Um sistema é uma transformação de um sinal (designado entrada) noutro sinal (designado saída ou resposta). Sistemas contínuos no tempo são sistemas com sinais de entrada e de saída contínuos no tempo. Eemplos de Sistemas Contínuos no tempo (t) = (t) + (t-) (t) = (t) (t) Sistema (t) Eemplos de Sistemas Discretos no tempo [n] = [n] + [n-] [n] [n] = [n] Sistema [n] Slide 5 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Classes de Sinais: Analógico versus Digital Para as operações de processamento de um sistema podem ser utilizar duas estratégias principais: processamento analógico (contínuo no tempo) ou processamento digital (discreto no tempo) O processamento digital ( discreto no tempo) apresenta as seguintes vantagens: Fleibilidade Repetibilidade Contribuições tecnológicas Alto desempenho dos sistemas electrónicos digitais Alta Integração em circuitos Slide 6 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

4 Analógico versus Digital Um sinal analógico pode tomar, num determinado instante, valores reais ou compleos Um sinal digital toma valores de um conjunto (finito) discreto - Slide 7 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Classificação de Sinais: Para melhor estudo dos sinais é comum fazer a classificação com base nas suas características. Neste curso os sinais são estritamente unidimensionais podendo os seus valores serem Um número real Um número compleo A variável independente é o tempo t que é um número real. As classificação dos sinais está restrita a diferentes características que são: Contínuos e Discretos no tempo Simetria (par e ímpar) Periódicos e não periódicos Determinísticos ou aleatórios Energia ou Potência Slide 8 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

5 Classificação de Sinais: Contínuos e Discretos no tempo (a) Sinal contínuo no tempo (t). (b) Representação de (t) como um sinal discreto no tempo [n]. [ n] = ( nt ), n = 0, ±, ±, L s Slide 9 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Classificação de Sinais: Simetria (par e ímpar) p Sinal é Par Sinal é Ímpar Decomposição ( t) = para todo o t ( t) = para todo o t = p + ip ( t) = p( t) + ip ( t) = p ip = [ + ( t) ] = [ ( t) ] ip Slide 0 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

6 Classificação de Sinais: Periódicos e não periódicos Um sinal é (t) é periódico se é uma função do tempo que satisfaz a condição: sendo T uma constante positiva. = ( t + T ) Se a condição anterior se satisfaz para T=T0 então satisfaz para T=T0,3T0,4T0,.. O menor dos valores de T que satisfaz a condição acima é designado o período fundamental do sinal (t). O inverso do período fundamental designa-se frequência fundamental e formalmente descreve-se por: f = T epressa em ciclos por segundo hertz (Hz). A mesma quantidade pode ser epressa em radianos por segundo por: π ω = πf = T Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Classificação de Sinais: Periódicos e não periódicos T=0.s T=0.s Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

7 Classificação de Sinais: Periódicos e não periódicos A forma de classificação de um sinal como periódico pode ser etensa a sinais discretos no tempo através de: sendo N um inteiro positivo. O menor dos valores de N que satisfaz a condição acima é designado o período fundamental do sinal [n]. A frequência fundamental é formalmente: epressa em radianos. [ n] = [ n + N ] π Ω = N Slide 3 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Classificação de Sinais: Determinísticos ou aleatórios Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não eiste incerteza do seu valor em qualquer momento. Estes tipos de sinais podem ser, quase sempre, modelados por uma função matemática dependente do tempo. Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual eiste incerteza acerca do seu valor. Este tipo de sinais pode ser modelado como pertencendo a um conjunto de sinais, cada qual tendo diferentes formas de onda. No entanto cada sinal deste conjunto tem uma determinada probabilidade de ocorrer. Ao conjunto de sinais designamos um processo aleatório. Um eemplo de um sinal aleatório é o ruído eléctrico. Slide 4 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

8 Classificação de Sinais: Energia e Potência Considere a tensão v(t) numa resistência R, que origina uma corrente i(t). A potência instantânea dissipada na resistência é p v = R = Ri Em análise de sinais é normal assumir que R=ohm e a potência instantânea de um sinal é epressa pela epressão p = Com esta convenção a energia total de um sinal contínuo no tempo é T Com a potência média dada por T T / dt = E = lim dt P = que no caso de um sinal periódico de período T é em que a sua raiz quadrada da potência média representa o valor rms (root mean-square). Slide 5 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias lim T T T T / P = dt T T T / dt Classificação de Sinais: Energia e Potência Para o caso de um sinal discreto [n] a energia total do sinal é E = [ n] n= A potência média é definida por N P = lim N [ n] N n= N Em análise de sinais periódicos com período fundamental N é dada pela epressão N P = [ n] N n= 0 Um sinal é designado por sinal de energia se satisfaz a condição, Um sinal é designado por sinal de potência se satisfaz a condição, 0 < E < 0 < P < Slide 6 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

9 Classificação de Sinais: Sumário da Classificação de Sinais Contínuos e Discretos no tempo Simetria (par e ímpar) Periódicos e não periódicos Determinísticos ou aleatórios Energia e Potência Slide 7 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Operações Básicas: Operações na variável dependente Multiplicação por uma constante Adição = c [ n] c[ n] = = + [ n] = [ n] [ n] + Multiplicação Diferenciação Integração = [ n] [ n] [ n] = d = dt d dt = v L i t = z( τ ) dτ v = i( τ ) t C dτ Slide 8 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

10 Operações Básicas: Operações na variável independente Mudança de escala temporal = ( at) se 0 < a < sinal é epandido, se a > o sinal é comprimido [ n] = [ kn], k > 0 Slide 9 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Operações Básicas: Operações na variável independente Refleão = ( t) refleão em torno de 0 Casos especiais: Sinais pares (-t)=(t) são iguais à sua versão reflea Sinais ímpares (-t)=-(t) é a versão negativa da sua versão reflea Slide 0 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

11 Operações Básicas: Operações na variável independente Deslocamento temporal ( t ) = ( t ) t 0 Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Operações Básicas: Precedência das Operações Considerando um sinal (t) gerado a partir de um sinal (t) pela combinação de deslocamento temporal e mudança de escala. = ( at b) Para obter o sinal (t) é necessário aplicar a seguinte ordem: (º) deslocação temporal t-> t-b; º escala temporal t->at v = ( t b) a = v( at) = ( at b) = ( t + 3) Slide Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

12 Operações Básicas: Precedência das Operações = ( t + 3) Slide 3 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Operações Básicas: Precedência das Operações [ n] = [ n + 3] [ n] = - 0 n =, n = -,- n = 0 e n > Slide 4 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

13 Operações Básicas: Sumário da Operações Básicas Operações na variável dependente Operações na variável independente Precedências nas operações Slide 5 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Sinais Elementares: Eponenciais = at Be [ n] = n Br Slide 6 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

14 Sinais Elementares: Sinusoidais A ( ωt + φ) ( t + T ) = Acos( ω( t + T ) + φ) = = cos pois T = π ω [ n] = Acos( Ωn + φ) [ n + N] = Acos( Ωn + ΩN + φ) = com ΩN = πm radianos Slide 7 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Sinais Elementares: Sinusoidais eponencialmente amortecidas αt = Ae sin ( ωt + φ) comα > 0 n [ n] = Br sin [ Ωn + φ] com 0 < r < Slide 8 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

15 Sinais Elementares: Degrau, n 0 0, n < 0, t > 0 0, t < 0 u [ n] = u = notar que u( 0) é indefinido Pulso Slide 9 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Sinais Elementares: Impulso (de Dirac) Discreto no tempo δ [ n], n = 0 = 0, n 0 Contínuo no tempo δ = t 0, 0 δ δ δ dt = Slide 30 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

16 Sinais Elementares: Impulso Contínuo no tempo δ = lim 0 δ aδ Eiste uma relação entre o impulso e a função degrau unitário Propriedades δ δ ( t ) = u u = δ ( τ ) Slide 3 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias d dt ( t) = δ δ ( t t ) dt = ( t ) δ ( at) = δ, a 0 a 0 0 > t dτ Sinais Elementares: Rampa t, t 0 u t r t tu t 0, t < 0 ( ) = ou ( ) = ( ) n, n 0 0, n < 0 [ ] = ou r[ n] = mu[ n] r n Slide 3 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

17 Sinais Elementares: Sumário sobre Sinais Elementares Eponenciais Sinusoidais Sinusoidais e Eponencialmente amortecidos Degrau Impulso Derivada de um impulso Rampa Slide 33 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Operadores de Interligação: Interligação Um sistema, em termos matemáticos, pode ser descrito por uma sequência de operações interligadas, que transformam um sinal de entrada num sinal de saída. Os sinais podem ser: contínuos no tempo, discretos no tempo ou uma mistura de ambos. O operador H é a notação que representa, matematicamente, a operação realizada pelo sistema. = H{ [ n] = H{ [ n] k [ n k] = S { [ n] Slide 34 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

18 3 [ n] = ( [ n] + [ n ] + [ n ] ) (a) Realização em cascata (b) realização em paralelo. Slide 35 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de Sistemas: Estabilidade Ponte suspensa em Tacoma Narrows, November 7, 940. (a) Fotografia mostra movimento oscilatório (b) Fotografia que mostra a destruição da esteira de estrada, alguns minutos depois. Slide 36 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

19 Propriedades de Sistemas: Sistema Estável Um sistema é considerado de entrada limitada e saída limitada (BIBO: bounded-input, bounded-output) se e só se a todas as entradas limitadas correspondem saídas também limitadas. Supondo uma relação entrada saída do tipo o operador M H{ M H{ = é um BIBO se: M < para todo t M < para todo t com e representando números finitos positivos. A condição é aplicável para a estabilidade de um sistema discreto no tempo, após as correctas adaptações das condições acima. Slide 37 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de Sistemas: Memória Sem memória Considera-se que um sistema possui memória se o seu sinal de saída depende do valores passados (ou futuros) do sinal de entrada. A etensão temporal da dependência dos valores passados (ou futuros) define quanta memória o sistema têm. Um sistema não têm memória se a sua saída depende unicamente do valor presente do sinal de entrada. 3 i R = = v [ n] [ n] [ n] = ( [ n] + [ n ] + [ n 4] ) Com memória 4 unidades memória v t i( τ ) dτ = C Desde o passado infinito Slide 38 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

20 Propriedades de Sistemas: Causal Um sistema é designado causal se o valor presente da saída depende unicamente dos valores presente e passados do sinal de entrada. Um sistema é designado não-causal se o valor presente da saída depende de um mais valores futuros do sinal de entrada. 3 [ n] = ( [ n] + [ n ] + [ n 4] ) Causal Slide 39 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de Sistemas: Invertível Um sistema é considerado invertível se a entrada do sistema pode ser recuperada a partir da saída. Equivalente à colocação de um segundo sistema em cascata e após o primeiro, realizando um conjunto de operações que permite recuperar o sinal de entrada. H inv inv { = H { H{ inv = H H{ O segundo operador Hinv é o inverso do primeiro operador H. A entrada (t) passa pela cascata de operadores sendo o seu resultado um sinal inalterado. H inv H = I Slide 40 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

21 Propriedades de Sistemas: Invariante no Tempo Um sistema é invariante no tempo se um atraso ou adiantamento temporal do sinal de entrada provoca um deslocamento temporal idêntico no sinal de saída. t0 = ( t t0 ) = S { = H{ ( t t0 ) t0 = S { t0 = HS { HS t0 t0 S H = H{ t0 ( t t0 ) = S { t0 = S { H{ t0 = S H{ = O operador deslocamento temporal é comutativo Slide 4 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de Sistemas: Linear Um sistemas é classificado linear em termos da sua entrada (t) (ecitação) e da sua saída (t) (resposta) se satisfaz as seguintes duas propriedades: Sobreposição = H{ + = + Homogeneidade = H{ = H{ k k = Em geral = H{ = H{ a + b = a b + Slide 4 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

22 Propriedades de Sistemas: Linear Σ N = ai i i= = H{ = H ai i = N i= a i i N i= N = aih{ i = ai i i= = H N i= a i i N i= Slide 43 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de Sistemas: Sumário das propriedades de um sistema Estável Memória Causal Invertível Invariante no tempo Linear As condições e restrições formais são válidas para sistemas contínuos no tempo ou discretos no tempo Slide 44 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

23 Sumário Introdução: O que é um sinal? O que é um sistema? Panorâmica sobre Sistemas Específicos e Classes de Sinais Classificação de Sinais Operações Básicas sobre Sinais Sinais e Sistemas Elementares Operações de Interligação Propriedades de Sistemas Slide 45 Análise e Processamento de BioSinais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias