Análise de Sinais Dep. Armas e Electronica, Escola Naval V1.1 - Victor Lobo Capítulo 3. Transformadas de Fourier e Fourier Discreta

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1 Capítulo 3 Transformadas Fourier e Fourier Discreta Bibliografia (Cap.3,4 Louretie)(Cap.3,6 Haykin)(Cap.3 Ribeiro) 1 1 Domínio da frequência Qualquer sinal (1) po ser composto numa soma exponenciais complexas Uma exponencial complexa é a soma um seno com um coseno e jωn cos( ωn ) + j sin( ωn ) A composição em senos e cosenos é muito útil pois são são funções próprias SLITS: a forma onda saída é idêntica à da entrada, diferindo apenas a amplitu e fase Facilida caracterização: bastam dois parâmetros 2 2 Page 1

2 Motivação para a transformada Forier Para calcular a resposta um SLIT a um sinal Partir o sinal em vários sinais sinusoidais x( + + Calcular o modo como o SLIT respon a cada um les h( h( h(... Somá-los y( Motivação para a transformada Forier Como partir um sinal em sinusois? Ver quão semelhante é o sinal a cada seno Fazer a projecção do sinal sobre eixos sinusois Produto interno vectores -> produto interno sinais 4 4 Page 2

3 Definição da transformada Fourier Definição: n n X ( ω ) x( n) e jωn X ( ω) sinais contínuos x( e jωt dt x( n) 1 2 π 2 π X ( ω) e j ω n d ω 1 x( ω π X ( ) e 2 jωt dω Frequências discretas variam entre -π e π 5 5 Comentários sobre a Transf. Fourier Domínio do tempo vs Domínio da frequência Correspon a olhar para a mesma coisa segundo ângulos diferentes Pomos passar um domínio para o outro sem perr informação A representação no domínio da frequência chama-se ESPECTRO DE FREQUÊNCIA Domínio do tempo Domínio da frequência x( h( y( X(ω) H(ω) Y(ω) Transformada Fourier 6 6 Page 3

4 Existência da transformada Os somatórios/integrais pom divergir A transformada não existe nesses casos (ou é infinita...) Condições SUFICIENTES Condiçoes Dirichelet: x( é absolutamente somável/integrável n n x X ( ω) x( n) e X ( ω) ( e No caso contínuo, x( tem que ter um número finito máximos/mínimos, e um número finito scontinuidas em qualquer intervalo finito (sempre verificado no caso discreto) jωn jωt dt Outros casos Usando funções Dirac é possível calcular a transformada muitos mais sinais (senos/cosenos,escalões, funções contínuas 7 7 Comentários sobre a Transf. Fourier Gran simplificação: Transforma convoluções em multiplicações Convolução sinais no tempo Multiplicação das suas transformadas no tempo! τ y ( x( * h( x( h( t τ ) Y ( ω) X ( ω) H ( ω) τ O cálculo da resposta um SLIT a uma dado sinal entrada torna-se muito fácil se formos capazes passar /para o dominínio da frequência 8 8 Page 4

5 Comentários sobre a Transf. Fourier Gran complicacação: A transformada um sinal real é um sinal complexo Cada ponto no espectro é caracterizado por uma magnitu uma fase (ou parte real/parte imaginária) Real Exemplo: e -jωt sin(ω+j sin(ω sinusoi complexa Real Imaginário Imag Visão tri-dimensional Visão catesiana 9 9 Transf. Fourier sinais discretos Iia base: Ver quão semelhante é o sinal em causa com cada uma das sinusóis Medida similitu: produto interno A componente frequência x é o produto interno (ponto a ponto), entre o sinal e o seno ssa frequência! A transformada um sinal discreto é uma função contínua! Não dá jeito nenhum vamos ter que a calcular num conjunto finito pontos O espectro um sinal discreto é periódico! Como e -jωn e -j(ω+2π)n, X(ω) X(ω+ 2π) 2π Page 5

6 Ponto da situação com MATLAB Exercício: Rotina para calcular a convolução entre 2 sinais Poremos calcular a saída um SLIT quando excitado com um sinal qualquer Rotina para calcular a transformada Fourier num dado ponto (frequência) Poremos calcular o espectro um sinal num conjunto arbitrário pontos Poremos calcular a saída um SLIT quando excitado com um sinal qualquer Amostragem Questões: Com que periodicida vo amostrar sinais contínuos quando estou a convertê-los em digitais? Qual a relação entre a frequência real do sinal, e a frequência digital? Qual a relação entre n e t x c ( Conceito período/frequência amostragem Intervalo entre 2 amostras T s (T Sample ) 1/T s f s Frequência amostragem x d (n) x c (nt s ) Page 6

7 Amostragem Se multiplicar o sinal analógico por um pente Diracs, obtenho o digital! T s Multiplicalção no tempo convolução na frequência Frequência em contínuo e em digital Qual a relação entre frequência um sinal contínuo e sse mesmo sinal amostrado? EXPLICAÇÂO INTUITIVA Sabemos que 2 frequências que diferem em 2π serão rigorosamente idênticas quando amostradas. Sabemos que ωπ a 2π a taxa variação diminui Sabemos que ωπ correspon à maior frequência digital possível Sabemos que no domínio do tempo, o sinal digital maior frequência é aquele em que duas amostras consecutivas têm sempre sinal contrário e a mesma amplitu (pente alternado) Sabemos que o pente alternado tem uma frequência 1/(2*Ts)f s /2, e quem um sinal digital frêquência π é um pente alternado! Logo, um sinal contínuo frequência f s /2, quando amostrado com uma frequência f s, tem uma frequência digital π Page 7

8 E agora os bonecos x( T T1/f Amostragem a uma frequênca f s 1/Ts tempo (contínuo) Ts Transformada Fourier tempo (digital) ωπ freqência (digital) Para quem esteve a dormir Regra 3 simples f contínuo fs/2 f digital π fs/2 fcontínuo π fdigital Para os que ainda mais distraídos : f digital f contínua 2π/fs f contínua f digital fs/2π Page 8

9 Consequências da amostragem 2π ( fs) Se o sinal original fôr limitado em frequência, tendo uma largura banda ω b, é possível obter o seu espectro sem erros. Se se diminuir a frequência amostragem, há o risco do espectro interferir com si próprio 2π ( fs) ω b Teorema da Amostragem Só é possível amostrar um sinal sem perr nenhuma das suas características se ele for limitado em frequência Para não perr nenhuma característica (e ser possível reconstruir o sinal sem erro) é necessário amostrá-lo com uma frequência amostragem pelo menos 2 vezes superior à sua largura banda 2 ω b frequência Nyquist Frequência amostragem mais baixa: Altas frequências interferem nas baixas Haverá ALIASING no domínio do tempo Page 9

10 Amostragem em frequência Amostrar lentamente no tempo aliasing na frequência Amostrar lentamente na frequência aliasing no tempo F x( 2π x( F -1 n pontos n pontos Amostragem modo a não perr informação: USAR TANTOS PONTOS NA FREQUÊNCIA COMO NO TEMPO Mais comentários... Aumentar a frequência amostragem: Aumenta a largura banda que pomos amostrar sem erros A frequência digital correspon a frequências cada vez maiores Aumentar o número pontos amostrados no tempo: Aumenta a resolução em frequência Quanto mais tempo tenho para amostrar, melhor distingo frequências próximas Page 10

11 Dado Propriedas da Transformada Fourier Linearida Deslocamento no tempo Simetria do conjugado F ( x( ) X ( ω) F jωt0 x( t t0) e X ( jω) F x( ay( + bz( X ( ω) ay ( ω) + bz( ω) * F x ( X * ( ω) Mas se x( for real, x*(x( logo X(ω)X*(-ω) Se X(ω)X*(-ω) então PARA SINAIS REAIS, o espectro potência é um sinal PAR Propriedas da Transformada Fourier Diferenciação dx( F jωx ( ω) dt Integração t F 1 x( τ ) dτ X ( ω) + πx (0) δ ( ω) jω Multiplicação (modulação) F 1 r( s( p( R( ω) ω 2π ( S( ω) P( )) Page 11

12 Propriedas da Transformada Fourier Relação Parseval (Conservação da energia ) x( Pares notáveis sinais/transformadas Para não andar a fazer contas consultar TABELAS! Exemplo: Pulso quadrado Sinc dt X ( ω) dω 2π -T +T t -π/t +π/t ω -π/w +π/w t -W +W ω Transformada Inversa Transformada Inversa Recupera o sinal a partir da sua transformada X jωt 1 jωt ( ω) x( e dt x( ω ω π X ( ) e d 2 n n X ( ω) x( n) e jωn 1 x( n) ω π X ( ) e 2 2π jωn dω Page 12

13 Cálculo da transformada Há uma série simetrias que fazem com que os mesmos coeficientes sejam usados várias vezes SIN(x)COS(π/2-x) Há várias técnicas, mas todas elas reduzem drasticamente o tempo cálculo FFT Fast Fourier Transform A partir da finição n 2 Com FFT n log(n) Semelhança entre transformada directa e inversa As rotinas FFT com pequenas alterações calculam também a transformada inversa Exercício em MATAB Imagine que um dado radar transmite um sinal da seguinte forma: x(4sin(4e9/2π * +sin(2.3e6//2π * Calcule numericamente o espectro sse sinal (com 1024 pontos) usando directamente a finição transformada e usando a rotina FFT do matlab. Calcule a diferença tempo gasto em cada uma das opções Page 13