Modelação Numérica 2017 Aula 6, 7/Mar

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1 Modelação Numérica 2017 Aula 6, 7/Mar Propriedades da DFT FFT Convolução Correlação h6p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt

2 Aula passada Transformada de Fourier Discreta Qualquer função periódica pode ser representada como uma série de Fourier, i.e.: f(t) = a X k=1 a k cos 2 kt T + b k sin 2 kt T

3 Transformada de Fourier Discreta f(t) = a X k=1 a k cos 2 kt T = a 0 X 2 + a 1 cos 2 t T Φ: Fase inicial A: Amplitude + b k sin 2 kt = T + + b 1 sin 2 t T Primeira harmónica: a 1 cos 2 t T + b 1 sin 2 t T a 2 cos 2 t T/2 + b 2 sin 2 t T/2 = A cos 2 t T + T: Período; Frequência f=1/t; Frequência angular: ω=2πf = 2π/T Aula passada +...

4 Os coeficientes de Fourier são complexos f(t) = a X k=1 = a X = 1X k= 1 k=1 a k cos 2 kt T a k c k e i2 kt/t ib k e i2 kt/t b k sin 2 kt T 1X k=1 = a k + ib k 2 e i2 kt/t = Aula passada

5 Exponenciais imaginárias Video: h6ps:// David Dorran

6 Exponenciais imaginárias Video: h6ps:// GLV

7 Exponenciais imaginárias Outros vídeos: h6ps:// h6ps:// h6ps:// h6ps://

8 Os coeficientes de Fourier são complexos f(t) = a X a k cos 2 kt X T k=1 = a X a k ib k e i2 kt/t + X 2 k=1 = 1X c k e i2 kt/t Xk= 1 + b k sin 2 kt = T 1X X k=1 a k + ib k 2 e i2 kt/t = Aula passada 1 c 0 = a 0 2,c n = a n ib n,c n = a n + ib n 2 2 Z

9 Funções reais: Pares vs Ímpares Aula passada Ímpares: sin(x) = - sin(-x) Pares: cos(x) = cos(-x) Zero (arredondado) Zero (arredondado) Transformada imaginária, ano-simétrica: c k = ir k = -ir -k Transformada real, simétrica: c k = r k = r -k

10 X Espectro de amplitude Aula passada import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi c k = NX 1 t=0 f(t n )e i2 t nk/n #%% X def TFD(f): n=len(f); c=np.zeros(len(f), dtype=complex) for k in range(n): for t in range(n): c[k] = c[k] + f[t]*np.exp(-2j*pi*t*k/n) return c cos(x) N=100.; T=10.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f=np.cos(2*pi * t/t) tf=tfd(f) fout=np.concatenate([tf[n/2:], tf[:n/2]]) fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(-fnyq, fnyq,df) plt.close(); plt.subplot(2,1,1); plt.plot(t, f) plt.title('function f'); plt.grid(); Reordenamento Vector de frequências plt.subplot(2,1,2); plt.plot(freq,np.abs(fout)/(n/2)) plt.title('amplitude(tfd)'); plt.grid(); plt.xlim([-fnyq, fnyq]) plt.xlabel('freq (Hz)') plt.tight_layout() Escalamento

11 Espectro de amplitude Aula passada sin(x) cos(x)

12 Espectro de amplitude e de fase sin(x) cos(x) Fase = -π/2 Fase = 0

13 Propriedades da TDF Linearidade: G = F(g); H = F(h) F(ag+bh) = ag + bh

14 Propriedades da TDF Translação: G(f) = F(g(t)) F(g(t-a)) = e -ifa G(f)

15 Propriedades da TDF Escalamento: G(f) = F(g(t)) F(g(at)) = 1/a G(f/a)

16 N 1 FFT (ifft): Fast Fourier Transform c k = X f(t n )e i2 t nk/n t=0 X import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi import numpy.fft as fft plt.rcparams['figure.figsize'] = 5, 6 #%% N=100.; T=10.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f=3*np.cos(2*pi * t/t) tf=fft.fft(f) fout=tf[:n/2] fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(0, fnyq,df) plt.close(); plt.subplot(2,1,1); plt.plot(t, f) plt.title('coseno (T=10)'); plt.grid(); plt.subplot(2,1,2); plt.plot(freq,np.abs(fout)/(n/2)) plt.title('amplitude da FFT (np.abs(fout))'); plt.grid(); plt.xlabel('freq (Hz)') plt.tight_layout() Dada a simetria do espectro de amplitude, é suficiente representar o semi-eixo posiovo das frequências.

17 N 1 FFT (ifft): Fast Fourier Transform c k = X f(t n )e i2 t nk/n t=0 X import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi import numpy.fft as fft plt.rcparams['figure.figsize'] = 5, 6 #%% N=100.; T=10.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f=3*np.cos(2*pi * t/t) tf=fft.fft(f) fout=tf[:n/2] fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(0, fnyq,df) plt.close(); plt.subplot(2,1,1); plt.plot(t, f) plt.title('coseno (T=10)'); plt.grid(); plt.subplot(2,1,2); plt.plot(freq,np.abs(fout)/(n/2)) plt.title('amplitude da FFT (np.abs(fout))'); plt.grid(); plt.xlabel('freq (Hz)') plt.tight_layout() A FFT será eficiente se N=2 k.

18 Transformada de Fourier Domínio vsico: Tempo (s) Espaço (m) F Directa Inversa F -1 Domínio transformado (espectral): Frequência (s -1 ou Hz) Número de onda (m -1 ) Série temporal: Δt (intervalo de amostragem) N Δt (dimensão/comprimento da amostra) Espectro (amplitude, fase): Δf = 1/(N Δt) (resolução espectral) f Nyquist = 1/(2 Δt) (frequência máxima) Mesma informação!

19 Interacções entre duas séries? Convolução: Correlação: y(k) =x h = conv(x, h) = y(k) =corr(x, h) = X +1X n= 1 +1X X n= 1 1 x(n)h(k n) x(n)h(n + k)

20 Convolução y(k) =x h = conv(x, h) = +1X n= 1 x(n)h(k n) X Drakos & Moore

21 Convolução y(k) =x h = conv(x, h) = +1X n= 1 x(n)h(k n) X Inducoveload

22 Teorema da convolução F(xy) = F(x) * F(y) F(x*y) = F(x) F(y) A transformada de Fourier do produto de duas funções é a convolução das suas transformadas (e vice versa).

23 Aplicações da convolução Os filtros lineares não recursivos (e.g. medias móveis pesadas) são convoluções no domínio do tempo. Logo, no domínio transformado, teremos o produto do espectro do input pelo espectro do filtro. Truncar uma série é muloplica -la por uma função rectangular. Logo, no domínio transformado, teremos a convolução do espectro do input pelo espectro do filtro.

24 Truncamento x =

25 Truncar uma série com fracções do período Mesmo sinal: T=10, Δt=1, mas N variável Ok! J Ok! J Errado! L

26 Correlação y(k) =corr(x, h) = +1X n= 1 1 x(n)h(n + k) Cmglee

27 Correlação y(k) =corr(x, h) = +1X n= 1 1 x(n)h(n + k) UCBerkeley

28 Teorema da correlação X=F(x), Y=F(y), Y* complexo conjugado de Y Então: F(corr(x,y)) = X Y* F(corr(x,x)) = X X* = espectro de potência = (espectro de amplitude) 2