Processamento Digital de Sinais. Aplicações da DFT. Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

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1 Processamento Digital de Sinais Aplicações da DFT Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2 Aplicações da DFT Nesta seção iremos apresentar três aplicações bastante comuns da DFT: 1) Análise espectral de sinais 2) Resposta em frequência de sistemas 3) Convolução via domínio da frequência

3 Análise espectral de sinais Em muitos casos, a informação contida em um sinal está no domínio da frequência. Exemplos: áudio, voz. Nestes casos, a forma de onda no domínio do tempo não é importante, mas sim a amplitude, frequência e fase das componentes senoidais. Podemos usar a DFT para calcular o espectro de um trecho de sinal e assim visualizar o seu espectro: periodograma. Geralmente os sinais vêm imersos em ruído, que pode eventualmente ter uma potência maior que o próprio sinal. Neste caso usamos a técnica do periodograma médio. Um exemplo ajuda a ilustrar estes conceitos.

4 Sonar passivo Um microfone é colocado dentro da água, e seu sinal é digitalizado a uma frequência de amostragem 160Hz. Olhando o sinal no domínio do tempo, temos:

5 Janelamento do sinal O domínio do tempo parece não ter informação útil. Vamos então tentar uma análise no domínio da frequência. A primeira coisa a fazer é multiplicar o sinal no domínio do tempo por uma janela de Hamming (explico depois porque):

6 Cálculo da DFT (Periodograma) Calculando a DFT de 256 pontos e convertendo para a forma polar, obtemos o seguinte espectro (129 pontos): Você consegue perceber alguma informação útil nisto?

7 Porque não funciona? Não há informação suficiente nos 256 pontos para termos uma curva bem comportada. Se usarmos mais pontos (2048 por exemplo), teremos uma curva parecida, só que mais contínua. Mesmo que os 2048 pontos tenham mais informação, o grande número deles dilui a informação do mesmo fator. Melhora a resolução, mas mantém o mesmo nível de ruído. Solução: usar mais pontos, mas não aumentar o número de pontos da DFT.

8 Periodograma médio Quebramos o sinal em vários segmentos de 256 pontos, calculamos a DFT de 256 pontos de cada segmento e fazemos a média de todos os espectros:

9 Análise do espectro obtido Abaixo de 10 Hz: ruído 1/f Acima de 70 Hz: atenuação do filtro anti-aliasing. Entre 10 e 70 Hz: ruído branco 60 Hz: ruído da rede elétrica 13, 26 e 39 Hz: turbina de 3 hélices girando a 4.33 rps! Octave:analiseEspectral.m

10 Cheque sua compreensão Um cientista adquire amostras de um experimento a taxa de amostragem de 1 MHz. Ele sabe que o sinal contém uma senóide de 100 khz. Ele precisa determinar é se há uma segunda senóide de 103 khz. Inicialmente ele toma uma DFT de pontos do sinal. Para sua surpresa, tudo o que ele pode ver no espectro é o ruído. Ele estima que o sinal que ele está procurando é quatro vezes menor em amplitude do que o ruído aleatório (ou seja, SNR = 0,25). Ele também estima que a SNR terá de ser pelo menos 3 para que o sinal possa ser detectado, se houver. Para melhorar a SNR, ele decide quebrar o sinal em segmentos e calcular a média de seus espectros. É possível detectar a segunda senóide? Como?

11 Deteção de sinais próximos em frequência DFT de 512 pontos de duas senóides de frequências 6100 e 6250 Hz, que aparecem como uma única senóide. (fs=96khz) A resolução da DFT (187,5Hz) é muito baixa para detectar as duas senóides.

12 Deteção de sinais próximos em frequência (cont.) Aumetando o número de pontos da DFT para 8192, conseguimos visualizar os dois picos. Neste caso, a resolução é de 11,72 Hz. Octave:somasenos.m

13 Cheque sua compreensão Um kernel de filtro (resposta ao impulso) é composto de 250 amostras, e foi concebido para deixar passar todas as freqüências abaixo de 0,11, e bloquear todas as freqüências acima de 0,12. Para avaliar o desempenho deste filtro, você quer inspecionar de perto a sua resposta de freqüência nesta faixa. Para fazer isso, você adiciona zeros à resposta a impulso para completar o comprimento total de 256 amostras e, em seguida, toma a DFT. a. Quantos pontos de dados estão espalhados na área de interesses? b. Repita o procedimento para uma DFT de comprimento 2048.

14 Necessidade do janelamento Sinal composto por duas senóides: uma com frequência igual a uma das funções base (2kHz) e outra com frequência entre duas funções base (4.51kHz). Observe as caudas (indesejáveis) na segunda senóide.

15 Necessidade do janelamento (cont.) Multiplicando o sinal no tempo por uma janela de Hamming antes de calcular a DFT, observamos 3 efeitos: Os dois picos ficam mais semelhantes As caudas são bastante reduzidas A largura dos picos ficou maior. Janelamento: compromisso entre resolução (largura dos picos) e vazamento espectral (amplitude das caudas).

16 Por que o janelamento melhora Uma multiplicação de dois sinais no tempo corresponde a uma convolução de seus espectros. O espectro de uma senóide é um impulso na frequência da mesma. A convolução de um espectro qualquer com um impulso desloca-o para a posição do impulso.

17 Espectro das janelas mais comuns Retangular Hamming Blackman Hanning

18 Conclusão A multiplicação de uma senóide por uma janela gera dois efeitos: o truncamento da senóide, necessário para o cálculo da DFT o deslocamento do espectro da janela para a posição da frequência da senóide (lembre-se: multiplicação no tempo equivale a convolução na frequência). Desta forma, o que vemos no espectro gerado pela DFT é na verdade o espectro da janela deslocado para a frequência da senóide. Analisando as janelas: Retangular: picos mais estreitos, caudas acentuadas Blackman: picos largos, caudas bastante atenuadas Hamming: compromisso

19 Cheque sua compreensão Verifique qual janela seria mais adequada para cada caso. Escolha entre Blackman, Retangular e Hamming, e justifique sua resposta. Construção de um afinador eletrônico para instrumentos musicais. Verificação da existência de uma rádio pirata na frequência de 89,2MHz, sabendo que existe uma rádio comercial em 89,1MHz.

20 Resposta em frequência de sistemas Qualquer sistema linear pode ser completamente descrito pela forma como altera as amplitudes e fases de cada senóide que passam por ele. Esta relação entre as amplitudes e fases das senóides de entrada e saída é conhecida como resposta em frequência do sistema linear. Desde que tanto a resposta a impulso como a resposta em frequência descrevem completamente um sistema linear, deve haver uma relação de um para um entre elas. De fato, a resposta em frequência é dada pela transformada de Fourier da resposta a impulso.

21 Relação entre resposta a impulso e resposta em frequência Tempo: y[n ]= x[n ] h [n] Frequência: Y [ f ]= X [ f ] H [ f ]

22 Cuidados no cálculo da DFT Seja um sistema com resposta a impulso de 64 pontos a) Calculando a DFT de 64 pontos, temos o gráfico em b) Não parece muito bom.

23 Zero padding Para melhorar o espectro, primeiro adicionamos zeros à resposta a impulso do sistema até gerar um sinal de 512 pontos c). Calculando a DFT de 512 pontos, chegamos ao espectro da figura d). Octave:filtrosinc.m

24 Por que isto funciona? O espectro de um sinal é contínuo, mesmo que o sinal seja discreto. A DFT pode ser vista como uma amostragem do espectro real. Por exemplo, uma DFT de 64 pontos mostra apenas 33 pontos da curva contínua do espectro. Ao adicionarmos zeros ao sinal no tempo, não alteramos o seu conteúdo de frequências, mas melhoramos a resolução em frequência (mais pontos da curva contínua são mostrados).

25 Convolução via domínio da frequência A convolução é a ferramenta matemática que relaciona os sinais de entrada e saída de um sistema linear. Entretanto, ela é evitada em dois casos: Quando os sinais a serem convoluídos são muito longos, por causa do tempo de processamento. Dados a resposta em frequência e o sinal de saída, para determinar o sinal de entrada é necessário executar a deconvolução, uma operação matemática extremamente complicada no domínio do tempo.

26 Graficamente y[n ]= x[n ] h [n] Y [ f ]= X [ f ] H [ f ]

27 Multiplicação no domínio da frequência Na forma polar MagY [ f ]=MagX [ f ] MagH [ f ] FaseY [ f ]=FaseX [ f ] FaseH [ f ] Na forma retangular ReY [ f ]=ReX [ f ] ReH [ f ] ImX [ f ] ImH [ f ] ImY [ f ]=ImX [ f ] ReH [ f ] ReX [ f ] ImH [ f ]

28 Divisão no domínio da frequência (deconvolução) fftconv Na forma polar MagH [ f ]=MagY [ f ]/ MagX [ f ] FaseH [ f ]=FaseY [ f ] FaseX [ f ] Na forma retangular ReH [ f ]= ImH [ f ]= ReY [ f ] ReX [ f ] ImY [ f ]ImX [ f ] ReX 2 [ f ] ImX 2 [ f ] ImY [ f ] ReX [ f ] ReY [ f ]ImX [ f ] ReX 2 [ f ] ImX 2 [ f ]

29 Convolução Circular Recordando: a convolução de um sinal de N pontos com outro sinal de M pontos gera um terceiro sinal com N+M-1 pontos. Exemplo: N = 453 M = 60 N+M-1 = 512

30 Convolução Circular Como N = 453 e M = 60, poderíamos fazer a DFT destes dois sinais com 454 pontos, sem problemas. Entretanto, após a multiplicação dos mesmos no domínio da frequência e a aplicação da transformada inversa, teremos um sinal de 454 pontos, quando deveríamos ter um sinal de 512 pontos. Este é um ponto importante: ao fazer a convolução via DFT, devemos garantir que o comprimento da mesma seja suficiente não apenas para abrigar os sinais a serem convoluídos, mas também o sinal resultante. Em resumo, o comprimento da DFT deve ser maior ou igual a N+M-1. Quando isto não acontece, temos a convolução circular.

31 256 amostras 51 amostras 306 amostras DFT de 256 pontos Sinal resultante distorcido por convolução circular

32 Convolução circular Neste exemplo, as = 50 amostras iniciais estão distorcidas devido à convolução circular. Para evitá-la, devemos preencher os sinais a serem convoluídos com zeros até o comprimento adequado (N+M-1) e tomar a DFT de pelo menos (N+M-1) pontos para fazer a convolução.

33 Cheque sua compreensão Ao fazer uma convolução via DFT de dois sinais de 130 amostras usando uma DFT de 256 pontos, quais amostras seriam distorcidas por convolução circular? Qual seria o número mínimo de pontos necessários na DFT para não haver convolução circular?