EE-940 Engenharia de Som II Análise e Síntese de Sinais Musicais Lista de Exercícios
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- Matheus Henrique da Costa Fartaria
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1 EE-940 Engenharia de Som II Análise e Síntese de Sinais Musicais Lista de Exercícios ) Considere o gráfico a seguir que representa os pontos de máxima amplitude na membrana basilar (para diversas frequências) em função da distância ao estribo. Considere agora a tabela que estabelece as relações entre frequências de notas da escala pitagórica em função de sua posição no círculo das quintas : círculo da quintas n freq(nota)/freq(dó),0000,5000,250,6875,2656,8984 nota dó sol ré lá mi si Para os valores tabelados, utilize o gráfico anterior para estimar a distância, na membrana basilar, entre pontos de máxima amplitude da nota (n) e da nota dó. (faça esta estimativa na faixa de frequências entre e 4 khz) 2) O "coma pitagórico" é por definição a relação entre a 2 a nota e a nota de base (0 a ) da sequência pitagórica (p.ex. Si# e Dó). Considere ainda o fato de que a distância entre os pi de oscilação na membrana basilar provocados por senóides separadas de oitava (na faixa de a 4 khz) é de aproximadamente 7mm. Calcule a distância, na membrana basilar, correspondente ao coma pitagórico. 3) Considere os seguintes fatos: a) a membrana basilar, os pontos de máxima amplitude de ressonância, para notas com intervalo de oitava, estão separados de 7 mm (na faixa entre khz e 4 khz); b) A densidade média de fibras basilares na membrana basilar é de 500 fibras/mm; c) O ouvido humano é capaz de distinguir sons cujas frequências estejam na razão de 8/80 (este é o caso do intervalo denominado coma na música indiana). A partir destes dados especule sobre o número mínimo de fibras basilares envolvidas na distinção entre dois tons.
2 4) Descreva o mais detalhadamente possível o experimento para caracterização de timbres em espaços n-dimensionais a partir de julgamentos subjetivos de um conjunto de ouvintes. 5) Mostre que, se : a n A m e ainda: 3 a 3n = b n a 3n = c n a 3n2 = d n então: A m = B m w m 3 C m w 2m 3 D m. B m C m D m 6) Sejam a n e A m um par de sequências, de comprimento, de números relacionadas pela transformada discreta de Fourier. Mostre que se a n é uma sequência de números reais, então: A m * = A -m 7) Demonstre o teorema do deslocamento para a DFT: a A a A w n m n k 8) Considere a DFT para sequências de 4 termos dada por 3 mn m = a nw 4, m = 0,,2, 3 n= 0 A. Calcule a anti-transformada da série {A m } = {, 0,, 0} 9) Considere a DFT para sequências de 8 termos, dada por 7 mn A m = a nw 8 ;m = n= 0 0,,...,7. Obtenha a transformada da série {a n } = { }. 0) Considere um analisador de espectros implementado em uma máquina com capacidade de cálculo igual a 0 4 multiplicações por segundo e com resolução espectral de 2Hz. Que sinais, em termos de conteúdo espectral, este equipamento pode analisar? ) Considere um sinal f(t) e sua transformada de Fourier F(ω) com as seguintes características: f(t) = 0, se t>a ou t<0 F(ω) < K/ω 2, ω Além disso, suponha que para F(ω) < ε, o efeito de aliasing seja desprezível. Obtenha o número mínimo de amostras (em função de K, a e ε) necessárias à estimação do espectro F(ω) através da DFT. 2) Seja f(t) um função tal que ω, F(ω) /ω 2. Assuma que o efeito de aliasing seja desprezível se a amplitude do espectro é menor que -60 db. Calcule a mínima m mk
3 capacidade de cálculo (em multiplicações/segundo) necessária para implementar um analisador de espectros com resolução menor que 5 rad/s. (Assuma = 2 k ) 3) Repita a questão anterior assumindo que o tempo de processamento de uma janela de tempo não deva exceder a 50% da duração da janela. 4) Seja f(t) o pulso unitário de largura unitária. Obtenha os parâmetros da FFT (, T, ω ) para a estimação do espectro de f(t) considerando que o erro por aliasing é desprezível quando F(ω) < 0-3 e que a resolução do espectro obtido deve ser menor que 5 rad/s. Qual o menor valor de = 2 k que satisfaz a estas restrições? 5) Considere a implementação de um analisador de espectros em tempo real com as seguintes características: a) Capacidade máxima de processamento: 0 5 multiplicações/segundo; b) Frequência máxima do sinal analisado: 0 khz; c) Faixa mínima de análise: 0 a 0 khz; d) Resolução mínima do espectro obtido: ω < 50Hz. Escolha um período para renovação das estimativas do espectro (janela de tempo) e defina os parâmetros da FFT a ser implementada (ω, T, ). 6) a implementação de um analisador de espectro utilizando FFT, calcule a capacidade de cálculo (em multiplicações por segundo) necessária para a análise de um sinal com conteúdo espectral abaixo de 5kHz de maneira a se obter um espectro com resolução melhor que 5 Hz 7) Considere um analisador de espectros implementado em uma máquina com capacidade de cálculo igual a 0 4 multiplicações por segundo e com resolução espectral de 2Hz. Que sinais, em termos de conteúdo espectral, este equipamento pode analisar? 8) Um analisador de espectros deve ser implementado utilizando FFT numa máquina com capacidade de cálculo igual a 2 5 multiplicações/segundo. As seguintes restrições devem ser obedecidas: a) O tempo de processamento de uma janela não deve exceder a 50% da duração da janela; b) A resolução deve ser melhor que 4 Hz (f 0 4Hz). Defina os parâmetros deste analisador de modo a maximizar a faixa de frequência dos sinais analisáveis (escolha, obviamente, = 2 k para algum inteiro k). 9) Considere um analisador de espectros que deve ser capaz de analisar sinais com componentes até uma certa frequência σ (Hz) e com resolução melhor que (Hz). Calcule a menor fração possível da janela de tempo para o cálculo do espectro (via FFT) em função da capacidade de cálculo do processador (expressa em multiplicações/segundo), e das frequências σ e. 20) Calcule a menor capacidade de cálculo possível (expressa em multiplicações /segundo) para um analisador de espectros de modo a satisfazer às seguintes especificações:
4 a) Resolução frequencial: f 0 2Hz b) Composição espectral do sinal analisado:0 f 20kHz (faixa de áudio) c) Fração da janela de tempo utilizada para o cálculo: α 0,5 d) O número de amostras deve ser uma potência de 2: =2 k. Obtenha todos os parâmetros do analisador: (c, T,, α). 2) Utilizando a transformada discreta de Fourier para uma sequência de 4 termos, inverta a matriz: j j M = j j 22) Determine a amplitude, frequência e fase instantâneas do sinal: x(t) = sen(t 2 ) (t 2 ) 23)Considere um sistema computacional de síntese musical onde os sinais periódi são produzidos através da leitura de tabelas. Esboce um programa para implementação destes algoritmos, com dois parâmetros de entrada: amplitude e frequência. Considere a frequência de amostragem constante. 24) Considere um sinal periódico com m harmônicas relevantes, gerado através de uma "look-up table" de tamanho. Qual o maior valor de SI (Sample Increment) de modo que o teorema da amostragem seja respeitado? 25) Supondo que num sistema como o acima a onda acumulada tenha n harmônicas relevantes, calcule a maior e a menor frequências implementáveis em função do tamanho da tabela e da frequência de amostragem do sistema. 26) Esboçe a implementação de um gerador unitário para um sinal senoidal através de uma "look-up table" de tamanho. O gerador unitário deve ter como entradas a amplitude e a fase (medida em radianos) instantâneas do sinal senoidal. 27) Considere um algoritmo para geração de senóides baseado na leitura de uma tabela. Determine o incremento de amostras (SI) de modo que na saída se tenha aproximadamente sen(2t 3 ). 28) Considere uma tabela (look-up table) com = 024 posições contendo valores de valores de (2πk/), k = 0,,...,, a partir da qual um sinal é gerado com frequência de amostragem de khz. Como deve ser o incremento de amostras (SI) em função do tempo de modo que o sinal seja aproximadamente [2π(t 3 2t 2 t )]? Considere o tempo discreto: t = nt s onde T s é o período de amostragem. Desse modo, SI deve ser dado exclusivamente em função de n. 29) Mostre que na implementação de uma look-up table, se o incremento de amostras (SI) for calculado por:
5 SI = f(t)/f s onde: t = kt s f s = /T s ; então a frequência instantânea do sinal de saída é aproximadamente f(t). 30) Considere a tabela com = 024 posições contendo valores sen(2πk/), k=0,..., -, a partir da qual um sinal é gerado com frequência de amostragem 0kHz. Como deve ser o incremento de amostras (SI) em função do tempo de modo que o sinal seja aproximadamente sen[2π(t0exp(-t/0))]. Esboçe o sinal de saída. 3) Considere uma implementação através da leitura de tabelas (look-up table) de um instrumento que produz uma forma de onda com n harmônicas relevantes. Calcule a maior e a menor frequências implementáveis em função do tamanho da tabela e da frequência de amostragem do sistema. 32) Considere um sinal-fonte para utilização em síntese subtrativa obtido através da repetição da função de Blackman-Harris, calculada de forma a evitar aliasing. Qual é a maior frequência do sinal que se pode obter, em função da frequência de amostragem, de modo a não haver superposição temporal das funções? n= 33) Seja s( t) = w τ ( t kt) um sinal periódico obtido pela repetição da funçãojanela de Blackman-Harris de largura τ. Sabe-se que o conteúdo espectral relevante de w τ (t) está entre 0π/τ e 0π/τ (rad/s). Obtenha o número de harmônicas relevantes no sinal periódico s(t) em função de T e τ. 34) Projete um instrumento, baseado em síntese subtrativa, cujo espectro (número de harmônicas presentes) seja proporcional à amplitude do sinal de saída. 35) Seja um sinal dado por: f(t) = (ω c t θ(t)) onde θ(t) é um ruído dado por: θ(t) = 0,2 senω t 0, senω 2 t Calcule a relação sinal/ruído (em db). 36) Para o instrumento FM abaixo, determine a amplitude da componente em khz
6 37) Considere um instrumento FM simples (geradores senoidais com amplitudes constantes). Sejam: A c = ; A m = 200; f c = fa4; f m = do4. a) Qual a nota ouvida? b) Qual a amplitude da componente nesta frequência? Obs.: do4 = 26 Hz e fa4 = (4/3)do4 38) Calcule o valor DC e amplitude das primeiras harmônicas (até ω c ) dos sinais periódi abaixo. Para cada caso determine a frequência da fundamental. c m n c m n= a) x( t) = [ ω t βsen( ω t)] = J ( β) [( ω nω ) t] para: ω c = (2π)300Hz; ω m = (2π)00Hz; β = 0,9 b) repita para: ω c = (2π)500Hz; ω m = (2π)300Hz; β = 0,9 n J n (0,9) (Lembre-se: ( θ) = (θ) ) 39) Considere o instrumento FM (moduladora e portadora senoidais) com A m = 2 f m ; f m = Ré3; A c = e f c = dó4 = 26Hz. Determine qual o espectro resultante (até 26Hz) e qual a nota ouvida. Obs.: considere a escala pitagórica: n f(n),5802,852,7778,3333,0000,5000,250,6875,2656 nota láb mib sib fá dó sol ré lá mi 40) Dê uma expressão analítica (em tempo contínuo) com quatro componentes senoidais puras (não nulas) para o sinal de saída produzido pelo instrumento a seguir: 000 f m 450 Hz sen a) f m = 050 Hz b) f m = 300 Hz 4) Considere o instrumento FM bi tonal com geradores senoidais e os seguintes parâmetros: A c = ; f c = 800Hz; A m = 00; f m = 200Hz; A m2 = 00; f m2 = 00Hz. Calcule a amplitude da componente em 500Hz. 42) Para o instrumento da figura abaixo calcule a amplitude da componente em 400 Hz do sinal de saída.
7 ) Repita o exercício anterior considerando que a portadora seja senoidal (e não senoidal). 44) Esboce o espectro frequencial obtido pelo seguinte instrumento: (calcule a amplitude das 4 primeiras harmônicas) f m f c sendo f m = sol4 e f c = do4 na escala pitagórica. Qual a nota ouvida? 45) Determine as amplitudes das 3 primeiras harmônicas do sinal de saída do instrumento da figura abaixo ) Considere o instrumento da figura. /T max F * 2 f o F * 3 ou sen T max = 4 t (s) Esboce as envoltórias das 3 primeiras harmônicas não nulas, considerando: a) f o = do4 e portadora senoidal
8 b) f o = la5 e portadora senoidal 47) Considere o instrumento FM simples (geradores senoidais com amplitudes constantes). Sejam: A c = ; A m = 200; f c = fa4; f m = do4 a) Qual a nota ouvida? b) Qual a amplitude da componente nesta frequência? Obs.: do4 = 26 Hz e fa4 = (4/3)do4 48) Considere o instrumento FM com modulação bitonal (também neste caso, considere geradores senoidais com amplitudes constantes). Sejam: A c = ; A m = 200; A m2 = 200; f c =500; f m =300; f m2 =200 Qual a amplitude da componente em 00 Hz? 49) Considere um instrumento baseado em waveshaping com f(x) = 2x 2 x ¾. Altere a função f(x) de modo a manter o módulo do espectro de saída para a = ½, porém minimizando a necessidade de normalização de pico. 50)Determine o espectro do sinal periódico ω 0 = 400π rad/s e f(x) = x 3 x 2 x s(t) = f ( ω0 t), sendo: 2 5) Considere um instrumento baseado em waveshaping tal que, para a =, o nível DC e as amplitudes da a harmônica e da 2 a harmônica sejam respectivamente 3/2, e /2. a) Obtenha f(x) de modo a minimizar a necessidade de normalização de pico; b) Obtenha a função de normalização de pico f ( a ) = a max a f( α α ). Você considera necessária esta normalização? Justifique. 52) Para o instrumento da questão anterior, obtenha o espectro quando a = /0. 53) Obtenha f(x) para um algoritmo de síntese por waveshaping de modo que com a=/2 apareçam apenas a a e a 3 a harmônicas com amplitudes iguais. Calcule f(x) de modo a minimizar a necessidade de normalização de pico e obtenha a função de normalização f (a). (Atenção: a condição de que a a e a 3 a harmônicas tenham amplitudes iguais deve ocorrer quando a = /2) 54) Calcule a função f(x) para um instrumento baseado em waveshaping de modo que o espectro do sinal de saída para a = /0 tenha suas tres primeiras harmônicas com amplitudes iguais a /0 (nível dc e todas as outras harmônicas nulas). Calcule f(x) de modo que a necessidade de normalização de pico seja minimizada. 55) Calcule o espectro do sinal de saída do instrumento da questão anterior para a = /2. 56) Obtenha a função f(x) para um instrumento baseado em waveshaping de modo que em regime e com o índice de modulação a = ½ obtenha-se o seguinte espectro:
9 Amplitude ω (rad/s) ω ο 2ω ο 3ω ο 57) a questão anterior, qual o espectro obtido, se a=? 58) Considere o instrumento baseado em waveshaping dado a seguir: /2 00 f(x) Obtenha o espectro do sinal de saída para os casos: a) f(x) = x 2 - x b) f(x) = x 3 2x 59) Calcule a função f(x) para um instrumento baseado em waveshaping de modo que as seguintes condições sejam satisfeitas: a) Quando a= (índice de modulação) a componente DC é nula e a a harmônica tem amplitude unitária. b) Quando a=/2 a 2 a harmônica tem amplitude unitária. c) Quando a=/4 a 3 a harmônica tem amplitude unitária. 60) Seja f(x) = 8x 3 2x 2 4x a função utilizada num instrumento baseado em waveshaping. a) Calcule o valor do índice de modulação a de modo que a 2 a harmônica tenha amplitude igual a /2. b) Recalcule a função de modo a minimizar a necessidade de normalização de pico, mantendo o espectro para o caso de modulação unitária. 6) Mostre que a equação de onda para uma corda sem amortecimento, dada por Ky' ' = ε && y, tem como solução uma composição de ondas de forma arbitrária viajando à esquerda e à direita. Calcule a velocidade destas ondas. 62)Considere o algoritmo baseado em modelagem física para simulação das oscilações.. em uma corda sem amortecimento (K y = ε y'' ). Suponha dada a derivada temporal da função de deslocamento, na forma: y( t, x) = yr( x ct) yl ( x ct) Calcule a derivada espacial da função de deslocamento em função das duas componentes do sinal dado. Obs.: ( c = K ε )
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