Capítulo 4 Séries de Fourier

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1 Capítulo 4 Séries de Fourier Dizemos que representamos uma função real ela se expressa na série em série de Fourier quando os coeficientes são chamados de coeficientes de Fourier. Claro, a série de Fourier só poderá representar rigorosamente, se esta função for periódica com período igual a. Caso contrário, a série de Fourier representará (bem ou aproximadamente bem se a função tiver descontinuidade) apenas nesse intervalo. Como veremos adiante, podemos facilmente mudar o intervalo para um valor arbitrário. A série de Fourier é a base ortonormal mais simples (composta por funções senos e cossenos ortogonais) de representar funções num espaço vetorial de dimensão infinita (espaço de Hilbert). Funções serão na verdade, vetores neste espaço que está munido de produto escalar. Logo, podemos, neste espaço, falar em uma função ser perpendicular a outra, no intervalo, quando Vejamos a ortogonalidade no espaço de Fourier. Multiplicando (1) por e integrando no intervalo, temos pois as integrais em cosseno e seno se anulam. Logo, 1

2 Multiplicando (1) por e integrando no intervalo, temos Das relações trigonométricas: i) seguem e ii) seguem e A 1ª. integral do 2º. membro de (3) é nula. A 2ª. integral do 2º. membro de (3) A 3ª. integral do 2º. membro de (3) Logo, ou seja 2

3 Multiplicando (1) por e integrando no intervalo, temos A 1ª. integral do 2º. membro de (7) é nula. A 2ª. integral do 2º. membro de (7) A 3ª. integral do 2º. membro de (7) Logo, ou seja As funções formam uma base completa ortonormal num espaço vetorial de dimensão infinita (Hilbert). Os senos (cossenos) com diferentes argumentos são perpendiculares entre si e perpendiculares a qualquer cosseno (seno). O produto escalar tem a forma 3

4 Exemplos: 1) Logo, A representação em série de Fourier só coincide com no intervalo. 2) f(x) é a função escada f(x) +1-1 x (pois f(x) é função ímpar) Para toda função ímpar podemos escrever para a função escada Logo, 4

5 Observe que em, que é a média aritmética dos limites de à esquerda e à direita da origem, isto é,. Propriedade: Se tem uma descontinuidade em então Período: Podemos expandir a série de Fourier num período arbitrário comprimento arbitrário. (tempo) ou num Se em (6) e (8) fizermos a mudança de variável, logo o período é arbitrário Se em (6) e (8) fizermos a mudança de variável, logo o período é arbitrário 5

6 Fourier Seno e Fourier Cosseno Se uma função é par de (12a) e (12b) teremos As equações (13a) e (13b) são a representação Fourier Cosseno de uma função. Se uma função é ímpar de (12a) e (12b) teremos As equações (14a) e (14b) são a representação Fourier Seno de uma função. f(x) Exemplo: 1 1/2 -L L x A série de Fourier será 6

7 A série de Fourier Seno será A série de Fourier Cosseno será Os gráficos de estão mostrados na figura abaixo 7

8 Forma Complexa da Série de Fourier Mas Substituindo em (15) Definindo as variáveis complexas Reescrevemos Multiplicando (16) por e integrando os 2 lados em, temos Logo, 8

9 Convergência pela Média Uma grandeza física quando medida experimentalmente (N vezes) assume valores. O desvio quadrático médio é definido por onde é o valor médio definido por O Método dos Mínimos Quadrados minimiza esse desvio. Por exemplo, suponha que 2 grandezas físicas tenham uma relação funcional qualquer, e.g., a magnetização M e a temperatura T; M = M(T). Para cada medida da temperatura obtemos uma correspondente magnetização. Vamos supor que a relação funcional seja uma reta teórica (só para facilitar, poderia ser qualquer outra curva),. Representaremos as variáveis teóricas por (correspondendo a ) e (correspondendo a ). Elas satisfazem a equação da reta Equivalentemente, representaremos as variáveis experimentais por (correspondendo a ) e (correspondendo a experimental). Elas flutuam em torno da reta, i.e.,. O desvio quadrático médio entre os valores teóricos e experimentais vale Para minimizar, derivamos parcialmente em relação ao coeficiente angular da reta, e igualamos a zero. Teremos ou 9

10 Derivando parcialmente em relação ao coeficiente da reta zero. Teremos, e igualamos a ou As equações (20b) e (20d) formam um sistema linear (não homogêneo) para as incógnitas e. A solução é Podemos utilizar essas idéias para otimizar uma série de Fourier truncada que representa uma função dada O desvio quadrático será ou seja, Os mínimos ocorrerão em 10

11 Portanto, o mínimo ocorre quando os coeficientes são de Fourier, isto é, Substituindo esses coeficientes em temos Logo, temos a Desigualdade de Bessel Se no limite, então obtemos a Equação de Parseval Para as funções seccionalmente contínuas vale a equação (25) e dizemos que a base de Fourier forma uma base completa. 11

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