Séries de Fourier. Victor Rios Silva

Transcrição

1 Séries de Fourier Victor Rios Silva Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemática (IM) Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Rua Mário Santos Braga, S/N Valonguinho Niterói, Rio de Janeiro, Brasil Outubro 2010

2 Todos os eventos da natureza podem ser equacionados, uns de maneira simples e outros de maneira mais complexa. Uma das formas de equacionarmos os fenômenos naturais é através das Séries de Fourier. Nosso estudo sobre as Séries de Fourier será uma análise sobre quais as circunstâncias é possível escrever e como escrever uma função como uma Série de Fourier, análise da convergência e demonstração da derivação e integração dessas séries. Nas seções I e II é apresentado as funções periódicas e séries trigonométricas, como uma forma de revisão de conceitos posteriormente essenciais para o entendimento das Séries de Fourier. Na seção III apresenta-se as Condições de Dirichlet, na seção IV, as Integrais de Euler, na seção V, a maneira pela qual se determinam os coeficientes de Fourier, na seção VI, funções pares e ímpares, na seção VII, funções com períodos arbitrários, a fim de expandirmos o conceito de Séries de Fourier da maneira mais genérica possível; na seção VIII, fala-se sobre séries em senos e cossenos e expansão par e ímpar, na seção IX, igualdade de Parseval, na seção X, convergência das Séries de Fourier, na seção XI, derivação e integração das Séries de Fourier, na seção XII, forma complexa das Séries de Fourier e na seção XIII, as aplicações das Séries de Fourier. Durante o estudo são propostas diversas questões resolvidas como forma de exemplificação e melhor entendimento do assunto. I. Funções Periódicas Uma função é dita periódica com um período T se para qualquer x. Do que decorre que para n inteiro Exemplo 1:, temos que, logo. Exemplo 2: Achar o período da função Se a função for periódica: Página 2 / 57

3 Logo Observação: Se duas funções e possuem período T então a função é periódica com período T. II. Série Trigonométrica É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da Variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são admitidos reais. ou [ ] (1) Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período, a soma será uma função periódica de período. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento, por exemplo: trigonométrica. As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série [ ] Esta representação é possível se a satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet. Página 3 / 57

4 III. Condições de Dirichlet Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função. 1ª) A função deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas). Exemplo: { Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em. Contra-exemplo: no intervalo Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto. 2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles é monótona. A função tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período. Exemplo 1: Podemos considerar 3 subintervalos: No 1º No 2º No 3º é crescente é decrescente é crescente Apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo. Página 4 / 57

5 Contra-exemplo: Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de. Exemplo 2: Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet a., Sim, pois no ponto onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie. b., Não, pois temos descontinuidade infinita para. c., Não, descontinuidade infinita na vizinhança de. Página 5 / 57

6 d. { Sim, as duas condições de Dirichlet são satisfeitas. e., Não, pois na vizinhança de temos um número infinito de máximos e mínimos. IV. Ortogonalidade Integrais de EULER Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula. 1) De fato: [ ] 2) De fato: * + [ ] 3) De fato: (1) (2) Somando membro a membro (1) + (2): [ ] [ ] Página 6 / 57

7 4) De fato: (1) (2) Fazendo (1) + (2) [ ] 5) (1) (2) (2) (1): [ ] [ ] 6) 7) ) (1) (2) (1) + (2): [ ] Página 7 / 57

8 V. Determinação dos Coeficientes de Fourier Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar e em termos de de maneira que no intervalo a série trigonométrica (1) seja igual à função isto é: [ ] Integramos os dois membros de (1) entre (-π,π) ( ) = 0 (1ª I.E.) 0 (2ª I.E.) [ ] Cálculo de : Multiplicando (1) por, sendo p, número fixo dado, integrando no intervalo ( ) = 0 (1ª I.E.) = 0 se (3ª I.E.) = 0 (7ª I.E.) Se : Página 8 / 57

9 Cálculo de : Multipliquemos (1) por e integremos entre Se : Exemplo 1: Determinar a série de Fourier da função que supomos possuir período e fazer esboço gráfico de e das primeiras três somas parciais., [ ] [ ] * + [ ] Página 9 / 57

10 * + [ ] [ ], As somas parciais são: ; ; Vimos que para:, A Série que Fourier representa é Página 10 / 57

11 Vamos determinar a Série de Fourier para: { A função é a deslocada unidade para baixo, logo:, A função é a mesma, exceto por uma alteração na escala do tempo: Verificamos que alterar a escala tempo, altera as frequências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente. Exemplo 2: Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período : a., A satisfaz as condições de Dirichlet. Página 11 / 57

12 A satisfaz as condições de Dirichlet. Cálculo dos Coeficientes de Fourier: Fazendo a integração por partes:, -, - {. / Página 12 / 57

13 , -, - { } { } Logo: b. A satisfaz as condições de Dirichlet. Cálculo dos Coeficientes * + * + Sabemos que, então, faremos: Fazendo integral por partes novamente para temos: Página 13 / 57

14 . /. / * + c. A satisfaz as condições de Dirichlet. Vamos calcular os coeficientes: Se fizermos a integração por partes, teremos: ; Página 14 / 57

15 ; [ ] Se multiplicarmos por n², teremos: Mas, sabemos que: { De modo análogo, calculamos Logo: * + ou [ ] Página 15 / 57

16 d. { A satisfaz as condições de Dirichlet. Cálculo dos Coeficientes Como a função é ímpar, então. [ ] [ ] [ ] { VI. Funções Pares e Ímpares Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo. Diz-se que: Observação: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. que: O valor da função ímpar no ponto zero:. Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos Página 16 / 57

17 I) II) III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), é ímpar: IV) O produto de uma função par g(x) por uma função par é uma função par: Página 17 / 57

18 V) O produto de uma função ímpar h(x) por uma função ímpar é uma função par: Conclusão: Se uma função é uma função par, é uma função ímpar e: Por outro lado, se é uma função ímpar, é ímpar e: Teorema I em cossenos: A série de Fourier de uma função periódica par, que possui período, é uma série de Fourier Com coeficientes: A série de Fourier de uma função periódica ímpar, que possui período, é uma série de Fourier em senos: Página 18 / 57

19 Com coeficientes: Consideremos par. (1) (2) Mas como f é par, Somando-se (1) com (2): Por outro lado, Como são funções pares, temos: * + * + * + * + Página 19 / 57

20 Consideremos agora ímpar: (1) Como é ímpar,, então: (2) Fazendo (1) (2): Por outro lado, Como são funções ímpares: * + * + * + * + Página 20 / 57

21 Logo, ao calcular os coeficientes da Série de Fourier para uma função que tenham simetria, é conveniente integrar de a, ao invés de a. Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. Exemplo 1: Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares: a. Logo não é nem par nem ímpar. b. Logo, é par. c. Logo, é ímpar. d. Logo, não é uma função nem par, nem ímpar. e. Página 21 / 57

22 Logo, é uma função par. Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier da função: { Como é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo. Cálculo dos Coeficientes: Como é par, Como a integral já foi calculada, sabemos que: { Portanto: Página 22 / 57

23 Exemplo 3: Determine a Série de Fourier para : Embora pudéssemos determinar a série de diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a não é par nem ímpar. 1º Caso: A subtração de uma constante de produz uma função ímpar : Logo: { Portanto: Página 23 / 57

24 2º Caso: Mudemos o eixo vertical para obter uma função par Logo: { Portanto: Mas como: Podemos reescrever :, exatamente como obtido anteriormente. Página 24 / 57

25 Exemplo 4: Desenvolver em Séries de Fourier as funções, supostas periódicas de período : a. Como é par, temos que ou Se substituirmos, teremos: Página 25 / 57

26 b. { Como é ímpar,. { c. Como é par, temos que ( ) =0 (1ª I.E.) ( ) =0 (1ª I.E.) Página 26 / 57

27 { d. A satisfaz as condições de Dirichlet. Cálculo dos Coeficientes Como é uma função par, temos que * + Sabemos que [ ] [ ] [ ] { Página 27 / 57

28 Exemplo 5: Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T: a. { e Como é ímpar,. { b. { Como é par,. { Página 28 / 57

29 c., e ( ) ( ) { ( ) Página 29 / 57

30 d., e Como a função não é nem par nem ímpar, teremos que calcular. Logo: e., e Página 30 / 57

31 ( ) ( ) Resolvermos a integral da seguinte forma: { Resolvermos a integral da seguinte forma: Página 31 / 57

32 ( ) { f. Como sabemos que é uma função par, temos que. ( ) ( ) { g., ( ) [ ] ( ) { Página 32 / 57

33 h. i. Como sabemos que é uma função par, temos que Página 33 / 57

34 Resolvermos a integral da seguinte forma: ( ) [ ] [ ] j. Como é uma função par, temos que. Mas temos que, Página 34 / 57

35 k. Como é uma função par, temos que. Para calcular, aplicaremos a solução por partes duas vezes: ( ) [ ] [ ] Ao multiplicarmos o resultado por, teremos valendo: [ ] [ ] Página 35 / 57

36 VII. Funções com Período Arbitrário Até agora consideramos funções periódicas de período. Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier para uma função de período T qualquer. Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja definida no intervalo : (1) (2) Somando membro a membro (1) e (2): Substituindo em (1): Então: Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde, logo a é definida no intervalo. Assim: Com coeficientes: Página 36 / 57

37 Para facilitar os cálculos, façamos Com coeficientes: exemplo, O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer. Seja uma função qualquer, definida num intervalo fechado [ ]. Podemos definir o intervalo T como sendo: Página 37 / 57

38 Então, é possível generalizar a Série de Fourier descrita acima como: Exemplo 1: Determinar a Série de Fourier da função, periódica de período. { Temos que: Como é par: Página 38 / 57

39 { Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier em [ ] da função. { Página 39 / 57

40 Exemplo 3: Determine a série de Fourier da função, dada por: A função pode ser definida como:, ( ) ( ) Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio: Designemos por a extensão periódica de a todo o eixo dos x. Então, as funções e são periódicas com período 2, e temos: Para qualquer número real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de ser contínua por partes em com período. Então, Para qualquer par de números reais [ ]. Faremos agora, para obtermos: Página 40 / 57

41 Mas, no intervalo [ ], coincide com a função par, onde para todo k, e: { VIII. Séries em Senos e Séries em Cossenos Desenvolvimento de meio período. Se for par, a série de Fourier fica: (1) Com coeficientes: (2) prolongada como função par. Página 41 / 57

42 Se for ímpar, a série de Fourier fica: Com coeficientes: Prolongamento periódico ímpar. Observação: Constatamos que (2) e (4) empregam unicamente os valores de do intervalo. Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1) e (3). Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo. Fora deste intervalo, a série (1) representará o prolongamento periódico par da, tendo período ; e a (3) o prolongamento periódico ímpar da. Página 42 / 57

43 Exemplo 1: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função definida no intervalo e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente. { ( ) ( ) { Logo: Página 43 / 57

44 Exemplo 2: Representar por meio da Série de Fourier em cossenos e fazer o prolongamento periódico correspondente. a., Prolongamento periódico par. ( * + ) ( ) Calculemos a integral: ; (* + * + * + ) { Seja: Página 44 / 57

45 Exemplo 3: Representar por meio da Série de Fourier em senos e fazer o prolongamento periódico correspondente da seguinte função: Mas temos que: [ ] { Página 45 / 57

46 IX. Igualdade de Parseval Se é uma função qualquer de [ ] então: Onde e são os coeficientes de Fourier. De fato: * + Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação(1) por obtém-se: Tendo em vista que: = Conclui-se que: Página 46 / 57

47 Observação: Em geral, onde,,..., é um conjunto ortogonal de vetores de um espaço de dimensão infinita(espaço euclidiano)v. Assim, é um vetor arbitrário de V. Além disso,,..., é uma base de v se, e somente se : X. Convergência das Séries de Fourier a. Convergência Pontual Seja f(x) contínua por partes em, com período e suponhamos que: [ ] para todo x. Então, a série de Fourier em cada ponto em que f tem derivadas à direita e à esquerda. Quando f é continua, Página 47 / 57

48 b. Convergência em Média [ ] Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e não que converge pontualmente, no sentido que para todo em [ ] A convergência pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada., Neste caso a série converge também pontualmente para f nos pontos de [ ] onde está definida. Além disso, quando, a série converge para zero, embora não esteja definida nesses pontos. Teorema Seja uma função continuamente diferenciável por partes em [ ], com o que entendemos que f tem uma derivada primeira contínua por partes em [ ]. Então, o desenvolvimento em série de Fourier de converge pontualmente em [ ] e tem o valor: Observação: é a média dos limites à esquerda e a direita de em, e é igual a quando é um ponto de continuidade de. Página 48 / 57

49 Assim, podemos afirmar que a série [ ]] converge pontualmente no intervalo [ ] para c. Convergência Absoluta e uniforme Teorema Seja uma função contínua em, com período, e suponhamos que tenha derivada primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de converge uniforme e absolutamente para em todo intervalo fechado do eixo x. Teorema Seja continuamente diferenciável por partes e periódica em com período. Então a série de Fourier de converge uniformemente para em qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de. Página 49 / 57

50 XI. Derivação e Integração das Séries de Fourier Teorema Seja f uma função contínua em, com período, e suponhamos que tenha derivada primeira,, contínua por partes. Então, a série de Fourier de pode ser obtida derivando a série de termo a termo, e a série derivada converge pontualmente para se existe: Teorema Seja f uma função contínua por partes em com período, e seja, a série de Fourier de.então: Em outras palavras, a integral definida de, de a até b, pode ser calculada integrando-se a série de Fourier de termo a termo: Página 50 / 57

51 Teorema da Integral Seja uma função arbitrária de [ ] com Série de Fourier dada por: Então, a função tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do intervalo e [ ] Exemplo 1: [ ] { { Página 51 / 57

52 Exemplo 2: 0 a., - b. { { XII. Forma Complexa das Séries de Fourier Onde pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva: E introduza estas expressões na Série de Fourier. É conveniente definir: { Página 52 / 57

53 Então, a Série de Fourier pode ser escrita, sua forma complexa, da seguinte maneira: Observação:, Exemplo 1: Ache a Série Complexa de Fourier de:, { Página 53 / 57

54 XIII. Aplicações das Séries de Fourier a. Circuitos RLC Página 54 / 57

55 b. Deflexão em Vigas Onde é a rigidez da viga e é a carga por unidade de comprimento. Temos também que. Mas temos que a Série de Fourier de é: { Página 55 / 57

56 { Página 56 / 57

57 Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre as Séries de Fourier, além de suas peculiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções. Foi possível também notar a grande importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais e a facilidade que ela propõe para tal estudo. Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta é essencial para as sociedades poderem interagir com a natureza de maneira cada vez mais eficaz. Agradecimentos Aos amigos Bruno César Gimenez, Pedro Gall Fernandes e Liziane Freitas Possmoser pelo empenho, dedicação e auxílio na elaboração, desenvolvimento e conclusão deste estudo. Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos itens enunciados. Referências [1] Butkov, Eugene, Mathematical Physics, 1ª edição (1988) [2] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier 2010 [3] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier: Mudança de Intervalo [4] Assis, Altair S. de, Convergência das Séries de Fourier [5] Assis, Altair S. de, Apêndice 1 [6] Assis, Altair S. de, Forma Complexa das Séries de Fourier Página 57 / 57