SÉRIES DE FOURIER. Felipe do Carmo Amorim. Fernando Soares Alves. Marcelo da Rocha Lopes. Engenharia Mecânica RESUMO

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1 SÉRIES DE FOURIER Felipe do Carmo Amorim Fernando Soares Alves Marcelo da Rocha Lopes Engenharia Mecânica RESUMO Apresentam-se no artigo que segue os conceitos sobre função periódica, séries trigonométricas, funções pares e impares, as condições que asseguram a convergência das séries (condições de Dirichlet) e também a Série de Fourier para um intervalo arbitrário, bem a mesma escrita na forma Complexa. Efetuaram-se diversos exemplos para os casos trabalhados em cada seção. INTRODUÇÃO No estudo da matemática, a chamada série de Fourier, em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ), é a representação de uma função continua por partes e periódica em um intervalo determinado, ou considerando que, mesmo a função não sendo periódica, como sendo neste dado intervalo. As séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e cosseno. Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 18. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são informais, em boa parte, devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal. Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides e cossenóides.

2 1.1- Funções Periódicas: Uma função é dita periódica com período se,.do que decorre que para inteiro 0, 1,, 3,. Exemplo: 1) Se tan, temos que tan tan,logo. ) Achar o período da função Se a função for periódica,. cos cos cos 1 cos cos 0 Obs:Uma função contínua ó : é limitada e atinge seus valores máximo e mínimo, isto é, existem, tais que, Se duas funções possuem período então a função,é ó. 1.- Série Trigonométrica: É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente por coeficientes, que não dependem da variável e são admitidos reais. 1 1 cos 1 Sendo esta uma série de funções, sua soma S ( no caso de existir,ou seja se a série for convergente ) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas,funções periódicas de período,a soma será uma função periódica de período.de modo que precisamos

3 estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento,por exemplo:, 0,. As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica. 1 cos Esta representação é possível se a satisfizer as condições de suficiência de. 1.3 Condições de Dirichlet: Exemplo: Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma possa ser representada por uma série trigonométrica;as condições de suficiência de Dirichlet,apesar de mais restritivas,asseguram a convergência da série para a função. 1ª) A função deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo,, com exceção, talvez de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie ( finitas ). 1, 0 0, 0 Esta função apresenta,num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0 Contra exemplo: 9 no intervalo 0,. Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto =3

4 Exemplo: Gráfico de f(x) com descontinuidade em x = 3 ª) Efetuando-se uma partição no intervalo, em um número finito de subintervalos,a função em cada um deles será monótona.a função tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período. Podemos considerar 3 sub-intervalos: No 1º é constante; No º é crescente; No 3º é constante, apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo. Contra- exemplo:, Gráfico de f(x) = sen(1/x)

5 Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de 0.. Ortogonalidade Integrais de Euler: Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é. 1 cos 0 1,,3, 0 0,1,, 3 cos cos ,. Demonstrando: cos 0 1 cos 0 ; 1,,. cos ; 0,1,,

6 1 cos 1 cos cos 0 3 cos cos 0 ; cos cos cos 1 Cos cos cos 1 cos cos 1 cos cos cos cos 1 cos cos 0 4 ; 1,, 1 1 cos 1 1 cos cos 1 1 cos ; cos cos cos 1 cos cos cos 1 1 cos cos 1 6 cos cos 0 ; 0

7 1 cos 1 1 cos 7 cos 0 ; cos cos 1 cos 1 cos Determinação dos Coeficientes de Fourier: Usando propriedades elementares de funções trigonométricas podemos facilmente determinar, em termos de de maneira que no intervalo, a série trigonométrica 1 seja igual à função,isto é, 1 cos 1 Integramos os dois membros de 1 entre, 1 cos Cálculo de : Multiplicando-se 1 por cós,sendo, nº fixo dado e integramos entre os limites.

8 Se cos 1 cos cos cos cos, cos 1 cos Cálculo de : Multipliquemos 1 por e integremos entre. 1 Se cos, 1 Exemplo: Determinar a Série de Fourier da função que supomos possuir período e fazer o esboço do gráfico de e das primeiras três somas parciais Graf pag 8 1 1, 0 0, cos 0 cos 1 cos

9 cos í: : As somas parciais são:

10 Gráfico com primeiro, segundo e até quinto elemento da série para f(x). Vimos que para 1, 0 0, 0 A Série que Fourier é 3 Vamos determinar a Série de Fourier para: 1,0 1, 0 1, 0 0, 0

11 A função é a deslocada 1 unidade para baixo, logo A função é a mesma, exceto por uma alteração na escala do tempo Verificamos que alterar a escala de tempo,altera as freqüências angulares dos termos individuais,mas não altera seus coeficientes.assim, para calcular os coeficientes,o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.

12 Exercícios 1.6- Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet 1), 0 Gráfico de f(t) Vamos verificar a continuidade em 0,; 0,, lim lim Logo,existe o limite e 1ª espécie em.,logo é ó Portanto,, apresenta uma descontinuidade de ), apresenta descontinuidade infinita em,logo não. 3), 0 apresenta descontinuidade infinita nas proximidades do 1,logo não.

13 0, 0 4) ², 0 é contínua no intervalo dado e é monótona,logo. 5),0 Como apresenta um nº infinito de máximos e mínimos nas proximidades de z=1,não Desenvolver em Série de Fourier as funções supostas periódicas de período., 0 1),0 satisfaz as condições de Dirichlet. 1 1 Gráfico de f(x) 1 1 cos 1 cos cos 1 cos cos 1 1 cos

14 0, ² 1 1 4, í ² 1 í 0 ) ³, 4 cos 1 cos í 0 1 í cos cos cos cos cos 6 cos 3 6 ³ cos 6 6 ³ ² 1 ² 1 6 ² 1³ 6 ³

15 3), Gráfico de f(t) 1 ) cos ² 1 cos ² cos 1 cos cos cos cos cos cos 1 cos cos 1 ³ cos

16 1 1 ² cos 1, 0 4),0, onde é constante 1 1 =0 cos cos cos cos cos 0,para í Forma complexa da Série de Fourier cos, cos 1 1

17 , 1, 0, 1,

18 1.8 Funções Pares e Ímpares Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π). Diz-se que: g(x) é par se g( x)= g(x), para todo x. h(x) é ímpar se h( x) = h(x), para todo x Exemplo de funções par e ímpar, respectivamente. Observações: O gráfico de funções pares é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (comumente associado a y) e o de funções ímpares é simétrico em relação à origem. Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos que: 1. De fato Então

19 E, portanto,. 0 De fato Então E, portanto, 0 3. O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar f(x), é uma função ímpar. Q(x) = g(x).h(x)

20 Q( x) = g( x).h( x) Q( x) = g(x).( h(x)) Q( x) = g(x).h(x) Ou seja Q( x) = Q(x) 4. O produto de uma função par por outra função par é uma função par. Q(x) = g(x).g(x) Q( x) = g( x).g( x) Q( x) = g(x).g(x) Ou seja Q( x) = Q(x) 5. O produto de uma função ímpar por outra função impar é uma função par. Q(x) = h(x).h(x) CONCLUSÃO: Q( x) = h( x).h( x) Q( x) = ( h(x)).( h(x)) Q(x) = h(x).h(x) Ou seja Q( x) = Q(x) Se f(x) é uma função par e sen(nx) é uma função ímpar, então 1. 0 Se f(x) é uma função ímpar e cos(nx) é uma função par, então 1. cos 0

21 TEOREMA I A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período π, é uma série de Fourier em cossenos. Com coeficientes cos 1 1. cos A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x), que possui período π, é uma série de Fourier em senos. Com coeficientes sen DEMONSTRAÇÃO Consideremos f(x) par.. sen cos 1. cos Mas como f(x) é par f( x) = f(x)

22 . cos Somando-se cos Ou cos Por outro lado 1 Como f(x) e cos(nx) são funções pares, tem-se Portanto 1. cos. cos. cos 1. cos. cos 1 1. cos. cos 1. cos. cos. cos Consideremos f(x) ímpar.

23 1. cos Como f(x) é ímpar, f( x) = f(x) cos. cos Subtraindo-se. de 1., ou seja, 1.. Portanto, Por outro lado 1 Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares, 1 1. sen. sen. sen. sen. sen

24 1. sen 1. sen. sen. sen Portanto,. sen Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de π a π ao invés de 0 a π. Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. EXEMPLOS: 1. Determinar a Série de Fourier da função, 0, Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo ( π, π). OBS: Também seria conveniente escrever f(x) como neste mesmo intervalo, onde também se obteria a mesma Série de Fourier. Todavia manter-se-á a definição anterior para f(x) para este exemplo. Como f(x) é par, sabe-se, como mostrado anteriormente, Tem-se 0

25 1 cos cos Fazendo a integral por partes para x.cos(nx) u = x dv = cos(nx)dx du = dx v = (sen(nx))/n. cos cos Ou seja,. 0, 4, í cos 0 1 cos 1 Portanto, f(x) escrita em Série de Fourier fica como 1 4 cos 1 1 cos3 cos5 9 5

26 Gráfico de em azul e gráfico da Série de Fourier (em verde) para f(x) entre ( π, π), com os primeiros 3 termos.. Determine a Série de Fourier para f(t) Embora pudéssemos determinar a série de f(t) diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois f(t) não nem par nem ímpar. 1 Caso: a subtração de uma constante produz uma função ímpar f impar(t). f impar (t) = f(t)

27 Logo, a 0 = a n = 0 í. 1 1 cos Ou seja 1 1 cos 0,, í Portanto, f ímpar (t) pode ser escrita como í E f(t) como Caso: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par f par (t).

28 Gráfico de f par (t) Logo, b n = cos Ou seja, Portanto f par (t) fica como 0 0, 1, í 1 cos 1 3 cos3 1 cos5 5 E f(t) como 1 cos 1 3 cos cos 5 Como cos(t π/) = cos(t)cos(π/) + sen(t)sen(π/) = sen(t), e cos 3 3 cos3 cos

29 E podemos reescrever f(t) Como no resultado anterior. 1.9 Funções com período arbitrário Até agora se considerou funções periódicas de período π. Por uma simples mudança de variável se pode encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T qualquer. Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja f(t) definida no intervalo, 1.. π< x < π T/< t <T/ Somando membro a membro 1. e. : Substituindo em 1. Então Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde definida no intervalo ( π, π). Assim,, logo a é

30 cos Onde 1 1 cos 1 Para simplificarmos os cálculos façamos e Onde cos 1 O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0 < t < T. O teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer. Exemplo: Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T = 4. 0, 1, 1 1 0, 1

31 Temos que Como f(t) é par, b n = 0 e Portanto, pode-se escrever f(t) como 0, 1, í cos

32 Gráfico de f(t) descrita por sua Série de Fourier com os quatro primeiros termos Séries em Senos e Séries em Cossenos Desenvolvimento de meio período. Seja f(t) de período T = L. Se f(t) par, a Série de Fourier fica: 1. Com coeficientes 1 Como f(t) é par. Se f(t) for ímpar

33 3. Com coeficientes 4. Gráfico de f(t) Gráficos de f(t) prolongada como função par e como função ímpar, respectivamente OBS.: Constamos que. e 4. empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0, L).

34 Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1. e 3.. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0, L). Fora deste intervalo, a série 1. representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período L; e a 3. O prolongamento periódico ímpar da f(t). Exemplo: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo (0, L) e fazer o gráfico do prolongamento correspondente. 1, 0 0, Gráfico de f(t) Gráfico f(t) prolongada como uma função par

35 / / 0 1 / / 0 0, é, í Portanto a Série de Fourier em cossenos para f(t) é

36 Exercícios: 1.11 Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares: 1. cos Resolução: cos Nem par nem ímpar. cos Resolução: cos Função par 3. Resolução: Função ímpar 4. Resolução: 1 Nem par nem ímpar 5. Resolução: Função par 1.1 Desenvolver em série de Fourier as funções, supostas periódicas de período igual a : 1., e obter o seguinte resultado devido a Euler:

37 1 Resolução: cos nx sin nx 1 1 cos Gráfico de f(x) cos cos cos cos cos 0 cos 4 cos 0

38 = o Função ímpar cos 3 1,, 1, 0 ; 0 0 e mostrar que cos 1 cos cos cos

39 , 0 é cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos 0 1 1, 1 4 cos 1 cos3 9 Fazendo x = 0, obtém-se o resultado. 4 4 cos 1 cos3 9 0, é 1.13 Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período t: 1 f(x) = 1 (-1 < x < 0), f(x) = -1 ( 0 < x < 1 ), f(0) = 0, t =

40 0 é í cos 1 0 cos cos é 4 é í, cos 1 3 cos 3

41 3 0, 0 0 cos cos 0 0 cos 0 0 cos cos cos cos 1 9 cos Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. E. E por meio as Série de Fuirier em senos as funções 3. E 4.; e fazer o prolongamento periódico correspondente:

42 , 0 1, cos 1 cos í, cos 4 6³ ² 4 1 cos 1 4 cos cos 3 3 cos 0

43 cos cos 1 cos cos cos cos 1 1 cos cos cos é í cos 1 1 é ,

44 CONCLUSÃO Conforme analisado nesta obra, as Séries de Fourier são de suma importância para representação de vários tipos de funções que modelam os mais diversos fenômenos naturais. Tais Séries são comumente utilizadas para a resolução de equações diferencias parciais com suas respectivas condições iniciais e valores de contorno. AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8ª edição Rio Janeiro: LTC, p. [] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Analise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 3ª edição Rio de Janeiro: Impa, p. [3] BUTKOV, Eugene. Física Matemática. 1 ª edição Rio de Janeiro: LTC, p. [4] ASSIS, Altair Souza de. Séries de Fourier ª edição Rio de Janeiro: EDUFF, p.