x 2 y 6xy + 10y = 0, x > 0 y(1) = 1, y(2) = 18.

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1 Gabarito da a Prova Unificada de Cálculo IV Dezembro de a Questão: (. pts) Resolva o problema de contorno: x y 6xy + y =, x > y() =, y() = 8. Solução: Como se trata de uma equação de Euler, a solução geral pode ser obtida a partir da Equação Indicial (que se obtém procurando-se soluções do tipo y = x r, r constante). A Equação Indicial nesse caso é r(r ) 6r + =, cujas raízes são r = e r = 5. Portanto, a solução geral é, para x >, y = C x + C x 5. Substituindo as condições de contorno, obtemos: y() = C + C =, y() = 4C + 3C = 8. Resolvendo esse sistema, obtemos C = / e C = /. Logo, a solução é: y(x) = x + x5. a Questão: (3. pts) Seja f : R R uma função periódica de perído π tal que f(x) = se x, se < x < π. (a) Determine a série de Fourier de f(x); (b) Determine o conjunto D dos pontos de R para os quais a série de Fourier de f converge e calcule o valor do limite da série em cada ponto de D; (c) Dê a expressão da função g periódica de perído π que coincide com f no intervalo < x < π, mas que sua série de Fourier contenha somente termos em senos. Solução: (a) Calculando diretamente os coeficientes de Fourier de f: a n = π a = π f(x) cos(nx) dx = π [ f(x) dx = 3. ] cos(nx) dx + cos(nx) dx =.

2 b n = π f(x) sen(nx) dx = π Logo, série de Fourier de f(x) é: S(x) = 3 + π = nπ k= [ ] sen(nx) dx + sen(nx) dx [ ] cos(nπ) = se n é par, nπ k + sen( (k + )x ). se n é ímpar. (b) Como f(x) e f (x) são contínuas por partes em [, π], temos que a série de Fourier S(x) de f converge em todos os pontos de R e seu limite é: f(x) se f é contínua em x, S(x) = [ ] f(x + ) + f(x ) se f é descontínua em x. Logo, D = R e S(x) é a função periódica de período π tal que se < x <, S(x) = 3/ se x =, se < x < π, 3/ se x = π. (c) Para que g satisfaça as condições exigidas, ela tem de ser uma extensão ímpar de f, isto é, se < x <, se x =, g(x) = se < x < π, se x = π. y π x Observação: A série de Fourier de g(x) não se altera se redefinirmos os valores de g(x) em um número finito de pontos do intervalo [, π]. Portanto, se considerarmos g(x) periódica de período π tal que a resposta está correta. g(x) = se x, se < x < π,

3 3 a Questão: (. pts) Usando o método de separação de variáveis, determine a solução geral da equação do calor u t = u 4 x, < x < π, t >, com condições de contorno do tipo misto: u(t, ) = u (t, π) =. x Solução: Pelo método de separação de variáveis, devemos procurar soluções não nulas da forma u(t, x) = T(t)X(x). Substituindo esta expressão na equação, obtemos, T (t) 4T(t) = X (x) X(x) = λ R. A primeira das equações acima nos fornece solução geral do tipo T(t) = Ce 4λt, C R. Vejamos então para que valores de λ a segunda equação fornece soluções não triviais satisfazendo as condições de contorno. Portanto, devemos analisar as solução de X = λx, < x < π, (PC) X() = X (π) =. i) Se λ =, a solução geral da equação em (PC) é X(x) = Ax + B. Verificando as condições de contorno, obtemos B = X() = e A = X (π) =. Logo, não existem solução não nulas nesse caso. ii) Se λ = ω >, a solução geral da equação em (PC) é X(x) = Ae ωx + Be ωx. Verificando as condição de contorno obtemos, X() = A + B =, X (π) = ωae ωπ ωbe ωπ =. O sistema acima por ser expresso na forma ( ) ( ) A ωe ωπ ωe ωπ = B ( ). Como o determinante da matriz é ω cosh(ωπ) (pois ω ), a única solução dos sistema é a solução nula. Logo, não existem soluções não nulas nesse caso. iii) Se λ = ω <, a solução geral da equação em (PC) é X(x) = A cos(ωx) + B sen(ωx). Verificando as condição de contorno obtemos, X() = A = e X (π) = ωb cos(ωπ) =. Nesse caso, podemos obter soluções não nulas para ω = (k+)/, k =,,,.... Logo, para cada k =,,,..., temos λ k = [(k + )/] e as respectivas soluções da forma ( ) [ k + X k (x) = B k sen x, T k (t) = C k exp 4 3 ( ) k + t].

4 A solução geral pedida é, então, u(t, x) = [ ( ) ( ) k + k + a k exp 4 t] sen x. k= 4 a Questão: (3. pts) Usando o método de separação de variáveis, determine a solução de u t u =, < x <, t R, x u u (t, ) = (t, ) =, x x u(, x) = x u, (, x) =, x. t Solução: Por separação de variáveis, obtemos Temos portanto duas equações: T (t) T(t) = X (x) X(x) = λ R. T (t) = λt(t) e X (x) = λx(x) ( ) Determinemos os valores de λ para os quais a segunda equação em ( ) possui soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno: X () = X () =. i) Se λ =, a solução geral da segunda equação em ( ) é X(x) = Ax+B. Verificando as condições de contorno, obtemos A = X () = X () =. Logo, as funções constantes X(x) = B, B R, devem ser consideradas. Para esse valor de λ, a primeira equação de ( ) tem solução geral da forma T (t) = C t + D. ii) Se λ = ω >, a solução geral da equação é X(x) = Ae ωx + Be ωx. Verificando as condição de contorno obtemos, X () = (A B)ω = A = B. X () = ωae ω ωbe ω = ωa senh(ω) = Como ω, segue que A = B = e, portanto, não existem soluções não nulas nesse caso. iii) Se λ = ω <, a solução geral da segunda equação em ( ) é X(x) = A cos(ωx)+ B sen(ωx). Verificando as condições de contorno obtemos, X () = ωb = B =. Logo X(x) = A cos(ωx) e X () = ωa sen(ω) =. Nesse caso, podemos obter soluções não nulas para ω = kπ, k =,,... e a primeira equação de ( ) tem solução geral dada por T k (t) = C k cos(kπt) + D k sen(kπt). 4

5 Assim, dos itens (i) e (iii) acima, devemos considerar as soluções X k (x) = A k cos(kπx), < x <, para cada k =,,,.... Analogamente, para a primeira equação em ( ), devemos considerar as soluções que correspondem a λ = e λ = k π, isto é, T (t) = C t + D, T k (t) = C k cos(kπt) + D k sen(kπt), t R. Assim, a solução geral da equação que satisfaz as condições de contorno dadas é: u(t, x) = a t + b + [ a k cos(kπt) + b k sen(kπt) ] cos(kπx), k= onde estamos denotando a k = C k A k, b k = D k A k, a = C B e b = D B. Para determinar as constantes a, b, a,..., vamos impor as condições iniciais, isto é, x = b + = a + a k cos(kπx) k=, < x <. kπb k cos(kπx) k= Logo, b, a, a,... são os coeficientes de Fourier da função f periódica de perído tal que f(x) = x, < x < e a, πb, πb,... são os coeficientes de Fourier da função nula (necessariamente todos nulos). Vamos então calcular: b = x dx = 3 b = 3. Portanto, a solução é: a k = x cos(kπx) dx = kπ k 3 π 3 y cos(y) dy = ( ) k 4 k π. u(t, x) = 3 + ( ) k 4 k cos(kπt) cos(kπx). π k= 5