ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTE 2A - 15 DE JUNHO DE DAS 11H. Apresente e justifique todos os cálculos. dy dt = y t t ; y(1) = 1.

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Ágebra e Anáise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTE A - 5 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Apresente e justifique todos os cácuos. Determine expicitamente a soução do seguinte probema de vaor inicia, indicando o intervao máximo de definição da soução: Sugestão: Faça a substituição v = y t. dy dt = y t t ; y( =. y Resoução: Seguindo a sugestão, faz-se a substituição y(t = t v(t. Então y (t = v(t + tv (t. Donde a equação passa a escrever-se, para a nova incógnita v(t, como v + tv = v v tv = v vv = t, ou seja, obtivemos uma equação separáve na qua o ado esquerdo pode ser visto como a derivada, em ordem a t, de v /, d v(t dt = t. Para integrá-a e obter a soução v(t usaremos desde já a condição inicia. Em termos da nova função v ea escreve-se v( = y( =, peo que a integração da equação separáve se faz: ˆ t v(t d v(s ds = ds v( ˆ t s ds = og og t v(t = og t v(t = og(t. Para obter a expressão expĺıcita para v(t há que resover esta equação. Duas funções se obtêm: ± og(t. Mas como a condição inicia, em t =, corresponde a uma soução v( = com vaor positivo, destas duas funções v(t só poderá ser a que tem sina positivo, peo que v(t = og(t. Finamente, há que desfazer a substituição inicia para obter expĺıcitamente a soução y(t que procuramos, ou seja y(t = tv(t = t og(t.

2 ACED TESTE O intervao máximo de definição é obtido procurando o maior intervao aberto que contém o instante inicia t = e onde a função é continuamente diferenciáve, o que, no nosso caso, é dado peas restrições t e og(t >. Assim, og(t < t < e (t, e concuimos finamente que o intervao máximo de definição desta soução é ], e[.. Determine a soução gera do sistema { x = 4x + y y = 3x y. Resoução: A matriz do sistema 4 A = 3 tem como vaores próprios as souções da equação 4 λ 3 λ = λ 3λ + =. As souções são λ = e λ = ogo a matriz A é diagonaizáve. Os vectores próprios associados ao vaor próprio são as souções da equação [ [ a = b = a. 3 3] b ] [ ou seja, os mútipos do vector. Os vectores próprios associados ao vaor próprio ] são as souções da equação [ [ 3 a = b = 3 ] b ] 3 a. ou seja, os mútipos do vector. 3 Concui-se portanto que a soução gera do sistema é x(t = c y(t e t + c e t 3 com c, c R. 3. Considere a equação y + 4y = g(t. (a Determine a soução gera da equação homogénea associada. (b Resova o probema de vaor inicia dado por g(t = sen t ; y( = ; y ( =. (c Resova o probema de vaor inicia determinado por g(t = δ(t ; y( = y ( =. Resoução:

3 ACED TESTE 3 (a A equação homogénea pode escrever-se (D + 4y = (D + i(d iy = e tem portanto soução gera y(t = c cos t + c sen t com c, c R. (b Tendo em conta a resposta à aĺınea anterior, a matriz Wronskiana da equação é dada por cos t sen t W (t = sen t cos t que tem inversa W (t = cos (t + sen (t [ cos t sen t cos t = sen t cos t sen t ] sen t. cos t A fórmua da variação das constantes diz-nos então que a soução do probema de vaor inicia é dada por y(t = [ cos t sen t ] ˆ y( t W ( y + [cos t sen t] W ( (s ds sen s = [ cos t sen t ] cos 4 + [ cos t sen t ] ˆ t cos s ds sen 4 sen s = cos(t cos 4 + sen(t sen 4 + [ cos t sen t ] [ ] (t 4 og sen s t = cos(t 4 (t cos(t + sen t(og sen t og sen 4. 4 (c Apicando a transformada de Lapace à equação e denotando como habituamente a transformada de Lapace da função y(t por Y (s temos L(y + 4L(y = L(δ(t s Y (s sy( y ( + 4Y (s = e s (s + 4Y (s = e s Y (s = e s s + 4. Concui-se portanto que a soução do probema de vaor inicia é ( e y(t = L s s + 4 ( = H(t L (t s + 4 = H(t sen((t. onde H(t designa como habituamente a função de Heaviside. 4. Considere a função f(x = { se x, se < x. (a Determine a série de senos de f(x indicando os vaores para os quais converge a série obtida.

4 4 ACED TESTE (b Resova o seguinte probema u = u + u, ( < x <, t t x u(, t = u(, t =, u(x, = f(x, u (x, =. t Resoução: (a Para obter a sére de Fourier de senos da função dada, com x [, ] é necessário fazer o proongamento ímpar desta função ao intervao [, ] (os vaores das funções nos extremos destes intervaos são indiferentes, porque não modificam os vaores dos integrais envovidos nas fórmuas dos coeficientes. Devido ao proongamento ímpar, os coeficientes dos cosenos anuam-se e os coeficientes dos senos passam apenas a ser dados por b n = L ˆ L f(x sen L dx. Neste nosso caso L = peo que a fórmua anterior reduz-se a ˆ [ sen dx = ] cos = ( ( cos Assim, a série de Fourier de senos da função f(x dada é ( ( cos sen. n=. Visto que o proongamento ímpar da função f é seccionamente C [, ], então sabe-se que em R a série converge para uma função periódica, de período 4, a qua, em cada x [, ], é igua à média dos imites aterais do proongamento ímpar de f nesse ponto, ou seja se x < se x = se < x < se x = se < x < se x = se < x. (b Como sempre, começamos por procurar souções não triviais (ou seja, não nuas por separação de variáveis, ou seja, da forma X(xT (t. Substituindo na equação obtemos: X(xT (t = X (xt (t + X(xT (t T (t = X (x T (t X(x +. Agora, duas funções de variáveis independentes diferentes - neste caso t e x - só podem ser iguais se forem ambas constantes, peo que se tem T (t T (t = λ e X (x X(x + = λ.

5 ACED TESTE 5 Daqui resutam duas equações diferenciais ordinárias, para T (t e X(x, sendo que as condições de fronteira u(, t = u(, t = são incorporadas na escoha das funções X(x de modo a satisfazerem X( = e X( =. Assim, temos que procurar souções não nuas dos probemas { T (t + λt (t = X (x + (λ + X(x =, X( = X( =. O probema de vaores próprios e funções próprias X (x + (λ + X(x =, X( = X( =, foi já exaustivamente estudado nas auas. Há que procurar souções não nuas X(x satisfazendo as condições de fronteira impostas, sendo para isso necessário estudar separadamente os três casos λ + <,λ + = e λ + > visto as souções da equação de segunda ordem serem diferentes, consoante estes casos. Sabemos, do mesmo estudo feito nas auas, que com as condições de fronteira nuas os casos λ + < e λ + = apenas dão souções triviais. Já para λ + >, em que a soução gera da equação é X(x = A cos( λ + x+b sen( λ + x, substituindo nas condições de fronteira X( = X( =, verifica-se que para os vaores de λ discretos λ n = n π, n =,, 3,... se têm as souções não triviais X n (x = sen, n =,, 3,... Usando estes vaores λ n na equação de segunda ordem, para T (t, ( n T n π (t + T n (t =, e como para quaquer n os termos n π são positivos, obtém-se a soução gera ( ( n π T n (t = A cos n π t + B sen t. Determinaram-se assim todas as souções não triviais, da forma X(xT (t, que satisfazem a equação diferencia parcia e as condições de fronteira: X n (xt n (t = A sen ( n π cos t + + B sen ( n π sen t.

6 6 ACED TESTE Finamente, fazem-se as combinações ineares infinitas de todas estas souções de modo a satisfazer as condições iniciais. ( n π u(x, t = a n sen cos t + n= ( n π + b n sen sen t. A condições iniciais em t = são duas, porque a equação envove duas derivadas parciais na variáve t. Temos que começar por satisfazer u(x, = f(x donde, pea fórmua anterior da soução se tem: u(x, = a n sen = f(x, n= concuindo-se que os coeficientes a n são os coeficientes da série de Fourier de senos para f(x, já obtidos na aĺınea anterior. Assim a n = ( ( cos. Para a outra condição inicia em t =, u (x, =, derivando a nossa soução t u(x, t acima, em ordem a t, e substituindo t =, obtém-se ( u t (x, = n π b n sen =, n= de onde se concui triviamente que todos os b n =. A soução fina do probema é então dada por ( ( ( n π u(x, t = cos sen cos t. n= 5. Mostre que se f : [, ] R é uma função de casse C k com k e f (j ( = f (j ( = para j k então existe uma constante C R ta que b n C n k com b n os coeficientes do desenvovimento de f em série de senos. Resoução: Os coeficientes do desenvovimento de f em série de senos são dados por b n = ˆ f(x sen dx. Como f é de casse C k podemos integrar por partes k vezes. Em cada integração por partes surge um termo n no denominador. Por exempo, na primeira integração por partes: ˆ f(x sen dx = ( [ ] ˆ f(x cos + f (x cos dx = ˆ f (x cos dx,

7 ACED TESTE 7 onde usámos as condições de fronteira dadas, para as derivadas de f nos extremos do intervao, na útima iguadade. Agora, como o intervao é imitado e fechado e a função tem derivada contínua, o integra é imitado por uma constante independente de n: ˆ ˆ f (x cos dx f (x dx, peo que se tem então: com b n C n, C = f (x dx. π Repetindo exactamente este procedimento de integração por partes, k vezes, no caso de uma função ser de casse C k, obtém-se o resutado pedido.