Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Prova Final. Matemática Aplicada II

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1 Universidade Federal do Paraná Matemática Aplicada II Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Curitiba, Prova Final Matemática Aplicada II Tobias Bleninger Departamento de Engenharia Ambiental (DEA) Centro Politécnico, Bloco V, Caixa Postal 19011, , Curitiba - PR, Brasil Nome: Pontuação (preenchido pelo Professor): Questão Pontos Pontos totais Porcentagem Soma 90 Nota Final (

2 Questões 1. (20 P) Dada a equação ²y t² = c² ²y no intervalo 0 x e t 0 com as condições x² iniciais: y(x,0) = 0 t y(x,0) = 0 a. Obtenha a solução analítica da equação usando o método de D'Alembert e a condição de contorno: y(0,t) = sen(3t) 2. (20 P) Dada a equação de difusão bidimensional para um reator raso com difusividade molecular de D e condições de contorno do tipo Dirichlet: a. Descreva a equação e discretize-a utilizando diferenças finitas progressivas em tempo e diferenças centradas em espaço e um esquema explicito. b. Faça a analise de estabilidade de Neumann para o método numérico e descreva o critério de estabilidade c. Escolha valores para uma discretização estável e uma instável. 3. (10 P) A Figura 1 mostra uma medição do nível do mar e a transformada rápida de Fourier relacionada. a. Descreva o conceito básico da Transformada Rápida de Fourier em no maximo duas frases. b. Interpreta todos os resultados da Figura 1 quantitativamente utilizando conceitos da estatística e de analises espectrais. a) A Transformada Rapida de Fourier transforma um sinal discreto do domínio de valor vs. tempo no domínio de valor² vs. frequência, chamado espectro para determinar frequências dominantes em sinais. b) Media zero min/max é -1/+1 e aumentando ao longo do tempo com maximo apos 150 h (6 dias) 4 oscilacoes em 50 horas (2 por dia aproximadamente) espectro mostra pico em 0,1 1/h ou com T = 1/f com período de aprox. 10h entao 2 por dia como identificado antes a amplitude do pico no espectro é aprox. 1m como identificado nas series temporais 2

3 Figura 1: Esquerda: Medição da altura do nível do mar ao longo do tempo em três locais. Direita: Resultado da transformada rápida de Fourier para o sinal do marégrafo. C 4. (30 P) Resolva a equação t = D ²C com condição inicial x² C(x,0) = 0,1sen(πx/200cm) mg/l e condições de contorno C(0,t) = C(L,t) = 0 mg/l analiticamente, utilizando o método de separação de variáveis e L = 200 cm e D = 10-4 cm²/s. 5. (10 P) Avalie as frases seguintes, escrevendo se são verdadeiras ou falsas (resposta certa: pontuação positiva; resposta errada: pontuação negativa; sem resposta: 0, pontuação mínima nesta questão: 0): a. "A equação ²u x² + x² u = 1 é uma equação diferencial parcial de segunda y ordem, não linear e não homogênea." b. "Nos métodos numéricos de diferenças finitas as condições de contorno definidos com derivadas (fluxos) são introduzidos aproximando a derivada com uma diferença finita utilizando um ponto imaginário fora do domínio." 3

4 c. " A equação ²y x² - 1/c² ²y = 4x é uma equação diferencial parcial hiperbólica, t² não homogênea, chamado a equação da onda." d. " A condição de contorno T(x=0,t) = t² é do tipo Dirichlet." e. "A ordem de acuracie do método de Crank-Nicolson é de segunda ordem em espaço e primeira ordem em tempo." Equações dadas: Soluções da equação u''(x) - λu(x) = 0 A 1 x + A 2 se λ = 0 u(x) = A 1 exp(λ 1/2 x) + A 2 exp(-(λ 1/2 )x) se λ > 0 A 1 sen((-λ) 1/2 x) + A 2 cos((-λ) 1/2 x) se λ < 0 Método de D'Alembert y(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) para funções arbitrarias f e g Series de Fourier Serie de sen: φ(x) = Σ n=1 c nsen(nπx/l) com c n = 2/L L φ(x)sen(nπx/l)dx com n=1,2,3, 0 Transformada de Fourier: (w)= 1 + 2π - + f(x)e -iwx dx f(x)= 1 2π - (w) e iwx dw Transformada de Fourier da Derivada de f(x): (f (x))=iw (f(x)) Função Delta de Dirac: 4

5 Transformada de Fourier: (w)= 1 + 2π - + f(x)e -iwx dx f(x)= 1 2π - (w) e iwx dw Transformada de Fourier da Derivada de f(x): (f'(x))=iw (f(x)) (f''(x))=-w² (f(x)) Identidade de Euler: Solução do problema do valor de contorno 1 da equação de calor: A equação de calor: T t = α² ²T e 0<x<l e t>0 com a condição inicial T(x,0) = φ(x) x² e as condições de contorno T(0,t) = ψ 1 (t) = T(l,t) = ψ 2 (t) = 0 tem a solução: T(x,t) = l c n = 2 l 0 n=1 c n sen( nπx l ) exp( -n²π²α²t ) com l² φ(x) sen( nπ x)dx, n=1, 2, 3, l Soluções da equação u''(x) - λu(x) = 0 A 1 x + A 2 se λ = 0 u(x) = A 1 exp(λ 1/2 x) + A 2 exp(-(λ 1/2 )x) se λ > 0 A 1 sen((-λ) 1/2 x) + A 2 cos((-λ) 1/2 x) se λ < 0 Series de Fourier Serie de sen: φ(x) = Σ n=1 c nsen(nπx/l) com c n = 2/L L φ(x)sen(nπx/l)dx com n=1,2,3, Transformada de Fourier: 0 5

6 + (w)= 1 2π - + f(x)e -iwx dx f(x)= 1 2π - (w) e iwx dw Transformada de Fourier da Derivada de f(x): (f (x))=iw (f(x)) Transformadas de Fourier (w) para algumas funções f(x): 6