u(0; y) = u(1; y) = u(x; 0) = 0 8 x ; se 0 x < x ; se

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / o. Fund / 009. LISTA NEGRA DE MAT-4 (Apenas para auxiliar nos estudos para o exame). (i) Em cada um dos casos (edp hiperbólica, parabólica e elítica), dizer quais coe cientes de termos com derivada de segunda ordem são eliminados na obtenção da forma canônica correspondente. (ii) Considere a equação de Tricomi yu xx + u yy = 0 no semiplano y > 0 Classi que-a dizendo se é hiperbólica, parabólica, elítica ou mista. Dê uma mudança de variáveis simpli cadora que resulte em sua forma canônica. (iii) Qual é a implicação de, na obtenção das formas canônicas, procurar-se uma transformação (mudança de variáveis) com jacobiano diferente de zero? Qual a diferença se o jacobiano é diferente de zero em um ponto ou em todo o conjunto de de nição da edp?. (i) Resolva o seguinte problema de Dirichlet no quadrado: Encontre u C ((0; ) (0; )) \ C([0; ] [0; ]) tal que u xx + u yy = 0 em (0; ) (0; ); u(0; y) = u(; y) = u(x; 0) = 0 u(x; ) = (ii) Ache a soma da série >< >: x ; se 0 x < x ; se : < x 3. Use o teorema da integração termo a termo para uma função periódica seccionalmente constante a m de obter o limite da seguinte série numérica: X (n ) : 4. Sendo dado que a série, para todo x R; e parâmetro positivo, X sen nx ; n n= n= converge condicionalmente e, portanto, de ne uma função periódica f(x). (i) Conclua que, se < =, então não pode acontecer de f e jfj serem funções integráveis sobre [ ; ]. (ii) Por quê a convergência desta série de Fourier não poderia ser estabelecida pelo critério de Weierstrass?

2 5. Mostre que se f C (R) é uma função tal que f e f 0 são periódicas de período T, então (f 0 )^ (n) = (in! o ) ^f(n); n Z ;onde! o = T e ^f e (f 0 )^ denotam os coe cientes de Fourier na forma complexa de f e f 0, respectivamente. (ii) Considere as soluções periódicas de período T da edo y 0 + y = g(t), onde a excitação externa g é uma função contínua periódica de período T: Mostre que, se p + n! j^g(n)j o ; n Znf0g ; n então os coe cientes de Fourier de qualquer solução ressonante (ou seja, periódica de período T ) da edo satisfaz a desigualdade j^y(n)j n ; n Znf0g : 6. (i) Mostre que F(u b ) = p sin(b!)! ; onde u b (t) = ; se jtj < b 0 ; se jtj > b F(e jtj ) = p ( +! ) (ii) Explore o resultado de (i) para mostrar que Z Resolução: (esboço). 0 sin b!! e! d! = arctan b ; (b > 0); (i) Basta usar a de nição e efetuar os cálculos das integrais impróprias. Cosiderações sobre a fórmula integral de Fourier e funções pares permitem concluir também que a transformada de Fourier de p ( + x ) é dada por e j!j : Como em L vale que F(f g) = p F(f)F(g), temos que a transformada de Fourier da convolução f(x) = p p! u b(x) p + x é dada por Mas, calculando a convolução, ^f (!) = sin b!! e j!j f(x) = p Z b b + (s x) ds = p arctg (b x) Pela fórmula integral de Fourier, temos p arctg (b x) = p Z ^f(!)e i!x d! Esta fórmula, calculada em x = 0 é o resultado pedido no ítem (ii).

3 3 7. Ao aplicar separação de variáveis a um problema de condução de calor unidimensional modelando uma barra longa e na que está isolada nos lados e com uma extremidade mantida a uma temperatura xa e a outra irradiando calor, obtém-se o seguinte problema de autovalor: y 00 (x) y(x) = 0 ; 0 < x < ; y(0) = 0 ; cos y() + sen y 0 () = 0 ; < : (i) Diga quais são as principais propriedades dos autovalores e autofunções que você pode estabelecer a priori (i.e., antes de fazer qualquer cálculo). (ii) Encontre os autovalores e autofunções no caso em que > 0: (iii) Ache uma candidata a solução na forma de uma expansão em série de funções ortogonais para o seguinte problema não-homogêneo: y 00 (x) y(x) = f(x) ; 0 < x < ; y(0) = y 0 () = 0 ; onde f(:) é uma função de classe C (0; ) dada.. Considere o problema onde = f(x; y) R Sendo dado que Z u C () \ C( ) limitada, u xx + u yy = 0 em ; u(x; 0) = f(x) ; x R ; = y > 0g e f é uma função contínua e limitada dada. e j!jy e i!x d! = y x + y ; x R ; y > 0 ; mostre que uma candidata a solução do problema acima é dada por u(x; y) = f P y (x) ; x R ; y > 0 ; onde P y (x) = : y ; x R ; y > 0 ; é chamado de núcleo de x + y Poisson, e f g (x) := R f(s)g(x s)ds: Resolução: Aplicando a transformada de Fourier na variável x a 4u = 0, obtemos cuja solução geral é! ^u(!; y) = 0 e ^u(!; 0) = ^f(!) ; ^u(!; y) = A(!)e!y + B(!)e!y

4 4 e, pela fórmula integral de Fourier, a candidata à solução seria u(x; y) = p Z ^u(!; y)e i!x d!: Para que ^u(!; y) seja limitada quando y! (e consequentemente, u(x; y)), devemos ter ^u(!; y) = C(!)e j!jy ; onde C(!) = Impondo a condição inicial resulta Assim, nossa candidata a solução é B(!) ; se! > 0; A(!) ; se! < 0: ^u(!; y) = ^f(!)e j!jy : Z u(x; y) = p ^f(!)e j!jy e i!x d! Z Z = p p f(s)e i!s ds e j!jy e i!x d! = Z Z f(s) e j!jy e i!(x s) d! ds: Como foi dado que temos que u(x; y) = Z Z e j!jy e i!x d! = y x + y ; y f(s) (x s) + y ds = f P y (x) ; x R ; y > 0 : 9. Em nossa abordagem do problema de Dirichlet no disco unitário, foi feita a mudança de variáveis resultando no seguinte problema em coordenadas polares: encontrar v C ((0; ) R) \ C ([0; ] R) ; v (r; + ) = v (r; ) em [0; ) R, tal v r = 0 em [0; ) R, com v (; ) = g () ; R: (i) Qual foi a razão de se fazer a mudança de variáveis? (ii) Aplique separação de variáveis a () e obtenha, sem precisar resolver, as duas equações diferenciais ordinárias no parâmetro (autovalor), explicitando as condições (restrições) que as soluções das edo s devem satisfazer. X (iii) Mostre que v(r; ) = ^g(n)r jnj e in pode ser escrita como v(r; ) = X n= n= ^g(n)r jnj e in = g P r () ; para r [0; ) ; R: Qual é a expressão da função P r ()? Enuncie, sem precisar demonstrar, três propriedades satisfeitas por P r ():

5 5 0. Considere o problema não-homogêneo de condução de calor numa barra de comprimento in nito u C (R (0; )) \ C(R [0; )) limitada, u t = u xx + g(x; t) em R (0; ); u(x; 0) = f(x) em R; onde f C(R) e g C (R [0; )) são funções limitadas dadas. Obtenha formalmente a solução do problema decompondo-o em um problema homogêneo e outro não-homogêneo, de forma que você possa resolver um deles por separação de variáveis e o outro por transformada de Fourier.. Encontre a solução do problema de condução de calor u t = u xx + xe t ; 0 < x < ; t > 0; u(0; t) = 0 ; t 0; u x (; t) + u(; t) = 0 ; t 0; u(x; 0) = 0 ; 0 x ; partindo da suposição de que u é dada por uma expansão em série de funções ortogonais u(x; t) = P n= a n(t) n (x);com os coe cientes a n (t) a serem determinados. Claro que você também precisa saber que funções ortogonais n (x) você deve considerar.. Considere o problema da vibração de uma corda de comprimento unitário com extremidades xas e sujeita a uma força externa constante. Neste caso, o deslocamento u(x; t) é a solução do problema de valor inicial e de fronteira: u C (]0; []0; [) \ C([0; ] [0; [) tal que u tt = u xx + A ; em ]0; []0; [; u(0; t) = u(; t) = 0 ; para t > 0; u(x; 0) = f(x) ; para 0 x ; u t (x; 0) = g(x) ; para 0 x ; onde os parâmetros e A são reais e f; g são funções admissíveis dadas. Procure uma (candidata a) solução na forma u(x; t) = X c n (t)sen nx n= 3. Um cilindro condutor sólido de altura unitária, raio unitário e difusividade K encontra-se inicialmente à temperatura f(r; z). Reduz-se então a zero a temperatura de toda a superfície, mantendo-a nesta temperatura ao longo de todo o processo. Determine a temperatura em um ponto arbitrário do cilindro sólido em cada instante subsequente. Evidentemente, podemos assumir simetria angular na variação da simetria (em outras palavras, que a temperatura u não depende da coordenada angular ). A descrição matemática deste problema pode ser assim representada: achar

6 6 a (candidata a) solução do seguinte problema (supostamente bem-posto) na incógnita u = u(r; z:t) em @t = K u ; 0 < r < ; 0 < z < ; t > u(r; 0; t) = u(r; ; t) = 0 u(; z; t) = 0 ; ju(r; z; t)j < M u(r; z; o) = f(r; z) 4. Mostre que y = y(x) dada por y(x) = Z b a G(x; t)f(t)dt ; x [a; b] ; satisfaz o problema de valor de fronteira d p (x) dy + q (x) y(x) + f(x) = 0 >< dx dx ; a < x < b: >: a y (a) + a y 0 (a) = 0 b y (b) + b y 0 (b) = 0 onde G(x; t) é a função de Green para o operador L dado por Ly (x) := d p (x) dy + q (x) y(x) ; a < x < b: dx dx 5. Resolva os problemas de valor de fronteira abaixo usando função de Greeen: < y 00 + cos x = 0; 0 < x < < y 00 +! y + cos x = 0; 0 < x < (i) (ii) (0 <! < ) : : y(0) = y() = 0 y(0) = y() = 0 6. Encontre z = z(x; t) tal u o = 0 z(x; 0) = f(x) Neste caso, o sistema de edo s que dá as coordenadas (x; t; z) da solução (na forma implícita) u(x; t; z) = C é dx d = () dt d = (3) u o z d = 0 (4)

7 7 De (4) temos que e dx = =d dx=d = 0 = 0 dt = =d dt=d = 0 =u o z = 0 ; de forma que de dx = 0 = dt resulta que z = c (constante). Mais precisamente, Por outro lado, () e (3) fornecem cuja solução geral será z(x; t) = c : (5) dx dt = dx=d dt=d = =u o z = u oz = u o c Assim, temos de (5) e da condição inicial que Também, da condição inicial e de (6) resulta x u o zt = c (6) z(x; t) = c = z(x; 0) (7) t = 0 =) x u o :z:0 = c =) x = c e z(x; 0) = f(c ) () Portanto, usando (6), (7) e () temos, nalmente, que a candidata à solução é z(x; t) = z(x; 0) = f(c ) = f(x u o zt) Agora, é só veri car que z = z(x; t) dada implicitamente por z = f(x u o zt) é solução da edp de a ordem (supondo f diferenciável). 7. Mostre que as autofunções correspondentes a autovalores distintos de um Problema de Sturm-Liouville Regular são mutuamente ortogonais.. Usando separação de variáveis, ache a (candidata a) solução para o seguinte problema de condução de calor em uma placa circular de raio unitário cujas faces estão isoladas, o contorno é mantido à temperatura zero e a temperatura inicial é f(r), onde f é uma função dada: u t = u rr + r u r ; 0 < r < ; t > 0 u(; t) = 0; u(r; 0) = f(r); u limitada Dado: A equação de Bessel de ordem p 0 é x y 00 + xy 0 + (x p )y = 0: