Aula 14. Regra da cadeia

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1 Aula 14 Regra da cadeia Lembremos da Regra da Cadeia para funções de uma variável Considere duas funções diferenciáveis, y = f(x) e x = g(t) A derivada da função composta f (g(t)) é calculada por meio da Regra da Cadeia: ( f(g(t))) = f (g(t)) g (t) = f (x) g (t) A regra acima pode ser reescrita de uma maneira mais sugestiva, usando a notação de Leibniz : dy = dy dx dx Note que originalmente y = f(x) é uma função de x Somente após compôr com x = g(t) é que y vira função de t Frequentemente continuaremos a chamar y à função composta, quando está implícito que y é função de t Deste modo, no lado esquerdo de (1), está implícito que y é uma função de t, e portanto estamos considerando a derivada da função composta Agora, como fica a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis? Vamos enunciá-la a seguir 1) (Regra da Cadeia) Seja z = f(x, y) uma função de 2 variáveis x e y, diferenciável Sejam agora x = x(t) e y = y(t) duas funções diferenciáveis na variável t Após compormos, z vira uma função de t: z = f(x(t), y(t)) A derivada da função composta é dada por: (1) = dx + dy (2) Note que se, originalmente, z apenas dependesse da variável x (ou seja = 0), em (2) obteríamos apenas a primeira parcela, o que corresponde à Regra da Cadeia para funções de 1 variável como revisto no início da aula Do mesmo modo, se z apenas dependesse da variável y (ou seja = 0), em (2) obteríamos apenas a segunda parcela, o que também corresponde à Regra da Cadeia para funções de 1 variável No caso em que z depende das 2 variáveis x e y, a Regra da Cadeia diz que a variação da função composta é a soma das 2 variações, uma assumindo y constante, e a outra assumindo x constante A prova da Regra da Cadeia (que omitiremos) não é complicada mas usa o conceito de diferenciabilidade de funções de 2 variáveis Note também que todas as 4 derivadas que aparecem no lado direito de (2) são derivadas de funções antes de compôr, por exemplo e são as derivadas parciais da função z, nas variáveis x e y, antes de compôr Assim a Regra da Cadeia permite achar a derivada da função composta se soubermos as derivadas parciais das funções antes de compôr 1

2 Exemplo 1: Seja z = x 3 y 2, uma função de 2 variáveis x e y Considere agora as funções da variável t dadas por x = e 3t e y = 2 cos t + t Calcule a derivada da função composta, para t = 0 Pela Regra da Cadeia, = dx + dy = 3x2 y 2 3e 3t + 2x 3 y ( 2 sin t + 1) Note que no resultado final da aplicação da Regra da Cadeia, apareceram misturadas x, y e t Embora, por uma questão de clareza, seja conveniente deixar o resultado nesta forma, ambas x e y são para serem entendidas como funções de t Apenas iremos fazer a correspondência no ponto pedido t = 0: Então, t = 0 x = e 3 0 = 1 e y = 2 cos = 2 (0) = = = 40 Obs: Neste caso é possível obter explicitmente a função composta z(t) = ( e 3t) 3 ( 2 cos t + t ) 2, e poderíamos ter resolvido o problema derivando esta função em t, usando as regras de derivação de cálculo 1 Boa sorte! Exemplo 2: Um gás ideal é regido pela equação de estado P V = nrt onde P = Pressão, V = Volume, T = Temperatura n = n o de mol, R = constante universal 8, 31 Neste exemplo, consideraremos n = 1 mol de gás ideal que, no instante inicial, se encontra a uma temperatura T = 300 K e ocupando um volume V = 100 m 3 Assuma que fazemos uma variação no tempo do nosso sistema (aquecemos o gás e, ao mesmo tempo, aumentamos o volume que o gás ocupa) de acordo com T (t) varia a uma taxa de 0, 1 K/s V (t) varia a uma taxa de 0, 2 m 3 /s Como está variando a Pressão do gás nesse instante? 2

3 Originalmente, podemos escrever P como função de T e V : P = 8, 31 T V Quando as quantidades T e V viram função do tempo t, a quantidade P também vira função de t: P como função de t é a função composta P (t) = P (T (t), V (t)) Pela Regra da Cadeia, dp = P T dt + P V Substituindo os valores do problema: dp = 8, dv = 8, 31 1 V dt 8, 31 T dv V , 1 8, 31 0, ) (Regra da Cadeia) Seja z = f(x, y), uma função de 2 variáveis x e y, diferenciável Sejam agora x = x(t, s) e y = y(t, s) duas funções de 2 variáveis t e s, diferenciáveis Após compormos, z vira uma função de t e s: z = f(x(t, s), y(t, s)) As derivadas parciais da função composta são dadas por: t = t + t s = s + s Não se trata de um novo teorema, trata-se de aplicar o caso 1) duas vezes: uma fazendo s constante, e outra fazendo t constante Claramente, podemos generalizar para a Regra da Cadeia para funções de três (ou mais) variáveis u = u(x, y, z), fazendo depois x, y e z depender de novas n variáveis (t, s, ) 3) (Regra da Cadeia) Seja u = u(x, y, z), uma função de 3 variáveis x, y e z, diferenciável Sejam agora x = x(t, s, ), y = y(t, s, ) e z = z(t, s, ) três funções de n variáveis t, s,, diferenciáveis Após compormos, u vira uma função das n variáveis t, s, : u = u(x(t, s, ), y(t, s, ), z(t, s, )) As derivadas parciais da função composta são dadas por: t = t + t + t s = s + s + s 3

4 Exemplo 4: t = 1 e s = 0 Sejam u = x 2 + y 2 z, x = st 2, y = e st e z = t sen s Calcule s quando Pela Regra da Cadeia, s = s + s + s = 2x t 2 + 2y te st + ( 1) t cos s Quando (t, s) = (1, 0) (x, y, z) = (0, 1, 0), logo s = = 1 Exemplo 5: Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y, e g(u, v) = f(e u + sen v, e u + cos v) Use a tabela de valores abaixo para calcular (0, 0) e (0, 0) f g (0,0) (1,2) Com a notação usada anteriormente, temos x = e u + sen v e y = e u + cos v Notamos que (u, v) = (0, 0) (x, y) = (1, 2) Pela Regra da Cadeia, (1, 2) (1, 2) (0, 0) = (1, 2) eu u=0 + (1, 2) eu u=0 = = 7 4

5 Do mesmo modo, (1, 2) (1, 2) (0, 0) = (1, 2) cos v v=0 + (1, 2) ( sen v) v=0 = = 2 Exemplo 6: Seja f(x, y) uma função diferenciável satisfazendo f 1 e 2, (1, 1) = 3, 1, (1, 1) = 2 Defina a função Calcule (0, 0) e (0, 0) g(x, y) = f(f(x, y), f(x, y)) Vamos usar cores para diferenciar os elementos que aparecem na Regra da Cadeia aplicado a esse problema aparentemente simples, mas que pode gerar uma certa confusão, já que f aparece várias vezes e as variáveis x e y também fazem o papel de u e v Primeiro observamos que g(x, y) = f(f(x, y), f(x, y)) (x, y) = (0, 0) (f(x, y), f(x, y)) = (f(0, 0), f(0, 0)) = (1, 1) Aplicando a Regra da Cadeia, obtemos (1, 1) (1, 1) (0, 0) E da mesma maneira, calculamos = = 2 (1, 1) (1, 1) (0, 0) = 3 ( 1) + 2 ( 1) = 1 5

6 Exercício 1: Considere um cone de base circular de raio r e altura h Assuma que r = r(t) e h = h(t) variam no tempo, e que num dado instante t 0, as altura e raio valem 1 m, as taxas de variação de r e h são, respectivamente, 4, 6 m/s e 6, 5 m/s Calcule a taxa de variação do volume nesse instante t 0, em m 3 /s (Sugestão: o volume de um cone de base circular de raio r e altura h é: V = 1 3 πr2 h) Exercício 2: Imagine uma peça de uma máquina composta de dois eixos, x (eixo horizontal) e y (eixo vertical), e uma barra presa em dois pontos A e B pertencentes a esses eixos x e y, respectivamente (veja a Figura abaixo) Se essa barra tem comprimento variável mas mantendo sua forma retilínea e desliza livremente, qual a taxa de variação desse comprimento quando B dista 0, 3 m da origem, se movendo a uma velocidade de 90 m/s relativamente a origem, e A dista 04 m da origem, se movendo a uma velocidade de 80 m/s relativamente a origem? l 1 A l 2 l B 6