Gabarito da G3 de Equações Diferenciais

Transcrição

1 Gabarito da G3 de Equações Diferenciais 03. MAT 54 Ques..a.b.c.a.b a 5.b soma Valor Nota ) Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x(t) e y(t))competindo por suprimentos comuns. dx = x( x y) dt dy dt = y(, 5 y x) a)determine as singularidades e classifique-as. As singularidades do sistema correspondem aos zeros da função F (x, y) = (x( x y), y(, 5 y x)). São os pontos (0, 0), (, 0), (0, 3 ). Note que as retas x y = 0 e, 5 y x = 0 não tem interseção pois são paralelas. A classificação das singularidades é feita calculando os autovalores da matriz jacobiana de F (x, y) em cada singularidade. A matriz é ( ) x y x D (x,y) F = 3 y y x. Avaliando em cada singularidade temos ( 0 D (0,0) F = o que implica que (0, 0) é uma fonte, D (,0) F = 0 3 ( 0 ), ),

2 pelo que (, 0) é uma sela hiperbólica, e D (0, 3 0 ( )F = 3 3 e portanto (0, 3 ) é um atrator ou poço. ), b)esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade no primeiro quadrante. É importante notar que os eixos são trajetórias do sistema que contém separatrizes das selas hiperbólicas. c)para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração? Não existe nenhuma condição inicial na qual as duas espécies tendem a uma configuração assintótica em que ambas sobrevivem, pois as singularidades do sistema ficam nos eixos e os conjuntos limites das trajetórias do sistema são as singularidades (o sistema não tem trajetórias fechadas). Ou seja, uma das coordenadas do conjunto limite de qualquer trajetória é zero o que é equivalente ao desaparecimento assintótico de uma das espécies. ) Decida sobre a convergência das séries abaixo: a) n ln(n) n

3 Esta série de constantes converge pelo critério da razão: se a n = n ln(n) n temos a n+ lim = lim n + a n n + (n + ) ln(n + ) n ln(n) = lim n + ( + + ) )ln(n n ln(n) = <, ln(n+) o qual decorre de que lim n + = pela regra de L Hôpital ln(n) (observe que é um limite indeterminado do tipo ). b) + n Esta série converge pelos critérios de comparação e da integral. Note em primeiro lugar que para todo n. Portanto, se a série +n n n= converge a série n n= também converge. Além disso, se +n a integral dx é finita então a série x n= converge. Mas esta n integral é x dx = Como T lim T + = + +n n= x dx = lim T + x T = pelo critério de comparação, então a série lim ( T + T ) =., e a segunda série na soma converge +n 3) Determine o intervalo de convergência das séries abaixo: +n converge. a) x n n!

4 O raio de convergência é ρ = lim n ρ = lim n n! (n+)! a n a n+ Portanto, o intervalo de convergência é R. onde a n = n!. Ou seja, = lim n (n + ) =. b) ( ) n (x ) n n= n.4 n O raio de convergência da série é ρ = lim n limite é (n + )4 n+ ρ = lim n n4 n n + = 4 lim n n a n a n+ onde a n =. Este n4 n = 4. Como a expansão da série é centrada no ponto x 0 = o intervalo de convergência é um dos seguintes: (, 6), [, 6), [, 6], (, 6]. Para verificar se os extremos, 6 do intervalo estão de fato no domínio de convergência da série, substituimos x = e x = 6 na série. No primeiro caso obtemos n que diverge pelo critério da integral. No segundo caso, obtemos n= ( ) n n= n

5 que é uma série alternada com termo geral de módulo decrescente e tendendo a zero se n. Assim, aplicando o critério das séries alternadas a série converge. Conclusão: o intervalo de convergência é (, 6]. 4) Calcule o termo geral da expansão em série de potências de (x ) da função abaixo e ache seu intervalo de convergência. y(x) = x 8x + 5 Temos que x 8x + 5 = (x 3)(x 5) e x 8x + 5 = ( 3 x 5 x ) = ( (x ) 4 (x ) ). Pela fórmula da progressão geométrica temos a (x ) = a ( (x ) a ) = a (x ) ( ) n a cada vez que x < a, e aplicando a fórmula acima à função y(x) temos y(x) = ( (x ) n n 4 (x ) n 4 n ), no intervalo x <. Desta forma, temos que y(x) = a n(x ) n onde a n = ( n+ 4 ) = ( )), n+ n+ n+ sempre que x <. O raio de convergência da série é, o intervalo de convergência está centrado em x 0 = e coincide com um dos seguintes: (, 3), (, 3], [, 3), [, 3]. Substituindo x = nas série (x ) ) n obtemos uma série alternada ( )n divergente, e ao substituir x = 3 na mesma série obtemos uma

6 série de termos constantes iguais a, que diverge. Portanto, o intervalo de convergêcia de y(x) é (, 3). 5) a) Considere a equação diferencial y xy y = 0. Ache a expressão geral de uma solução em forma de série de potências supondo que a = 0. y(x) = a n x n Substituindo a expressão de y(x) na equação diferencial obtemos n= n(n )a n x n x na n x n n= Multiplicando a segunda série por x, n(n )a n x n n= na n x n n= e mudando o índice da primeira série k = n, (k + )(k + )a k+ x k k=0 a n x n = 0. a n x n = 0, ka k x k k= Somando os coeficientes do termo x k temos a k x k = 0. (k + )(k + )a k+ ka k a k = (k + )((k + )a k+ a k ) = 0, o que nos da a seguinte fórmula de recorrência a k+ = a k k + para todo k (a segunda série não tem termo de grau 0). Para k = 0 temos.a a 0 = 0 ou a = a 0. Verificamos assim que toda vez que k k=0

7 é ímpar, a k+ resulta ser múltiplo de a = 0 por hipótese. Desta forma, a n = 0 se n é ímpar, e se n = m é par. a n = a m = a 0 m m! b) Considere agora a equação diferencial y xy y =. Ache a solução em forma de série de potências supondo que a 0 = a = 0. y(x) = a n x n Aproveitando os cálculos feitos no item (), a equação diferencial implica que o termo de grau 0 da série que representa y(x), ou seja, a a 0 deve ser igual a. Como a 0 = 0, obtemos a =, e o resto dos termos da série de y(x) satisfazem a relação de recorrência do item (). Sendo a = 0, o resultado é a n = 0 para todo n ímpar e a n = a m = m m! para todo n = m.