LEEC Exame de Análise Matemática 3

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1 LEEC Exame de Análise Matemática 3 5 de Fevereiro de 005 Justifique cuidadosamente todas as respostas Não é permitida a utiliação de máquina de calcular O tempo para a realiação desta prova é de horas Cotações: Parte : Cada pergunta vale um valor Parte : Cada pergunta vale um valor e meio As respostas devem ser apresentadas nos seguintes quatro grupos de folhas separadas, a cada um dos quais está associado uma folha dupla: Grupo - Perguntas a 5; Grupo - Perguntas 6 a 8; Grupo 3 - Perguntas 9 a ; Grupo 4 - Perguntas 3 a 6 PARTE Sendo o conjugado de, determine o conjunto do plano complexo em que a função f() = é diferenciável Diga se existe algum conjunto em que a função é holomorfa FLP JBS JDL Im()Re() Resposta Tem-se que f() = Re()Im() = x iy = xy y i x Sendo u(x, y) = y, e v(x, y) = x, diferenciáveis respectivamente em C \ {R + i0} e em C \ {0 + ir} e, resultando das condições de Cauchy-Riemann que u x = 0 = v u = y = x = v x, tem-se que f é diferenciável no conjunto D = {x + iy : x = y, ou x = y, (x, y) (0, 0)} Como, para f ser holomorfa num ponto tem que ser diferenciável numa viinhança desse ponto (conjunto aberto contendo o ponto dado), tem-se, pelo facto de D ser fechado com o seu interior vaio, que não existe qualquer conjunto onde f é holomorfa Sejam a > 0 e b > 0 Esboce o gráfico do caminho definido pelo lugar geométrico de pontos { ( x a = x + iy : a Usando a fórmula de Cauchy, calcule o integral ) ( y b ) } + = b a + a + b d Resposta A equação definindo o caminho é a conhecida quadrática especificando uma elipse de centro a + bi e passando pelos pontos: a + 0i, 0 + bi, a + bi e a + bi Observação: Esta conclusão também poderia ser obtida traçando o seu gráfico através da atribuição de um certo número de valores a pontos admissíveis

2 Sendo a + a + b = ( a bi)( a + bi), e a + bi o único ponto do interior do conjunto delimitado pelo lacete, tem-se que, para aplicar o Teorema de Cauchy, a + a + b d = a+bi a bi d = πig(a + bi) = π( a b + i) πig(a + bi) = π( a b + i) onde g() = a + bi ( + i) n 3 Estude a convergência da série n= Resposta Aplicação do critério do quociente Seja α n = Assim lim α n+ n α n i + = lim n n + = lim n ( + i)n = 0 < Logo a série converge n + Alternativamente, poder-se-ia ter considerado que, C, e = para e +i 4 Desenvolva a função f() = e + i + + i n= se o sentido de é o directo se o sentido de é o horário, n Logo a série dada converge em série de potências em torno do ponto 0 = i Resposta A resolução mais expedita é a que recorre à utiliação de desenvolvimentos em série de potências conhecidos Assim e = e i e +i = e i ( + i) n e = i + ( + i) = i i ( + i) = i ( i ) n( + i) n [ e i ( ) n ( ] Logo f() = ( + i)n + + i) n+ i e i Como ( + i)n = e i ( + i) + e i e i + ( + i)n = e i + i + e i e i + (n + )! ( + i)n+, n= tem-se que f() = e i [ + i + e i e i + (n + )! + ( i)n ] ( + i) n+ 5 Calcule o resíduo da função e ( ) no ponto = 0 Resposta O resíduo de f num pólo 0 de ordem N, é dado por Como a função f() = e ( ) d N [ ] (N )! d N ( 0 ) N f() =0 tem um pólo duplo em = 0, o seu resíduo em = 0 é dado por Res 0 f() = d ( e ) =0 = e ( ) 0! d ( ) =0 = 6 Resolva a equação diferencial de primeira ordem y y = tan(x)y + sin(x), y(0) =

3 Resposta Como esta equação está definida para y(x) 0, multiplicando ambos os lados da igualdade por y obtem-se y + tan(x)y = sin(x)y Trata-se de uma equação de Bernoulli com N = Seja tal que (x) = y(x) (é neste sentido que abreviadamente se escreve, = y ) Logo = y y = tan(x)y sin(x) = tan(x) sin(x) Esta equação é linear em com p(x) = tan(x) e g(x) = sin(x) Logo, (x) = K + r(x)g(x)dx onde r(x) = e p(x)dx = e sin(x) cos(x) dx = e ln( cos(x) ) = cos (x) r(x) Como y(x) = cos, tem-se que y(x) = (x) Finalmente, y(0) = implica que K 3 (x) K cos (x) sin(x)dx = =, ou seja, K = 3 cos (x) K + 3 cos3 (x) 7 Resolva equação diferencial de primeira ordem 3 (y3 + x 3 y ) + xy(x + y)( + y ) = 0 Resposta Para saber o tipo de equação, basta observar que esta equação diferencial pode ser escrita na forma ( 3 y3 + x y + xy + 3 x3 + x y + xy ) y = 0 Sendo M(x, y) = 3 y3 + x y + xy e N(x, y) = 3 x3 + x y + xy, tem-se M(x, y) = (x + y) = N(x, y) Logo trata-se de uma equação diferencial exacta x Assim, Φ(x, y) = M(x, y)dx = 3 y3 x + 3 x3 y + x y + g(y) Para definir g(y) a menos de uma constante, utilia-se a igualdade N(x, y) = Φ(x, y), concluindo-se que g (y) = 0 ou seja g(y) = K A relação funcional entre x e y é dada implicitamente por ( 3 xy x + 3 xy + y) + K = 0 8 Escreva uma base para o sistema fundamental de soluções e determine a solução geral da equação diferencial ordinária y + 3y + 3y + y = 0 Determine a solução particular para y(0) =, y (0) =, y (0) = Sugestão: Verifique que é rai do polinómio característico Resposta O polinómio característico associado à equação diferencial é r 3 + 3r + 3r + = (r + ) 3 A factoriação pode ser feita, observando que se trata de um polinómio binomial ou então utiliando a sugestão para concluir que r 3 + 3r + 3r + = (r + )(r + r + ) por divisão de polinómios Logo, a solução geral é dada por y(x) = e x (c + c x + c 3 x ) Como y (x) = e x [c c + (c 3 c )x c 3 x ] e y (x) = e x [c c + c 3 + (c 4c 3 )x + c 3 x ], tem-se que os valores dos coeficientes c, c e c 3 podem ser calculados das relações y(0) = c =, y (0) = c c = e y (0) = c c + c 3 = Donde se conclui que y(x) = e x ( + x + x ) 3

4 PARTE 9 Represente o caminho e calcule f() = f()d quando: e { e iπt t [0, ] ( + 4 ) e (t) = cos(πt) i 4 sin(πt) t [, ] Resposta O caminho é um lacete a ser percorrido em sentido directo (anti-horário), constituído por dois segmentos O primeiro é uma semi-circunferência de raio que começa em + 0i, passa por 0 + i e termina em + 0i O segundo é uma semi-elipse, que começa em + 0i, passa por i e termina em + 0i Uma ve que + 4 = ( + i)( i), a função f só não é holomorfa nos pontos = 0, = i e = i Como apenas o ponto = i está no conjunto delimitado pelo lacete, tem-se que, aplicando o Teorema de Cauchy com g() = e ( + se obtem i), f()d = g() ( ) id = πig i = 8πe i 0 Utiliando os desenvolvimentos em sério das funções trigonométricas simples em torno da origem, ou ( ) n ( ) n seja, cos() = (n)! n e sin() = (n + )! n+, desenvolva f() = cos(a + b) em série de potências em torno do ponto 0 = 0 e calcule o raio de convergência Resposta Utiliando a fórmula cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β), podemos escrever f() = cos(b) cos(a) sin(b) sin(a) Tem-se pois que, substituindo por a nos desenvolvimentos em série dados no enunciado, se obtem f() = ( ) n a n cos(b) (n)! n ( ) n a n+ sin(b) n+ (n + )! Faendo k = n para os termos pares e k = n + para os termos ímpares, tem-se que f() = onde ( ) k a k cos(b) c k = k! ( ) k+ a k sin(b) k! para k par para k ímpar c k k k=0 Aplicando o teorema dos resíduos, calcule o integral π 0 tan(x) sec(x) + dx 4

5 Resposta Para aplicar o teorema dos resíduos, torna-se necessário, através de uma mudança de variável, escrever este integral como o de uma função complexa ao longo do lacete de raio e centrado na origem Para utiliar o formulário, observe que, como tan(x) = sin(x) cos(x) e sec(x) =, se tem que cos(x) tan(x) sin(x) sec(x) + = + onde x desempenha o papel da variável θ na fórmula cos(x), Substituindo cos(x) por +, sin(x) por i pretendido é dado por f()d onde f() = ( ) = ( ) ( + 3)( + + 3) e dx por (i) d, conclui-se que o integral e o lacete é uma circunferência centrada na origem e de raio percorrida no sentido directo Sem recorrer directamente à fórmula, basta notar que, sendo sin(x) = eix e ix e cos(x) = eix + e ix, i e ix e ix a função dada pode ser escrita na forma i 4 + e ix Então, efectuando a mudança de variável + e ix = e ix (observe que 0, x), e multiplicando o numerador e o denominador por, obtemos a função acima tomando valores ao longo do lacete que é percorrido no sentido directo quando x varia entre 0 e π Uma ve que o círculo delimitado por contém apenas o pólo a = 0 e b = + 3, tem-se que π tan(x) [ ( ) 0 sec(x)+ dx= f()d=πi[res a f+ Res b f]=πi ( ) =a ( + + ] 3) = b = 0 Determine uma função complexa de variável complexa holomorfa, f, satisfaendo f( + i) = + i, e Sugestão: Calcule a derivada em ordem a x de Imf () = x y (x + y ) x x + y Resposta A função que se pretende encontrar é holomorfa, logo satisfa as condições de Cauchy- Riemann: u x = v e u = v x Pelo facto de f () = u x + i v v, tem-se que x x = Imf () = x y (x + y Integrando em ordem a x ) x (aproveitando a sugestão), conclui-se que v(x, y) = x + y + h(y) Por outro lado, como u = v x = x y conclui-se que u(x, y) = y x + y + g(x) (x + y Integrando em ordem a y (aproveitando a sugestão), ) Utiliando a primeira igualdade das condições de Cauchy-Riemann (acima), ie, u x = v, tem-se que xy (x + y ) + g (x) = xy (x + y ) + h (y), concluindo-se que g (x) = h (y), ou seja, g(x) = kx + c e h(x) = kx + d A condição f( + i) = + i, equivalendo a u(, ) = e v(, ) =, permite concluir que c = d = k e, portanto, que [ y f(x + iy) = x + y + k(x ) + ] [ x + i x + y + k(y ) + ] 5

6 3 Resolva a seguinte equação diferencial ordinária ycosec(x)y = + y sec(x) com y(0) = Resposta Uma ve que cosec(x) 0 e utiliando o facto de que cosec(x) = sin(x) e que sec(x) = cos(x), a equação diferencial dada toma a forma yy = y tan(x) sin(x) Existem duas formas muito próximas de endereçar esta equação: A) Escolher = y, obtendo-se 4 tan(x) = sin(x) B) Dividir ambos os lados por y (supondo y(x) 0, x), obtendo-se a equação de Bernoulli y tan(x)y = sin(x)y com N =, a qual corresponde a mudança de variável = y, através da qual aparece a mesma equação que em A) Logo, (x)= K + r(x)g(x)dx r(x) Assim, (x)= K cos 4 (x) sin(x)dx cos 4 (x) onde g(x)= sin(x) e r(x)=e p(x)dx =e 4 sin(x) cos(x) dx =e 4 ln( cos(x) ) =cos 4 (x) = K+ 5 cos5 (x) K+ 5 cos 4, donde y(x) é cos5 (x) (x) cos ou (x) No entanto, de y(0) =, conclui-se que y(x) é positiva e que K = 3, ou seja, cos y(x) = 5 (x) 5 cos (x) K+ 5 cos5 (x) cos (x) 4 Verifique se a seguinte equação y x é uma diferencial exacta Calcule a respectiva solução y 5 dy dx + x y 4 = 0 Resposta Sejam M(x, y) = x y 4 e N(x, y) = y x y 5 diferencial exacta Seja Φ(x, y) = M(x, y)dx = x 4y 4 + g(y) Como M = x y 5 = N x esta equação é Conclui-se que g (y) = y 3 e, consequentemente que g(y) = + K, do facto de y Φ(x, y) = x y 5 + g (y) = y x y 5 = N(x, y) A solução y(x) é definida implicitamente pela equação x 4y 4 y + K = 0 5 Utilie o método do polinómio aniquilador para calcular a solução particular da seguinte equação diferencial ordinária y + y + y = e x ( + sin(x)) onde y(0) = y (0) = Resposta Seja L(y) = y +y +y O polinómio característico associado é p(r) = r +r+ = (r+) O polinómio característico associado ao operador Q que aniquila g(x) = e x [ + sin(x)] é q(r) = (r + )(r + + i)(r + i) Logo a solução geral da equação diferencial homogénea (Q L)(y) = 0, de polinómio característico 5 q(r)p(r) = (r + ) 3 (r + r + ), é dada por y(x) = c i y i (x) onde y (x) = e x, y (x) = xe x, y 3 (x) = x e x, y 4 (x) = e x cos(x) e y 5 (x) = e x sin(x) i= 6

7 ( ) Uma ve que L c i y i (x) = 0, para determinar os parâmetros c 3, c 4 e c 5, basta resolver a equação i= L(y(x)) = L((x)) = e x [ + sin(x)], onde (x) = e x [c 3 x + c 4 cos(x) + c 5 sin(x)] Observe que, sendo (x) = e x [c 3 x c 3 x + ( c 4 + c 5 ) cos(x) (c 4 + c 5 ) sin(x)] (x) = e x [c 3 4c 3 x + c 3 x c 5 cos(x) + c 4 sin(x)], se tem que L((x)) = (x) + (x) + (x) = e x [c 3 c 4 cos(x) c 5 sin(x)] = e x [ + sin(x)] Daqui se conclui que c 4 = 0, c 5 = c 3 = Deste modo, sendo y(x) = e x [c + c x + x sin(x)], tem-se que y (x) = e x [c c + ( c )x x cos(x) + sin(x)] Das condições y(0)=c = e y (0)=c c =, conclui-se que c = e c =3 [ ] [ ] 0 6 Calcule a solução do sistema ẋ(t)=a(ε)x(t), A(ε)= + ε, onde ε > 0, e quando x(0)= Calcule a resposta no limite quando ε 0 Resposta A solução do sistema de equações diferenciais é dada por x(t) = e A(ε)t x(0) Os valores próprios de A(ε), dados como os eros do polinómio característico ([ ]) ( [ ] λ ) det λi A(ε) = det ε = (λ + ) ε = (λ + + ε)(λ + ε) λ + Note que os eros são distintos sempre que ε > 0 Logo, a resposta é dada pela expressão x ε (t) = c (ε)e ( ε)t v (ε) + c (ε)e ( +ε)t v (ε), sendo v (ε) e v (ε) os vectores próprios associados, respectivamente, aos valores próprios ε e +ε, [ e os coeficientes ] c[ (ε) e c] (ε) tais que c (ε)v (ε)+c (ε)v (ε) = x(0) Observe que os vectores v (ε)= e v ε (ε)= satisfaem, respectivamente, A(ε)v + ε (ε)=( ε)v (ε) e A(ε)v (ε)= [ ] [ ] [ ] ( + ε)v (ε) De c (ε) +c ε (ε) =, tem-se que c + ε (ε)+c (ε)= e que c (ε)=c (ε) ε, e, portanto, c (ε)= ε e c (ε)= + Substituindo, tem-se [ ] ε [ ] { ( ) x ε (t)= e ( ε)t ( ) + ε ε + e ( +ε)t e = e t εt ε +ε Cálculo do lim ε 0 x ε (t) [ ] [ ] + e εt + eεt e εt +ε ε ε ] Enquanto que os dois primeiros termos convergem para e t [ [ ]}, o limite do terceiro termo requer a aplicação do Teorema de l Hôpital ao termo eεt e εt Assim, como ε e εt e εt te εt + te εt ([ ] [ ]) lim = lim = t, tem-se que lim x ε (t) = e t + t ε 0 ε ε 0 ε 0 Este resultado pode ser fácilmente confirmado, calculando e At x(0) = T e Λt T x(0), onde A = A(ε) ε=0, e, como A tem um valor próprio duplo igual a, Λ é a forma de Jordan (matri quase diagonaliada) de A e T é a matri cuja primeira e segunda colunas são, respectivamente, [ ] o vector próprio e o vector próprio generaliados de A, sendo as duas últimas dadas por Λ= e 0 [ ] [ ] [ ] t 0 T = Fácilmente se conclui que e 0 Λt =e t e T 0 = 7