Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem - II AM3D

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1 20 2 Equações Diferenciais Ordinárias de a ordem - II AM3D EDOs de a ordem lineares Definição Uma equação diferencial ordinária de a ordem diz-se linear se for da forma y (x)+p(x)y(x) = b(x). Se p(x) = p R, a equação diz-se linear de coeficientes constantes. Se b(x) = 0, a equação diz-se linear homogénea. Por exemplo, v (t) = 0 2v(t) v (t)+2v(t) = 0 é linear não homogénea de coeficientes constantes. Como podemos resolver analiticamente esta equação? Multiplicando por e 2t obtém-se a equação equivalente e 2t v (t)+2e 2t v(t) = 0e 2t (e 2t v(t)) = 0e 2t e 2t v(t) = 5e 2t +C. Obtemos a solução geral v(t) = 5+Ce 2t. Confirmamos pois que a solução de equilíbrio v = 5 é estável, uma vez que lim v(t) = 5. t + Este método de resolução aplica-se na verdade a qualquer equação linear y (x)+p(x)y(x) = b(x). Supondo que as funções p e b são por exemplo contínuas, e denotando por P(x) uma qualquer primitiva de p(x), y (x)+p(x)y(x) = b(x) y (x)e P(x) +e P(x) p(x)y(x) = e P(x) b(x) (e P(x) y(x)) = e P(x) b(x). Obtemos assim a solução geral y(t) = e P(x) e P(x) b(x)dx. Ao factor µ(x) = e P(x) chama-se factor integrante.

2 Como todas as primitivas de e P(x) b(x) diferem de uma constante, fica claro que se p e b são contínuas em R, o problema de valores iniciais y (x)+p(x)y(x) = b(x) possui uma única solução global. Exemplo y = xy ou seja, y(x 0 ) = y 0, y (x) = xy(x) e x2 2 y (x) e x2 2 xy(x) = 0 ( e x2 2 y(x) ) = 0, y(x) = Ce x2 2, C R. Confirmámos que as soluções já conhecidas eram de facto as únicas. Exemplo xy +2y = 4x 2 Começamos por colocar esta equação na forma canónica y + 2 y = 4x. O factor integrante é x dado por 2dx µ(x) = e x = e 2ln x = x 2. Assim, y + 2 x y = 4x x2 y +2xy = 4x 3 (x 2 y) = 4x 3 x 2 y = x 4 +C y = x 2 + C x2, C R. Note que para C 0, as soluções são válidas para x I =]0;+ [ ou x I 2 =] ;0[. A equação admita ainda (C = 0) uma solução válida em R: y = x 2. Figura : Algumas soluções da EDO xy +2y = 4x 2 2

3 Equações diferenciais separáveis Soluções implícitas Muitas vezes apenas podemos resolver equações diferenciais de forma implícita, ou seja, conhecemos uma relação H(x,y(x)) = C entre x e y(x), apesar de não conseguirmos exprimir esta segunda quantidade em função da primeira. Vejamos um exemplo: y = 2xy x 2 +e y. Trata-se de uma equação diferencial não linear muito complexa. À partida, pouco mais podemos fazer do que traçar o seu campo de direcções: Observemos no entanto o seguinte: Figura 2: Campo de direções v = ( ) 2xy, x 2 +e y y = 2xy x 2 +e y x2 y +y e y +2xy = 0 (x 2 y +e y ) = 0 x 2 y +e y = C, C R. Sabemos agora que as soluções da equação diferencial verificam a equação H(x,y) = x 2 y(x)+e y(x) = C, C R, não parecendo no entanto possível exprimir explicitamente y(x) em função. Diremos então que H(x,y) = C é uma solução implícita da equação diferencial y = 2xy x 2 +e y. É possível, com a ajuda de um computador, traçar os pontos (x,y) que verificam H(x,y) = C. Vemos então aparecer as curvas integrais do campo anterior: 3

4 Figura 3: H(x,y) = C para C = 0,20,30,50. Uma importante família de equações diferenciais que podem ser resolvidas implicitamente são as equações diferenciais separáveis: Definição 2, Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem diz-se separável se for do tipo y = M(x) N(y), o que, se N(y) 0, é equivalente a y N(y) = M(x). Notação à físico Escrevendo y = dy, podemos escrever esta equação diferencial na forma dx N(y)dy = M(x)dx. Chama-se a esta formulação a forma diferencial da equação diferencial. Tem, como veremos, uma grande utilidade. É desta escrita que vem o termo separável, já que de um lado da igualdade apenas temos a variável dependente y e do outro lado a variável independente x. Como se obtém facilmente uma solução implícita de uma equação diferencial separável? Se Ñ é uma primitiva de N e M é uma primitiva de M, então pelo que (Ñ(y(x)) M(x)) = y (x)ñ (y(x)) M (x) = y (x)m(y(x)) N(x), y (x)n(y(x)) M(x) = 0 Ñ(y(x)) M(x) = C, C R. 4

5 Por outras palavras, H(x,y) = Ñ(y) M(x) = C é uma solução ímplicita da equação y N(y) M(x) = 0. Exemplo y 2 y = e 3x. Podemos começar por traçar o campo de direcções associado. Em vez de tomar v(x,y) = (, e3x ), é preferível, para ultrapassar a dificuldade dos pontos y2 em que y = 0, escolher v(x,y) = (y 2,e 3x ). Figura 4: Campo de direcções v(x,y) = (y 2,e 3x ). Vamos agora obter a solução implícita. Aqui, N(y) = y 2 e M(x) = e 3x. Tomando as primitivas Ñ(y) = 3 y3 e M(x) = 3 e3x, obtemos a solução implícita y 3 e 3x = 3C. 5

6 Figura 5: y 3 e 3x = 3C para C =,4,6,0,2,20,30. Contrariamente ao nosso primeiro exemplo, nesta situação é possível exibir soluções explícitas: y(x) = 3 3C +e 3x, C R. Utilizando as notações à físico, torna-se ainda mais prático resolver esta equação diferencial: y 2 y = e 3x y 2 dy = e 3x dx y 2 dy = e 3x dx 3 y3 = 3 e3x +C y 3 = e 3x +3C. Caso se pretenda resolver um problema de valores iniciais, y(y 0 ) = x 0 : Pode determinar-se a constante C a partir desta nova condição: de onde se obtém y(x) = 3 e 3x e 3x 0 +y 3 0. y0 3 = e 3x 0 +3C C = y3 0 e3x 0, 3 Uma outra possibilidade é, utilizando o método à físico, integrar directamente as variáveis x e y nos intervalos [x 0 ;x] e [y 0 ;y(x)] directamente: y 2 y = e 3x y 2 dy = e 3x dx y(x) y 0 y 2 dy = o que fornece naturalmente a mesma solução. x x 0 e 3x dx 3 (y3 y 3 0) = 3 (e3x e 3x 0 ) Exemplo: Lei de Torricelli Figura 3: Lei de Torricelli. Um depósito de secção S tem um pequeno buraco de secção s. Pretende-se saber como evolui a altura h do líquido em função do tempo. A lei de Torricelli afirma que a água é ejectada à velocidade que teria adquirido uma gota de àgua após uma queda de h, ou seja, 2 mv2 = mgh v = 2gh. 6

7 Durante um curto instante dt, a equação de continuidade (a quantidade de líquido é constante) escreve-se Sdh = sv(t)dt. Obtemos assim a equação diferencial separável h h + s 2g S = 0. Com a condição inicial h(0) = h 0. Obtém-se assim dh = s 2g h(t) h S dt dh t s 2g = h 0 h 0 S dt 2( h(t) h 0 ) = s 2g S t h(t) = 4 ( h0 s ) 2 2g S t. Equações homogéneas Mudanças de variáveis Definição 3 Uma equação diferencial de primeira ordem da forma ( y y = φ(x,y) = f. x) diz-se equação diferencial homogénea. Note que neste caso, para todo α 0, φ(αx,αy) = f ( αy ) ( y = f = φ(x,y) αx x) pelo que esta poderá ser uma boa forma de reconhecer equações homogéneas. As equações homogéneas podem ser transformadas em equações separáveis pela mudança da variável dependente v(x) = y(x) x. Isto significa que a partir da equação diferencial verificada por y(x) vamos deduzir uma equação diferencial equivalente verificada por v(x). Depois de resolvida, poderemos recuperar as soluções da equação inicial fazendo simplesmente y(x) = xv(x). 7

8 Tem-se y (x) = xv (x)+v(x) pelo que ( y y = f x) o que é uma equação separável. Exemplo y = y2 x 2 2xy Fazendo a mudança de variáveis anunciada, xv +v = f(v) f(v) v v = x, Obtemos a equação separável xv +v = x2 v 2 x 2 2x 2 v = v2 2v = 2 v 2v. xv = 2 v 2v = v 2 + 2vdv 2 v v 2 + = dx x. Integrando, vem Voltando às variáveis iniciais, ln(v 2 +) = ln x +C v 2 + = C x, C = ±e C R. y 2 +x 2 C x = 0 ) 2 (X C +y 2 = C Trata-se de uma solução implícita: as curvas integrais do campo são circunferências centradas nos pontos do eixo das abcissas e que passam pela origem. Figura 4: Algumas curvas integrais da equação y = y2 x 2 2xy. 8

9 Equações de Bernoulli Definição 4 Uma equação de Bernoulli é uma equação diferencial da forma y +p(x)y = q(x)y n. Quando n = 0, trata-se simplesmente de uma equação linear, e quando n = de uma equação linear homogénea. Para n 2, mediante a mudança de variável v = y n, estas equações tornam-se lineares: v = y n v = ( n)y y n. Multiplicando a equação inicial por y n obtém-se n v +p(x)v = q(x) v +( n)p(x)v = ( n)q(x). Exemplo Curva logística y = ry ky 2, r,k > 0, constantes positivas fixas. Fazendo a mudança de variável v = y, v = y (y 0): y2 y = ry ky 2 y y 2 = r y k v = rv +k. O factor integrante é e rx, calculando-se assim a solução geral (ve rx ) = ke rx v(x) = k r +Ce rx, ou em termos de y, y(x) = k r +Ce rx. Figura 5: Curvas logísticas 9

10 Equações Exactas Definição 5 Uma equação diferencial da forma diz-se exacta se M e N são de classe C e N(x,y)y +M(x,y) = 0 M y = N x. Por outras palavras, o campo vectorial (M(x,y),N(x,y) é fechado. Dado um ponto (x 0,y 0 ) R 2 e uma vizinhança V simplesmente conexa, (por exemplo uma região rectangular), o campo é conservativo em V, pelo que existe uma função F C (V) tal que Temos então o seguinte resultado: M(x,y) = F F (x,y) e N(x,y) = x y (x,y). Propriedade As soluções da equação diferencial exacta N(x,y)y +M(x,y) = 0 são dadas implicitamente por F(x,y(x)) = C, C R. De facto, basta observar que F(x,y(x)) = F x (x,y)+y (x) F y (x,y) = M(x,y)y (x)+n(x,y) = 0. Exemplo 2xyy +y 2 +2x = 0 Aqui, N(x,y) = 2xy e M(x,y) = y 2 +2x são de classe C (R 2 ) e M N (x,y) = 2y = y x (x,y). Vamos então determinar F, o potencial do campo (M(x,y),N(x,y)) pelo método habitual: F F (x,y) = M(x,y) x x (x,y) = y2 +2x F(x,y) = xy 2 +x 2 +φ(y). 0

11 Diferenciando em ordem a y, 2xy = N(x,y) = F x (x,y) = 2xy +φ (y) pelo que φ (y) = 0: φ(y) = C R. Finalmente, obtemos a solução implícita F(x,y(x)) = xy 2 +x 2 = C, C R. Nesta situação, é possível fornecer as soluções explicitamente (em intervalos convenientes:) Factores integrantes y(x) = x C x 2, C R. Definição 6 Seja uma equação diferencial, N.M C. Se µ(x,y) C for tal que N(x,y)y +M(x,y) = 0 µ(x,y)n(x,y)y +µ(x,y)m(x,y) = 0 é exacta, µ diz-se um factor integrante da equação diferencial. É por vezes possível determinar um factor integrante e assim resolver a respectiva equação diferencial pelo método das equações exactas que acabámos de ver. A função µ é um factor integrante se x (µn) = y (µm), ou seja, se µ verifica a Equação de Derivadas Parciais N µ x M µ y + ( N x M y ) µ = 0. Esta equação é em geral mais difícil de resolver do que a equação diferencial original. No entanto, se µ apenas depender de uma variável (digamos x), esta equação é então uma EDO linear homogénea. É pois interessante obter um critério que permita determinar a existência de factores integrantes que apenas dependem de uma variável.

12 Propriedade 2 Seja N(x,y)y +M(x,y) = 0 uma equação diferencial, N.M C. Se ( M N y N ) = ψ(x) x depende apenas da variável x, então a equação diferencial admite um factor integrante µ(x) que verifica µ (x) ψ(x)µ(x) = 0. Basta observar que, em geral, µ x M µ N y N Exemplo (x 2 +xy)y +(3xy +y 2 ) = 0 Tem-se ( ) M N (x,y) N(x,y) y x (x,y) = Assim, existe um factor integrante µ(x) que verifica ( M y N ) µ = 0. x µ (x) µ(x) = 0. x x 2 +xy (3x+2y 2x y) = x. Resolvendo por exemplo para x > 0, o factor integrante desta equação é e dx x = x : Assim, a equação x µ (x) x 2µ(x) = ( ) µ(x) = 0 : µ(x) = x. x(x 2 +xy)y +x(3xy +y 2 ) = 0 é exacta. Pelo método estudado. as suas soluções são dadas implicitamente por F(x,y(x)) = x 3 y + 2 x2 y 2 = C, C R. x 2