d [xy] = x arcsin x. dx + 4x

Transcrição

1 Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - o. Semestre 01-6/11/01 Turma A Questão 1. a (1,0 ponto Determine a solução geral da equação y + 1 xy = arcsin x. b (1,5 pontos Determine a solução da equação xy x = y + x cos( y x que satisfaz a condição inicial y(1 = 1. c (1,5 pontos Determine a solução geral da equação y dx + x(ln x + ye y dy = 0. Solução. a Podemos escrever a equação dada na forma xy + y = x arcsin x, ou ainda, como Integrando, xy = d [xy] = x arcsin x. dx x arcsin x dx = x arcsin x 1 x 1 x dx. Fazendo a mudança x = sin θ, π < θ < π, podemos calcular a última integral como x dx = 1 x sin θ dθ = Portanto, a solução geral é dada por onde C é uma constante arbitrária. 1 (1 cos θ dθ = θ sin θ 4 y = C x + 1 x 4 b Escrevendo a equação dada na forma y = 1 + y x + cos ( y x ( x + 1 arcsin x, 4x, = 1 arcsin x 1 x 1 x + C. verificamos imediatamente que se trata de uma equação homogênea. Portanto, a mudança y = xu transforma a equação dada numa equação de variáveis separáveis. Substituindo, obtemos isto é, Integrando, obtemos u + x du = 1 + u + cos u, dx du 1 + cos u = dx x. du = ln x + C 1 + cos x Como 1 + cos u = cos x e sec u du = tg u, verificamos imediatamente que a solução geral é tg y x = ln x + C, onde C é uma constante arbitrária. Para que y(1 = 1 devemos ter C = tg 1. Além disso, como o domínio da solução deve ser um intervalo contendo x 0 = 1, devemos ter x > 0. Logo, a solução é y = xarctg ( ln x + tg 1 1

2 definida no intervalo (0, +.. c Sejam P (x, y = y e Q(x, y = x(ln x + ye y. Como P y = 1 e Q x = 1 + ln x + xye y, a equação não é exata. Como Qx Py Q = ln x+xyey = 1 x(ln x+ye y x depende apenas de x, a equação admite um fator intgrante que depende apenas de x. Seja µ = µ(x o fator integrante. A condição y µ + xµ (y = 0. Separando variáveis, obtemos dµ µ = 1 x dy (P µ = x (Qµ implica que e então µ = e ln x = 1 x. Multiplicando a equação dada por µ obtemos a equação exata y x dx + (ln x + yey dy = 0, cuja solução geral é dada por F (x, y = C, onde C é uma constante arbitrária e F satisfaz F x = y (1 x F y = ln x + ye y ( Integrando (1 com relação a x, concluimos que F (x, y = y ln x + K(y. Substituindo em (, obtemos ln x + K (y = ln x + ye y, e, portanto, K(y = ye y dy = e y. Assim, a solução geral da equação é dada por onde C é uma constante arbitrária. y ln x + e y = C,

3 Questão : (3,0 pontos Determine a solução geral da equação y 4y + 4y = e x ln x. Solução. Primeiro vamos determinar a solução geral da equação homogênea associada y 4y + 4y = 0. Como se trata de uma equação linear com coeficientes constantes e λ = é raiz dupla da equação característica λ 4λ + 4 = 0, a solução geral da equação homogênea associada é dada por y h (x = C 1 e x + C xe x, onde C 1 e C são constantes reais arbitrárias. Agora, vamos usar o método de variação dos parametros para determinar uma solução particular da equação não homogênea. Tal solução tem a forma onde u 1 (x e u (x satisfazem ( e x xe x e x y p (x = u 1 (xe x + u (xxe x, e x + xe x ( u 1 (x u (x ( = 0 e x ln x Multiplicando as duas equações por e x e operando com as equações resultantes, obtemos o sistema u 1 (x + xu (x = 0 e, portanto, u 1 (x = x ln x e u (x = ln x. Logo, Assim, u (x = ln x u 1 (x = x 4 x ln x e u (x = ln x x. y p = e x ( x 4 x ln x + e x (x ln x x = e x ( x ln x é uma solução particular e, portanto, a solução geral da equação é dada por ( y = e x C 1 + C x + x ln x 3x, 4 onde C 1 e C são constantes arbitrárias.. 3x 4 3

4 Questão 3: a (1,5 pontos Determine a solução geral da equação x y xy + ( + x y = 0, sabendo que y 1 = x cos x é uma solução. b (1,5 pontos Determine a solução geral da equação y 3y + 3y y = x + 3e x. Solução. a Vamos procurar outra solução y da forma y (x = x cos xu(x, com u não constante. Seguirá que {y 1, y } é linearmente independente e a solução geral será dada por y(x = C 1 y 1 (x + C y (x, onde C 1 e C são constante arbitrárias. Impondo que y seja solução, obtemos isto é, x ( sin x x cos xu(x + x (cos x x sin xu (x + x 3 cos xu (x Escrevendo u (x = v(x, obtemos x(cos x x sin xu(x x cos xu (x + x cos xu(x + x 3 cos xu(x = 0, cos xu (x sin xu (x = 0. v (x = sin x cos x v(x, e podemos tomar v(x = e ln cos x = sec x e, portanto, u(x = v(x dx = tgx. Logo, y (x = x cos x tgx = x sin x e a solução geral é onde C 1 e C são constantes arbitrarias. y(x = x(c 1 cos x + C sin x, b A equação característica da equação homogênea associada é λ 3 3λ + 3λ 1 = (λ 1 3 = 0 e tem λ = 1 como raiz tripla. Portanto y h = C 1 e x + C xe x + x C 1 e x é a solução geral da equação homogênea associada. Para determinar uma solução particular y p, vamos determinar uma solução particular y 1p e y p de cada uma das equações y 3y + 3y y = x (1 e y 3y + 3y y = 3e x, ( respectivamente, e tomar y p = y 1p + y p (Princípio da Superposição. Para a equação (1, vamos procurar y 1p da forma y 1p (x = Ax + B. Substituindo, obtemos 3A Ax B = x e, portanto, A = e B = 6. Para a equação (, vamos procurar y p da forma y p (x = Dx 3 e x. Temos y p = De x (3x + x 3, y p = De x (6x + 6x + x 3, y p = De x (6 + 18x + 9x + x 3. Substituindo, obtemos 4

5 De x [6 + 18x + 9x + x 3 3(6x + 6x + x 3 + 3(3x + x 3 x 3 ] = 3e x e, portanto, D = 1. Logo, y p (x = x x3 e x é uma solução particular e a solução geral é dada por y = C 1 e x + C xe x + x C 1 e x x x3 e x, onde C 1, C e C 3 são constantes arbitrárias. 5

6 Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - o. Semestre 01-6/11/01 Turma B Questão 1. a (1,0 ponto Determine a solução geral da da equação y + 1 xy = arccos x. b (1,5 pontos Determine a solução da equação xy x = y + x cos( y x que satisfaz a condição inicial y(1 = 1. c (1,5 pontos Determine a solução geral da da equação y(ln y + xe x dx + x dy = 0.. Solução. a Podemos escrever a equação dada na forma xy + y = x arccos x, ou ainda, como Integrando, xy = d [xy] = x arccos x. dx x arccos x dx = x arccos x + 1 x 1 x dx. Fazendo a mudança x = cos θ, 0 θ π, podemos calcular a última integral como x dx = 1 x 1 cos θ dθ = (1 + cos θ dθ = θ sin θ 4 = 1 arccos x 1 x 1 x + C. Portanto, a solução geral é dada por y = C x 1 x 4 ( x + 1 arccos x, 4x onde C é uma constante arbitrária. b Escrevendo a equação dada na forma y = 1 + y x + cos ( y x verificamos imediatamente que se trata de uma equação homogênea. Portanto, a mudança y = xu transforma a equação dada numa equação de variáveis separáveis. Substituindo, obtemos isto é, Integrando, obtemos, u + x du = 1 + u + cos u, dx du 1 + cos u = dx x. du = ln x + C 1 + cos x Como 1 + cos u = cos x e sec u du = tg u, verificamos imediatamente que a solução geral é tg y x = ln x + C, 6

7 onde C é uma constante arbitrária. Para que y(1 = 1 devemos ter C = tg 1. Além disso, como o domínio da solução deve ser um intervalo contendo x 0 = 1, devemos ter x > 0. Logo, a solução é definida no intervalo (0, +. y = xarctg ( ln x + tg 1. c Sejam P (x, y = y(ln y + xe x e Q(x, y = x. Como P y = 1 + ln y + xye x e Q x = 1, a equação ln y+xyex não é exata. Como Qx Py P = = 1 y(ln y+xe x y que depende apenas de y. Seja µ = µ(y o fator integrante. A condição y (P µ = µ + yµ (y = 0. Separando variáveis, obtemos depende apenas de y, a equação admite um fator intgrante dµ µ = 1 y dy x (Qµ implica que e então µ = e ln y = 1 y. Multiplicando a equação dada por µ obtemos a equação exata (ln y + xe x dx + x dy = 0, y cuja solução geral é dada por F (x, y = C, onde C é uma constante arbitrária e F satisfaz F x = ln y + xex (1 F y = x y Integrando ( com relação a y, concluimos que F (x, y = x ln y + K(x. Substituindo em (1, obtemos ( ln y + K (x = ln y + xe x, e, portanto, K(y = xe x dx = e x. Assim, a solução geral da equação é dada por onde C é uma constante arbitrária. x ln y + e x = C, 7

8 Questão : (3,0 pontos Determine a solução geral da equação y 6y + 9y = e 3x ln x. Solução. Primeiro vamos determinar a solução geral da equação homogênea associada y 6y + 9y = 0. Como se trata de uma equação linear com coeficientes constantes e λ = é raiz dupla da equação característica λ 4λ + 4 = 0, a solução geral da equação homogênea associada é dada por y h (x = C 1 e x + C xe x, onde C 1 e C são constantes reais arbitrárias. Agora, vamos usar o método de variação dos parametros para determinar uma solução particular da equação não homogênea. Tal solução tem a forma onde u 1 (x e u (x satisfazem ( e x xe x e x y p (x = u 1 (xe x + u (xxe x, e x + xe x ( u 1 (x u (x ( = 0 e x ln x Multiplicando as duas equações por e x e operando com as equações resultantes, obtemos o sistema u 1 (x + xu (x = 0 e, portanto, u 1 (x = x ln x e u (x = ln x. Logo, Assim, u (x = ln x u 1 (x = x 4 x ln x e u (x = ln x x. y p = e x ( x 4 x ln x + e x (x ln x x = e x ( x ln x é uma solução particular e, portanto, a solução geral da equação é dada por ( y = e x C 1 + C x + x ln x 3x, 4 onde C 1 e C são constantes arbitrárias.. 3x 4 8

9 Questão 3: a (1,5 pontos Determine a solução geral da equação x y xy + ( + x y = 0, sabendo que y 1 = x sin x é uma solução. b (1,5 pontos Determine a solução geral da equação y 3y + 3y y = 3x + 5e x. Solução. a Vamos procurar outra solução y da forma y (x = x sin xu(x, com u não constante. Seguirá que {y 1, y } é linearmente independente e a solução geral será dada por y(x = C 1 y 1 (x + C y (x, onde C 1 e C são constante arbitrárias. Impondo que y seja solução, obtemos isto é, x ( cos x x sin xu(x + x (sin x + x cos xu (x + x 3 sin xu (x Escrevendo u (x = v(x, obtemos x(sin x + x cos xu(x x sin xu (x + x sin xu(x + x 3 sin xu(x = 0, sin xu (x + cos xu (x = 0. v (x = cos x sin x v(x, e podemos tomar v(x = e ln sin x = cossec x e, portanto, u(x = v(x dx = cotgx. Logo, y (x = x sin x cotgx = x cos x e a solução geral é onde C 1 e C são constantes arbitrarias. y(x = x(c 1 sin x + C cos x, b A equação característica da equação homogênea associada é λ 3 3λ + 3λ 1 = (λ 1 3 = 0 e tem λ = 1 como raiz tripla. Portanto y h = C 1 e x + C xe x + x C 1 e x é a solução geral da equação homogênea associada. Para determinar uma solução particular y p, vamos determinar uma solução particular y 1p e y p de cada uma das equações y 3y + 3y y = 3x (1 e y 3y + 3y y = 5e x, ( respectivamente, e tomar y p = y 1p + y p (Princípio da Superposição. Para a equação (1, vamos procurar y 1p da forma y 1p (x = Ax + B. Substituindo, obtemos 3A Ax B = 3x e, portanto, A = 3 e B = 9. Para a equação (, vamos procurar y p da forma y p (x = Dx 3 e x. Temos y p = De x (3x + x 3, y p = De x (6x + 6x + x 3, y p = De x (6 + 18x + 9x + x 3. Substituindo, obtemos De x [6 + 18x + 9x + x 3 3(6x + 6x + x 3 + 3(3x + x 3 x 3 ] = 5e x 9

10 e, portanto, D = 5 6. Logo, y p (x = 3x x3 e x é uma solução particular e a solução geral é dada por y = C 1 e x + C xe x + x C 1 e x 3x x3 e x, onde C 1, C e C 3 são constantes arbitrárias. 10