Revisão do Teorema de Green

Transcrição

1 Curso: MAT 0- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV - IFUSP Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 009 cm LISTA7 - DICAS: LISTA DE EXERCÍCIOS 7 - Integração Revisão do Teorema de Green () Leia a demonstração da versão simplificada do Teorema de Green nas páginas 7 a 3 do livro texto Cálculo em Uma Variável Complexa, Marcio G. Soares. () Para cada um dos conjunto abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. (a) V={ C,Re(). (b) V={ C, Re() Im() 0}. (c) V={ C, Re() Im() 0}. 3 (3) Calcule V f, com V cada um dos conjuntos do exer. (V e V positiva/e orientados) e y f(x,y)=( x + y, x x + y ), f(x,y)=( x x + y, y x + y ). 4) Seja V como no enunciado do Teorema de Green. Mostre que a área de V é dada por V xdy. (5) Use (4) para calcular a área de V={(x,y) x y a+ b } e V={(x,y) x y 9, xy 4}. (6) Calcule (V e V positiva/e orientados) onde V é V (x y )dx+xydy e v xydx+(y x )dy, (i) O retângulo delimitado pelas retas y= x, y= x+4, y= x+ e y= x. (ii) V={(x,y) x y 9, xy 4}.

2 Holomorfia Se f Ω C, Ω C é derivável em 0 e se f=(u(x,y),v(x,y)) é a identificação usual com f através do isomorfismo natural entre C e R mostramos J( f) u = x (x u 0,y 0 ) y (x 0,y 0 ) u v x (x v 0,y 0 ) y (x = x (x 0,y 0 ) v x (x 0,y 0 ) 0,y 0 ) v x (x u 0,y 0 ) x (x, 0,y 0 ) a forma matricial das equações C-R. EM L, Exerc. 4, vimos = a+bi a b b a (7) Dada f Ω C, Ω aberto em C, seja f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) com a notação acima e suponhamos f diferenciável [logo, existem u x, u y, v x, v y ]. (a) Escrevendo, x= +, y=, i f= u(x,y)+iv(x,y)=u( +, ) + iv( +, ), i i desenvolva, utiliando a regra da cadeia, as fórmulas (memorie-as) para f e f, em termos das derivadas parciais de u e v, em relação às variáveis x e y. (b) Mostre que f u = 0 se e só se valem as equações de C-R: x = v y e u v = y x (c) Mostre que valem as equações de C-R se e somente se f = 0. (d) Interprete o resultado em (c). (8) Verifique se se cumprem as condições C R para as seguinte funções (i) f()=x 3 3xy + i(3x y y 3 ) (ii) f()=e y (cosx+isinx). (iii) f()=e x (cosy isiny) (iv) f()=e y (cosx+isinx). (9) Seja f() uma função inteira (holomorfa em todo o plano complexo). Mostre que a função g()=f() também é inteira. Mostre, ainda, que a função h()=f() é derivável em 0 = 0 se e somente se f (0)=0. Sugestão: Para a segunda parte verifique () h() h(0) () existe h (0) existe lim[ f() f(0) 0 Assim, por (3), existe lim[ f() f(0) 0 = f() f(0), ] e (3) não existe lim 0 (verifique). f() f(0) ] se e somente se (verifique) lim 0. = 0

3 (0) Mostre que (a) cos= (ei + e i ), sin= i (ei e i ). (b) cos= cos e sin= sin. (c) cos + sin = se e só se é real Sugestão-Resolução: Não sei se a melhor. (c) Verifiquem antes as relações (é necessário): cos( )=cos, sin( )= sin e, principalmente, cos(+ w)=cos cosw sin sinw,,w C. Temos, cos + sin = cos cos+ sin sin= cos cos+ sin sin = cos cos( ) sin sin( )=cos( ). Se = a+bi, a,b R, temos Mas, i n =( ) n e portanto... cos + sin = cos(bi) = ( ) n (bi) n (n)! () Compute as derivadas e expresse na forma u+iv o seno e o co-seno hiperbólicos: cosh= (e + e ), sinh= (e e ).. () Identifique o erro no Paradoxo de Bernoulli: ( ) = log( )=log log( )=log. (3) Usando o ramo principal de λ calcule,(5i) +i e i e i. Resolução Computarei dois dos pedidos. (i) Se Log é o logaritmo principal e Arg é o argumento principal temos = e Log,Log=ln+iArg=ln+i0=ln, logo, = e ln, onde ln é o usual logatimo natural em R. (ii)(5i) +i = e (+i)log(5i), Log(5i)=ln 5i +iarg(5i)=ln5+i π e (5i) +i = e (+i)(ln5+i π ) = e (ln5 π )+i(ln5+ π ) = e ln5 π [cos(ln5+ π )+isin(ln5+ π )], complete o cálculo. 3

4 (4) Determine o ramo principal da função. (5) Compute γ f()d onde f e γ são dados. (a) f()= e γ(t)=e it, 0 t π. (b) f()= + (c) f()= + e γ(t)=3e it, 0 t π. e γ(t)=5i+e it, 0 t π. (d) f()= e γ(t)=+eit, 0 t π. (e) f()= e γ(t)=eit, 0 t π. (f) f()=πe π e γ é o quadrado de vértices 0,, +i e i, positivamente orientado. (g) f()= 0 e γ(t)= 0 + re it, 0 t π, r> 0. (h) f()= ( 0) n e γ(t)= 0 + re it, 0 t π, r> 0, n. (i) f()= ei e γ(t)=e it, 0 t π. (j) f()= sin 4 (k) f()= log n (l) f()= e e n e γ(t)=e it, 0 t π. e γ(t)=+ 4 eit, 0 t π. e γ(t)=e it, 0 t π, n. (m) f()= + e γ(t)=eit, 0 t π. Respostas e Sugestões: Respostas: (a) ero (b) πi (c) ero (d) π i (e) ero (f)... (g) πi (h) ero (i) π (j) πi 3! (k) ero (l) [+( )n ]π i (n )! (m) ero 4

5 Sugestões: (d) Definindo f()= + temos que f é holomorfa em um aberto contendo a curva γ e a região limitada por γ (o interior da curva γ) e que pertence a esta região. Logo, pela fórmula integral de Cauchy [vide Teorema.6, no livro texto, página 4], f( )= πi γ f() d γ d= γ (+ ) d= πf( )i=π i= πi e (6) Mostre que k γ d= πi, onde k é uma constante real e γ(t)=eit, 0 t π. Use esse resultado para mostrar que Sugestão: Pela Fórmula Integral de Cauchy temos, 0 π e kcost cos(k sint)dt=π. =e k0 = πi e k γ 0 d. Logo, se Im(a+bi)=b é a parte imaginária de um número complexo = a+bi, Im{ γ e k 0 d}=π,. Substituindo γ(t)=e it = cost+sint,t [0,π], compute então, Im{ γ e k d} (7) Se f é uma função inteira e existem M 0, R>0 e n tais que f() M n para R, mostre que f é um polinômio de grau menor ou igual a n. Sugestão: Considere γ a parametriação da curva centrada na origem e de raio R R e utilie as Estimativas de Cauchy, Corolário 6.3, para mostrar que, para m n+, Por fim, como f é inteira utilie f (m) (0) cte. R m n. f()= j=0 f (j) (0) j j! 5

6 (8) Seja f Ω C uma função holomorfa, Ω um domínio. Suponha que exista a Ω tal que f(a) f(), Ω. Mostre que ou f(a) = 0 ou f é uma função constante. (9) Seja f holomorfa num domínio Ω contendo a região fechada e limitada determinada por uma curva de Jordan suave por partes γ e um ponto interior a esta região. Se K é o máximo de f ao longo de γ e δ é a distância mínima de a γ então, f() K( L(γ) πδ ) n, n ; L(γ) o comprimento de γ. Aplique tal desigualdade para dar uma outra prova do Princípio do Módulo Máximo. Resolução comentada: (a) Para uma n-ésima potência arbitrária de f, n, temos f n (γ(t)) K n, 0<δ γ(t), t Dom(γ) t Dom(γ) (γ(t)) fn Kn, t Dom(γ). γ(t) δ Assim, pela Fórmula Integral de Cauchy aplicada à função f n, f n () = πi γ f n (w) w dw, e f() n = f n () π γ K n δ dw = π K n δ L(γ) e, extraindo a raí n ésima, Com isto provamos o item(a). f() K( L(γ) πδ ) n, n. Comentário Extra: Faendo n tender ao infinito temos( L(γ) πδ ) n e obtemos f() K= max f = max{ f(γ(t)) t Dom(γ)}, no interior de γ, γ ou seja, provamos que a restrição, que chamarei ϕ, de f a qualquer região, que chamarei O, limitada por uma curva de Jordan em Ω é uma função holomorfa cujo máximo ocorre na fronteira de O, que é a curva de Jordan. Este comentário já demonstra que o máximo ocorre na fronteira. Faça um desenho e veja a próxima página. 6

7 (b) (Princípio do Módulo Máximo) Seja Ω um aberto conexo e f H(Ω). Então, f() não pode assumir máximo em Ω a não ser que f seja constante. Detalhe a demonstração abaixo. Prova: Seja 0 Ω tal que M= f( 0 ) f(), Ω. Pelo comentário 0 não é ponto de máximo estrito de f em nenhum disco fechado D r ( 0 ) Ω e nestes discos há um outro ponto de máximo de f. Logo, em todo D r ( 0 ) há infinitos pontos em que f assume o máximo. Pelas equações C-R temos f = 0 em qualquer ponto de máximo local. Donde, em D r ( 0 ), f é identicamente nula e f é constante. Consequentemente, f é constante em Ω (0) Igualdade de Parsevall: Se f()= a n ( 0 ) n, D ρ ( 0 ), e se r ρ, então π π f( 0 + re iθ dθ= a n r n. 0 Aplique tal identidade para dar uma outra prova do Princípio do Módulo Máximo. Sugestão: Vide nas notas do curso o Corolário 4.5, pg. 67, ao Teorema 4., pg. 66. e os diagramas na página 68. Observemos que e que = a n r n e inθ f( 0 + re iθ ) = a n r n = a n r n e inθ, Portanto, pelo Teste M de Weieirstrass a série de funções a n ρ n <, por hipótese. a n r n e inθ, (r,θ) [0,ρ] [0,π] é uniformemente e absolutamente convergente em[0,ρ] [0,π]. Use o Corolário

8 () Princípio da Identidade para Funções Holomorfas Sejam f e g holomorfas num domínio Ω. Se X ={ Ω f() = g()} tem ponto de acumulação em Ω, então f g. () Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida. (i) f()= (ii) f()= (iii) f()= 3 e (iv) f()=cos (v) f()= (+i) ( )(+i) 5 ( ). Resoluções: Atenção: é necessário checar as contas. (i) As singularidades são 0 e i. A série de Laurent em torno de 0: Temos, devido à condição para a convergência de uma série geométrica, + i = /i + i = /i i = i m=0 (i) m = i++ m= i m m, se <. Donde, a série de Laurent convergente na coroa{ 0< <} centrada na origem, f()= (+ i) = i + + m= e portanto o resíduo de f no ponto 0 é. O resíduo de uma série de Laurent...+ i m m = i + + i n+ n, em 0< <, b m ( 0 ) m+...+ b 0 + a 0 + a ( 0 )+...+a n ( 0 ) n +... no ponto 0, Res(f; 0 ), é o coeficiente b : Res(f; 0 )=b. A série de Laurent em torno de i: Utiliando séries geométricas obtemos, na bola{ + i <} centrada em i, = i+(+ i) = i +i i = i +i(+ i) = i [ i(+ i)] = i ( i) m (+i) m = ( i) m+ (+i) m. m=0 Derivando a fórmula acima na bola aberta{ + i <} obtemos = m= m( i) m+ (+i) m = (n+)( i) n+ (+i) n = e a série de Laurent convergente na coroa{ 0< + i <} centrada em i n= n= m=0 (n+)( i) n+ (+i) n, (+ i) = + i + (n+)( i) n+ (+ i) n = + i + (n+)( i) n+3 (+ i) n, e Res(f; i)=. 8

9 (3) Uma função holomorfa num disco em torno de um polo é a soma de duas funções, uma racional e outra holomorfa. (4) Dê uma função com um polo de ordem em = e um polo de ordem 7 em = i. (5) Seja f C C holomorfa e tal que existe lim f(). Então, f é constante. (6) Classifique a singularidade 0 de cada uma das funções: (i) f()=sin( ) cos (ii) f()= (iv) f()=exp(+ ) (v) f()= 8 (iii) f()= sin 3 (vi) f()= cos 4. (7) Determine a ordem do polo de f em a e calcule res(f;a). (i) f()= sin 4, a=0. (ii) f()= e n+, a=0. (iii) f()= cos 3 ( ), a=0. (iv) f()= 4 5, a=. (v) f()= sin(/) 4 5, a=. (vi) f()= cos, a=0. (vii) f()= e3, a=0. 4 (viii) f()= e 4 5, a=. Resoluções: Atenção: é necessário conferir as contas. (i) Temos, sin= 3 3! + 5 5! +...+( )n n+ (n+)! +..., sin = ! + ( ) n (n+)!. n= Assim, 0 é um polo de ordem 3 e Res(f;0)= 6. n 3 9

10 (iii) Para f()= cos, a=0, como cos0= e a função não se anula em a=0 é 3 ( ) natural que 0 seja polo de ordem 3. De fato, lim 0 3 cos 3 ( ) = lim cos 0 = 0 o que mostra que 0 é um polo de ordem 3 (vide Proposição). Para computar o resíduo notemos que para uma série de Laurent com um polo de ordem k em 0 temos e f() =...+ b k ( 0 ) k+...+ b 0 + a n ( 0 ) n, g()=( 0 ) k f()=b k + b k ( 0 )+...+b ( 0 ) k +... e portanto, pela fórmula para os coeficientes de uma série de potências b = gk ( 0 ) (k )!. No caso em questão temos, Res(f;0)= g (0)! g()= 3 f()= cos,g ()= sin cos ( ). g ()= cos + sin sin cos ( ) + ( ) + ( ) 3 e g (0)= e portanto, Res(f;0)=, (8) Seja f holomorfa em Ω 0 e ainda:f(0)=0 e 0 é o único ero de f em Ω. Seja g também holomorfa em Ω. Então, f divide g [i.e., g= hf, com h holomorfa] se e somente se: res(k g f 0)=0 para toda função holomorfa k em Ω. (9) Ache o número de eros satisfaendo < dos seguintes polinômios: (i) ; (ii) (30) Se a >e, a equação e = a n tem n raíes no disco <. 0