1 a Lista de Exercícios de Cálculo VIII

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1 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII. Simplifique: [ ] + i a + i i b 4 i c + i 6 i + i d i 4 e eπi f i e πi e +πi. Encontre todos os valores de C tais que: a i 0 b + i c + i d e i 8 f 4/. Seja Arg, π < Arg π, o valor principal do argumento de. Determine Arg: a i b i c 4i d 4. presente, no plano compleo, as regiões: a + i 0 b i 0 c i + i d 0 < Arg π e i + + i 4 f > + 5. Mostre que + cosθ + cosθ cosn θ kπ, k Z. sennθ/cosn θ/, para θ senθ/ 6. Obtenha a imagem da região S pela aplicação f: a S { C;0 Arg π 6 e };f b S { C;0 e 0 Arg π};f + i c S { C;ln ln 4 e 0 π};f e { d S C; e Arg π } ;f i i Obtenha os eros de f cosh. 8. Considere P i +5 i +6 4i e Q i ++i + i. Mostre que P e Q possuem as mesmas raíes. Calcule P e Q e conclua que P Q. 9. Obtenha as raíes de senh + cosh.

2 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA ; 0 0. Seja f a função definida por f. f é contínua em 0? 0; 0. Seja f. a Mostre que f 0 eiste e que f 0 0. b Mostre que 0 0 é o único número compleo tal que f 0 eiste.. Use o ramo do logaritmo associado a π,π para calcular: a log i b logi c log + i d log i e i i f + i i. Determine os valores de 0 C para os quais f 0 eiste. Determine todos os pontos pertencentes a C em que f é analítica, para: a f e b f c f + iy d f e f 4. Determine o conjunto de todos os pontos em que a função f dada por f + iy y π + y i é derivável e calcule a derivada de f nesses pontos. Em que pontos f é analítica? 5. Use o ramo principal do logaritmo para definir f tal que f log. Determine todos os pontos pertencentes a C em que f é analítica. 6. Seja f tal que f senh e. Determine o domínio de f e indique em que pontos f é analítica. 7. Encontre uma função analítica f tal que f y. 8. Determine todos os pontos pertencentes a C em que a função f definida por f é analítica. 9. Seja u a função real de duas variáveis reais definida por u,y e y sen + y. a Encontre uma função v, real de duas variáveis reais, de modo que a função f dada por f u + iv seja analítica. b Epresse f na variável + iy. 0. Encontre a função analítica f tal que fπ π e [f] e y sen + y.. Mostre que se a função f dada por f u + iv e se a sua complea conjugada f u iv são ambas analíticas em um domínio então f é constante neste domínio.. Cada uma das equações a seguir descreve uma curva no plano compleo. Esboce a curva e dê a sua orientação.

3 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA a + it,0 t b + t + it,0 t. Calcule 4. Calcule +i i C c + i + e πit,0 t + d, ao longo do caminho dado por t + + 4t t i,0 t. f d em cada caso: a f +, onde C é a elipse dada por + cost + i sent, 0 t π b f, onde C é o círculo percorrido uma ve no sentido trigonométrico. 5 e c f +, onde C é o círculo 0, percorrido uma ve no sentido trigonométrico. d f cos, onde C é o quadrado de vértices + i, i, + i e + 8 i, percorrido uma ve no sentido trigonométrico. e f e 5, onde C é o círculo 0, percorrido uma ve no sentido trigonométrico. 5. Obtenha a série de Taylor em torno de 0 de: a f 0 senω dω b f senh c f sen 6. Desenvolva as funções abaio em série de Laurent em torno de 0. Obtenha o raio de convergência R de cada série. a f e ; 0 0 b f cos ; 0 0 c f Sugestão para f: use que 4 d 6 4; 0 0 d f ; 0 0. e f ; 0 f f 4; 0 7. Classifique as singularidades isoladas das funções definidas a seguir: a f c f e f f 4 sen + d f cos g f e / π b f sen e f sen h f e 4 8. Calcule os resíduos das funções abaio em 0. a f cos 7 ; 0 0 b f e + sen ; 0 0 c f ; 0 d f cos 6 ; 0 0 e f e / ; f f + 4 ; 0

4 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA 4 9. Obtenha a série de Laurent de 5 em torno de 0 para: a 0 < < b > 0. Seja f dada por f senh. a Obtenha e classifique as singularidades de f. b Calcule o resíduo de f em cada singularidade obtida em a. e t cos. Seja f dada por f π. Obtenha os três primeiros termos da série de Laurent π em torno de π e calcule sf,π.. Obtenha os três primeiros termos da série de Laurent de f. Calcule as integrais: para 0 < π < π. π a + 5 d b π 0 cosθ 4cosθ 5 dθ c 4 + a 4 d,a > 0 4. Calcule { } a L s s 4s + spostas 4. a b 5 { } b L s + s c 8 5 d 4 { } c L s sens e 4 5 i 5 f e. a e iπ/6 + i ; e 5iπ/6 + i ; i b 4 e iπ/ i ; [ c 4 e iπ/8 ] + i ; 4 d + i ; i ; + i ; 4 i ; 5 i ; 6 i e ; + i ; i f. a π 4 + i ; + i ; i b π c π ; 4 i d π

5 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA 5 y y 4. a c e y b d f 5. n + cosθ+cosθ cosn θ coskθ k0 n k0 n n r k + s k,r e iθ,s e iθ k0 k0 r n r + sn s e inθ e iθ + e inθ e iθ,θ kπ e inθ e iθ/ e iθ e iθ/ + e inθ e iθ/ e iθ e iθ/,θ kπ e inθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ e inθ e iθ/ i senθ/ 4i senθ/ 4i senθ/ 4i senθ/ senθ/ sennθ/ senθ/ e ikθ + e ikθ,r e iθ,s e iθ,r,s fórmula da soma de PG + e inθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ e inθ e iθ/ i senθ/,θ kπ,θ kπ e inθ e iθ/ e inθ e iθ/,θ kπ e inθ e inθ/ e inθ/ e iθ/ + e inθ e inθ/ e inθ/ e iθ/,θ kπ e inθ/ e inθ/ e in θ/ + e inθ/ e inθ/ e in θ/,θ kπ sennθ/e in θ/ + sennθ/e in θ/,θ kπ e in θ/ + e in θ/,θ kπ

6 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA 6 sennθ/cosn θ/,θ kπ senθ/ 6. a S { C;0 Arg π e } b S { C;0 e π 4 Arg 5π 4 } 7. c S { C; 4 e 0} d S { C;, 0, 0 e + } kπ + π i, onde k Z 8. É claro que as raíes de Q são 0, + i e + i. Como P P P 0, P e Q são polinômios de grau com as mesmas raíes. Além disso, P Q e logo P Q. 9. kπi,k Z 0. Não: lim 0. lim 0, 0 f f0. a lim lim 0 0 b f 0 0 lim. Então, 0 0 f f 0 lim 0, R lim y 0,y R. Mas, lim 0, 0 lim 0 lim 0 0 lim , R 0 + iy iy 0 lim y 0,y R Assim, 0 i 0, logo lim 0 0 e 0 + y 0 + y 0 i iy 0. a ln iπ 4 b iπ c ln + iπ 6 d iπ e e π/ f e i ln π 4. a f 0 eiste para todo 0 C. f é analítica em C. b f não é derivável em nenhum ponto. Conseqüentemente, f não é analítica em nenhum ponto. c f não é derivável em nenhum ponto note que f satisfa Cauchy-Riemann em { C, }, mas ainda assim, f não é derivável em nenhum ponto. Conseqüentemente, f não é analítica em nenhum ponto. d f 0 eiste para todo 0 0. f é analítica em { 0 C 0 0}. e f não é derivável em nenhum ponto. Conseqüentemente, f não é analítica em nenhum ponto. 4. f é derivável em { C; + y }. f não é analítica em nenhum ponto.

7 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA 7 5. f log log +, onde log + ln + + iarg +, Arg + π,π, log ln + i Arg, Arg π,π. f é analítica em { C R < }. 6. D f { C kπi, k Z}. f é analítica em D f. 7. f y + iy y C { ; + i; i} 9. a v,y e y cos + y b f i[e i ] 0. f + iy e y cos + y + + ie y sen + y. Use as condições de Cauchy-Riemann.. y y a b 0 c i 4. a 4πi b 5πi n 4n+ 5. a 4n + n +! 6. a b n n,r n! c πie 5e 8 d πi 4 b n n n,r d n! c n+ n +! n,r n,r n+ c e f 6 e πi n k n+ + n k +! k0 n n,r k k +k +k + k0 k,r 7. a ±i polos simples n 0; polo simples b nπ,n Z : n ; removível n 0,; polos duplos c 0 é removível, é polo simples d 0 é essencial e 0 é polo duplo f 0 é essencial g 0 é essencial h 0 é polo duplo

8 a Lista de Eercícios de Cálculo VIII UFF - GMA 8 8. a /45 c 0 e 0 b / d 0 f /4 9. a 4 n n b n n+ 0. a nπi,n Z : n 0 é removível, outras são polos simples. b n nπi. a etπ π ;a. a π ;a 0 π ;a π 4 tπ + etπ π ;a + tπ + π t π e tπ π. a π/6 b π/6 4. a e t cost b e t + 4t e t 8 sf,π c π a c essa função não satisfa as hipóteses do teorema de inversão