CADERNO 1. Nas condições pretendidas, o número de possibilidades é dado por 2 4! 4!, ou seja, ( ) ( ) ( )

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1 . Podemos ter sequências do tipo CADERNO Maq. I P I P I P I P!! ou Maq. P I P I P I P I!! Nas condições pretendidas, o número de possibilidades é dado por!!, ou seja, 5. Resposta: Opção (B) 5. Na figura está representada a região definida pela condição π z i 0 Arg( z) A área da referida região é dada por: π π = π 0,9 Resposta: Opção (A) 0, 9. i z = +, z z i = = = i i = + i e i i cosθ + isinθ + i = cosθ + isinθ + i ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) + cos + + sin i = + cos + + sin i ( cosθ ) ( sinθ ) ( cosθ ) ( sinθ ) = Daqui resulta: z = = θ + iθ e cos isin θ θ θ θ θ θ θ θ 9 6 cos + cos + sin + sin = + cos + cos sin + sin 8cosθ = sinθ cosθ = sinθ No intervalo π π, θ = arctan + π θ, 5 Resposta: θ, 5 tan θ =., tem-se θ

2 .. No intervalo I = [ 0,0] pretende-se identificar o número de soluções da equação ( t ) =,5, ou seja, πt sin + π =,5. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, tem-se: Podemos observar que os gráficos das funções consideradas se intersetam 7 vezes, o que significa que o ponto P se encontra a uma distância de,5 da origem em 7 momentos distintos... ( t) t πt πt π πt = sin + π = sin π = cos π πt π = cos + Conclui-se que a fase do oscilador harmónico é π. Resposta: Opção (D) π FIM (Caderno )

3 CADERNO AP 5.. tanθ =. Daqui resulta que AP = tanθ. π PB tan θ = Daqui resulta que π PB = tan θ. π cosθ sinθ cos θ sin θ AB = PB PA = tan θ tanθ = = sinθ cosθ sinθ cosθ ( θ θ ) ( θ ) cos sin cos = = = sinθ cosθ sin θ tan θ A área do retângulo [ABCD] é dada por AD AB, ou seja,. tan θ Assim, tem-se: f ( θ ) =. tan ( θ ) 5.. f π 6 = π = tan = = 6 Ponto de tangência: π π π, f =, cos f ( θ ) = tan ( θ ) = = tan θ sin θ π f = = = 6 π sin 6 ( θ ) A equação da reta tangente é do tipo y = 6 + b e passa no ponto de coordenadas π,. Então, π = + b. Daqui resulta que π Assim, tem-se y = π Resposta: y = π b = +.

4 6. A função f é contínua em 0 f ( 0) =,5 = f ( ) = = sin sin = se e só se f ( ) f ( ) f ( 0) sin Fazendo = y, tem-se: sin y y = = sin 0 y 0 ( ) sin sin 0 = =. e e f ( ) = = = = e e e e e Fazendo = t, tem-se: t e =. t 0 t Como f ( ) f ( ) f ( 0) f ( ) = ln = ln + ln = = =, conclui-se que f é contínua em = 0. f ( ) = ( ln + ln ) = d ( ) = f ( ) f ( ) = ln + ln + d ( ) ln ln = + + = = d ( ) = 0 = 0 = 0 > 0 ± + 8 = > 0 = = > 0 A distância é mínima quando a abcissa de A e de B é. Assim, o ponto B tem coordenadas, f, ou seja, Resposta: B (,) 0 + d 0 +,. d d

5 z i O afio do conjugado de z é o simétrico de P em relação ao eio real (.º quadrante). 8. Repara que w = = i z = i ( z ) O afio de O afio de i ( z ) z é o simétrico em relação à origem do afio de z (.º quadrante). é a imagem do afio de z pela rotação de centro O e amplitude π. A única possibilidade, das apresentadas, é o ponto T. Resposta: Opção (C) o ponto T 9. π i 7 π π 5π i + i 6 e e π π i i i + i e w = = = = = i e e As outras raízes cúbicas de z são w e w, sendo: 5π π π i + i w = e = e w π π π 7π i + i i = e = e = e A raiz cúbica de z com argumento pertencente a Resposta: e 7π i π, π é w 7π i = e. 0.. π i π i + i i e i θ e iθ iθ cos cos + isin cos e cos e cos z = = = = θ θ θ θ θ θ z = e cosθ π i θ 0.. a) Se π θ =, π π 5π i i 5π 5π z = e = e = cos isin π + cos z = i i = Resposta: z = i 5

6 b) Se π θ =, π π 5π 5π π i i i i 6 iπ 6 6 z = e = e = e e = e π cos z = e π i 6 Resposta: z = e π i 6 FIM (Caderno ) 6