Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas

Transcrição

1 Anális Matmática IV Problmas para as Aulas Práticas 7 d Abril d 003 Smana 1. Us as quaçõs d cauchy-rimann para dtrminar o conjunto dos pontos do plano complo ond as sguints funçõs admitm drivada calcul a drivada nsss pontos: (a) y i (b) y y + iy (c) z 3z 1 (d) z i (f) z (g) z z (h) z iz (i) Im(z ). (a) Sndo f ( + iy) = y i, vrifica-s qu Rf u(,y) = y, Imf v(,y) = = = () z z como tal = y, =, = 1, = 0 Atndndo a qu todas as drivadas parciais são contínuas, f srá difrnciávl no conjunto d pontos ond s vrifiqum as condiçõs d Cauchy-Rimann. Tm-s ntão qu { { y = 0 plo qu f é difrnciávl apnas no ponto z = 1 + i0, f (1 + 0i) = (b) Sndo f ( + iy) = y y + iy, vrifica-s qu como tal = 1 (1,0) + i (0,1) = i Rf u(,y) = y y, Imf v(,y) = y = yy + y y, = = = y + y, = y, = Atndndo a qu todas as drivadas parciais são contínuas, f srá difrnciávl no conjunto d pontos ond s vrifiqum as condiçõs d Cauchy-Rimann. Tm-s ntão qu { { y y + y y = 1 y + y = y

2 Anális Matmática IV Obviamnt qu o sistma é vrificado por (,y) = (0,0). Para 0 y 0, tm-s qu y + y = y y + y = y combinando apropriadamnt as duas quaçõs obtm-s = y, qu é uma quação impossívl dado qu y são rais difrnts d 0. Conclui-s qu f é difrnciávl apnas no ponto z = 0, f (0) = (0,0) + i (0,0) = 0 (c) Sndo f (z) = z 3z = ( + iy) 3( + iy) = y 3 + i(y 3y), vrifica-s qu como tal Rf u(,y) = y 3, Imf v(,y) = y 3y = 3, = y, = y, = 3 É óbvio qu as condiçõs d Cauchy-Rimann são vrificadas para todo (,y) R, atndndo a qu todas as drivadas parciais são contínuas, f é difrnciávl m C, para todo z C. f (z) = (d) Sndo f (z) = 1 z i = 1 + i(y 1) = Rf u(,y) = (,y) + i (,y) = 3 + iy = z 3 + (y 1) + i 1 y, vrifica-s qu + (y 1) 1 y + (y 1), Imf v(,y) = + (y 1) qu por srm funçõs racionais são difrnciávis m todos os pontos d R cpto os zros do dnominador, isto é, stão bm dfinidas m R \ (0,1). Para (,y) (0,1) = (y 1) ( + (y 1) ), = (y 1) ( + (y 1) ), = (y 1) ( + (y 1) ) = (y 1) ( + (y 1) ) É óbvio qu as condiçõs d Cauchy-Rimann s vrificam para todo (,y) (0,1), dado qu as drivadas parciais d u v são contínuas m R \ (0, 1), f é difrnciávl m C \ {i}. Para z i Dado qu f (z) = (,y) + i (,y) = (y 1) ( + (y 1) ) + i (y 1) ( + (y 1) ) ( + (y 1) ) = ( + i(y 1)) ( i(y 1)) = (z i) ( (y 1) (y 1)i) conclui-s f (z) = 1 (z i) () Sndo f (z) = z z = + iy ( iy) = iy, vrifica-s qu Rf u(,y) = 0, Imf v(,y) = y

3 Anális Matmática IV 3 como tal, para todo (,y) R = 0, = 0, = 0, = Dado qu, a condição = não s vrfica para nnhum (,y) R, o domínio d difrnciabilidad d f é o conjunto vazio. (f) Sndo f (z) = z = cosy + i sny = cosy i sny, vrifica-s qu Rf u(,y) = cosy, Imf v(,y) = sny como tal = cosy, = sny, = sny, = cosy Para qu s vrifiqum as condiçõs d Cauchy- Rimann { { cosy = cosy = = sny = sny { cosy = 0 sny = 0 Atndndo a qu as funçõs sno cosno nunca s anulam simultânamnt, tm-s qu o domínio d difrnciabilidad é o conjunto vazio. (g) Sndo f (z) = z z = (+iy) (+iy) = cos(y) cosy +i( sn(y)+ sny), vrifica-s qu como tal Rf u(,y) = cos(y) cosy, Imf v(,y) = sn(y) + sny = cos(y) + cosy, = sn(y) sny, = sn(y) + sny = cos(y) + cosy É óbvio qu as condiçõs d Cauchy- Rimann s vrificam para todo (,y) R, dado qu as drivadas parciais d u v são contínuas m R, conclui-s qu f é difrnciávl m C, f (z) = (,y)+i (,y) = para todo z C cos(y)+ cosy +i( sn(y) sny) = z + z (h) Sndo f (z) = z iz = ( +iy) i(+iy) = y (cos () ysn)+i y (sn()+ycos ), vrificas qu Rf u(,y) = y (cos () ysn), Imf v(,y) = y (sn() + ycos) como tal = y ((1 y)cos() sn), = y ((1 y)sn() + cos), = y ((y 1)sn() cos) = y ((1 y)cos() sn)

4 Anális Matmática IV 4 É óbvio qu as condiçõs d Cauchy- Rimann s vrificam para todo (,y) R, dado qu as drivadas parciais d u v são contínuas m R, conclui-s qu f é difrnciávl m C, para todo z C f (z) = (,y) + i (,y) = y ((1 y)cos() sn) + i y ((1 y)sn() + cos) = y (1 y)(cos + isn) + y ( sn + icos) = y (1 y) i + i y i = iz (1 + iz) (i) Sndo f (z) = Imz = Im( y + iy) = y, vrifica-s qu como tal, para todo (,y) R Rf u(,y) = y, Imf v(,y) = 0 = y, =, = 0, = 0 É imdiato vrificar qu as drivadas parciais d u v são contínuas m R, qu as quaçõs d Cauchy Rimann s vrificam apnas no ponto (0,0), plo qu a função admit drivada apnas m z = 0, f (0) = (0,0) + i (0,0) = 0. Considr a função f : C C dfinida por f (z) = f ( + iy) = y + i y. (a) Estud a analiticidad d f (z). (b) Calcul f (z) nos pontos ond f é anaĺıtica. (a) Comçmos por studar o domínio d difrnciabilidad d f. Podmos scrvr { y + yi s y 0 f (z) = f ( + iy) = y yi s y < 0 plo qu, s y 0 s y < 0 Tmos ntão qu s y 0 u(,y) Rf (,y) = y, v(,y) Imf (,y) = y u(,y) Rf (,y) = y, v(,y) Imf (,y) = y =, = y, = y, = as condiçõs d Cauchy-Rimann vrificam-s para todo (,y) tais qu y 0. Dado qu as drivadas parciais d u v são contínuas na msma rgião, conclui-s qu f é difrnciávl m {z C : Rz Imz 0}. Para z nsta rgião f (z) = (,y) + i (,y) = + iy = z

5 Anális Matmática IV 5 No caso m qu y < 0 =, = y, = y, = as condiçõs d Cauchy- Rimann não s vrificam nsta rgião, plo qu f não admit drivada no conjunto {z C : Rz Imz < 0}. (b) Para qu f sja anaĺıtica num dado ponto d C é ncssário qu: ista uma vizinhança d z, U, ond f (w) ista para todo w U. Tm-s ntão qu o domínio d analiticidad d f é a rgião {z C : Rz Imz > 0}. 3. Sja f : C C dfinida por f (z) = z z. Dtrmin o subconjunto d C ond f admit drivada calcul f (z) nsss pontos. Qual a rgião d analiticidad d f? Sndo f (z) = f ( + iy) = + iy ( iy) = + y y + iy tm-s qu como tal u(,y) Rf (,y) = + 3y, v(,y) Imf (,y) = y =, = 3y, = y, = As condiçõs d Cauchy Rimann vrificam-s no caso m qu 3y = y, isto é s y = 0. Dado qu as drivadas parciais d u v são contínuas m R, conclui-s qu f admit drivada na rgião {z C : z = R}. Nsta rgião f (z) = (,0) + i (,0) = = z Finalmnt, atndndo a qu a vizinhança d qualqur ponto dsta rgião contm pontos ond não ist drivada, o domínio d analiticidad d f é vazio. 4. Considr a função f : C C dfinida por { 3 y 3 + i 3 +y 3 s (,y) (0,0) f (z) = f ( + iy) = +y +y 0 s (,y) = (0,0) (a) Mostr qu as quaçõs d Cauchy-Rimann são vrificadas m (,y) = (0,0). (b) Vrifiqu, utilizando a dfinição, qu f (0) não ist. (a) Atndndo à dfinição d f, podmos scrvr u(,y) = { 3 y 3 +y s (,y) (0,0) 0 s (,y) = (0,0), v(,y) = { 3 +y 3 +y s (,y) (0,0) 0 s (,y) = (0,0) Tm-s ntão u(h,0) u(0,0) (0,0) = lim = 1, h 0 h v(h,0) v(0,0) (0,0) = lim = 1, h 0 h u(0,h) u(0,0) (0,0) = lim = 1 h 0 h v(0,h) v(0,0) (0,0) = lim = 1, h 0 h

6 Anális Matmática IV 6 É ntão óbvio qu as condiçõs d Cauchy-Rimann s vrificam m (,y) = (0,0). (b) Por dfinição f f (z) f (0) 3 y 3 + i 3 +y 3 (0) = lim = lim +y +y z 0 z (,y) (0,0) + iy Fazndo z convrgir para 0 no io ral (o qu significa 0 y = 0), obtm-s f + i (0) = lim = 1 + i 0 nquanto qu, fazndo z convrgir para 0 na rcta {z C : Rz = Im} (o qu significa 0 y = ), obtm-s f i (0) = lim 0 + i = i 1 + i = 1 + i Como 1 + i 1+i conclui-s qu o limit não ist consquntmnt f não admit drivada m z = Mostr qu s f f são ambas intiras, ntão f é constant. S f (z) = f ( + iy) u(,y) + iv(,y) tm-s qu f (z) = u(,y) iv(,y). Dado qu f é intira, para todo (,y) R (,y) = (,y) (,y) = (,y) Por outro lado, dado qu f é intira, para todo (,y) R tm-s (,y) = (,y) Combinando as igualdads adquadamnt conclui-s qu ( ) (,y), (,y) = (0,0), (,y) = (,y) ( ) (,y), (,y) = (0,0) dond u v trão qu sr constants consquntmnt f é constant. 6. Establça as sguints idntidads (ond z = + iy): a) cos(iz) = cosh(z); b) sn(iz) = isnhz; c) cosz + snz = cosh y + snh y; d) cos z + sn z = 1; ) sn(z + w) = snz cosw + cosz snw; f) snz = sn coshy + icos snhy (a) Utilizando a dfinição d cosno complo (b) D modo análogo cos(iz) = i(iz) + i(iz) = z + z = coshz sn(iz) = i(iz) i(iz) i = i z z = isnhz

7 Anális Matmática IV 7 (c) Fazndo z = + iy obtmos cos( + iy) = coscos(iy) snsn(iy) plas aĺınas a) b) D igual forma Tm-s ntão qu cosz = coscoshy isnsnhy snz = sncoshy + icossnhy cosz + snz = (coscoshy) + (snsnhy) + (sncoshy) + (cossnhy) = cosh y + snh y (d) Mais uma vz utilizando a dfinição das funçõs trigonométricas complas ( cos z + sn iz + iz ) ( iz iz z = + i () snzcosw + coszsnw = ) 1 ( = iz + + iz + 1 ) 4 i (iz + iz ) = 1 = iz iz i iw + iw + iz + iz iw iw i = i(z+w) + i(z w) i( z+w) i(z+w) 4i = i(z+w) i(z+w) i = sn(z + w) = + i(z+w) i(z w) + i( z+w) i(z+w) 4i = 7. Mostr, utilizando as quaçõs d Cauchy-Rimann na forma polar, qu a função f (z) = z n, n N, é uma função intira, mostr qu f (z) = nz n 1. Utilizando a rprsntação trigonométrica, s z = ρ iθ, ntão f (z) = f (ρ iθ ) = ρ n inθ = ρ n cos(nθ)+ iρ n sn(nθ), como tal Tm-s ntão qu ρ = nρn 1 cos(nθ), ρ = nρn 1 sn(nθ), ρ = 1 ρ θ θ = nρ n sn(nθ) θ = nρn cos(nθ) = ρ θ ρ para todos ρ > 0 θ R. Dado qu as drivadas parciais ρ, ρ, 1 ρ θ 1 ρ θ são contínuas m ]0, [ [0,π] têm o msmo valor m θ = 0 θ = π, conclui-s qu z n, n N, é uma função anaĺıtica para todo z C\{0}. Como é contínua m z = 0, podmos concluir qu tambm é anaĺıtica nst ponto, sndo portanto uma função intira. Para z C f (z) = + i = ρ ρ + θ ρ + i( θ ρ + θ θ )

8 Anális Matmática IV 8 Atndndo a qu ρ = + y = cosθ, θ = y + y = snθ ρ obtm-s f (z) = nρ n 1( ) cos(nθ)cos θ + sn(nθ)sn θ i(sn(nθ)cosθ cos(nθ)snθ) = nρ n 1( ) cos(n 1)θ + isn(n 1)θ = nρ n 1 i(n 1)θ = nz n 1 8. Calcul o valor principal (i.., tomando na função log z o ângulo corrspondnt à rstrição principal) d: ( ) 1+i a) log( 1); b) log 1 i ; c) i i ; d) 1+i. (a) log( 1) = log(1 iπ ) = log1 + iπ = iπ (b) log 1 i = log( i π 4 ) = i π 4 (c) i i = log (i i) = ilogi = π ilog(1i ) = i(i π ) = π/ ( ) 1 + i 1+i 1+i (1+i)log ( ) (d) = = (1+i)i π 4 = π/4 (1 + i) 9. Dtrmin todas as soluçõs das sguints quaçõs: a) z = b) iz + iz + = 0 c) logz = 1 + πi d) sn(z) = 5 (a) z = z = log + kπi com k Z. (b) Multiplicando todos os trmos por iz, obtm-s com k Z. iz + iz + 1 = 0 ( iz + 1) = 0 iz = 1 (c) logz = 1 + πi z = 1+πi = z = 1 log( 1) = i(iπ(k + 1)) = (k + 1)π i Nota: log = 1 + πi, apnas com uma scolha adquada do ramo do logaritmo. (d) Pla dfinição d sno sn(z) = 5 iz iz multiplicando todos os trmos da quação por iz i = 5 Então 4iz 10i iz 1 = 0 iz = 10i ± 96 iz = log((5 ± 6)i) + kπi, k Z = (5 ± 6)i

9 Anális Matmática IV 9 Finalmnt, dado qu 5 ± 6 são ambos positivos, ou sja z = i ( log(5 ± 6) + i π ) + kπ, k Z z = π 4 + kπ i ( log(5 ± 6), k Z 10. Dfinindo mostr qu w = arcsinz ss snw = z arcsinz = ilog(iz + 1 z ). Por dfinição s w = arcsinz ntão z = snw, plo qu iw iw i = z iw iw iz = 0 Multiplicando todos os trmos da quação por iw obtm-s plo qu dond iw = iz + (iz) + 4 iw iz iw 1 = 0 = iz + 4z + 4 iw = log(iz + 1 z ) = iz + 1 z Not-s qu nst raciocínio, 1 z pod tomar um d dois valors qu difrm ntr si por um factor d -1; da msma forma o logaritmo pod tomar infinitos valors qu difrm ntr si pla soma d um múltiplo d πi. Dfinindo adquadamnt o ramo da função raíz quadrada da função logaritmo obtmos um ramo da função arcsn.