1 o Semestre 2018/2019 MEC

Transcrição

1 ACED Análise Complea e Equações Diferenciais o Semestre 208/209 MEC Conteúdo I. Números compleos, funções compleas II. Transformações conformes e diferenciabilidade de funções compleas III. Diferenciabilidade de funções compleas em coordenadas polares, séries de potências compleas, eponencial, logaritmo IV. Integrais de Funções Compleas, Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Cauch, Fórmula Integral de Cauch. 7 V. Séries de Talor e de Laurent, Teorema dos Resíduos VI. Esboço de campos de direções VII. Edo s escalares de primeira ordem VIII. Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes IX. Edo s escalares de primeira ordem, Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes X. Edo s lineares escalares de ordem superior a um XI. Séries de Fourier, equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace I. Números compleos, funções compleas. Escreva os seguintes números compleos na forma algébrica e representeos no plano de Argand: (i) (2+i)( i) = 3 i, (ii) i = +i 2, (iii) 2+i +i = 3 i 2, (iv) (2 3i) 2 = 5 2i, (v) ( 2i) 3 = +2i, (vi) i 8 = i. 2. Determine o módulo e o argumento dos seguintes números compleos e represente-os no plano de Argand: (i) 3 = 3(cos0+isen0), (ii) 2 = 2(cos π+isen π),

2 (iii) +i = 2 ( cos π 4 +isen π 4), (iv) 3 4i = 5 cos( arctan 4 3 )+isen( arctan 4 3 ), (v) i = 2 ( cos 5π 4 +isen 5π ) Verifique as seguintes propriedades do conjugado: (i) z = z. (ii) z+w = z+w, (iii) zw = z w, (iv) ( z w ) = z w. 4. Verifique as seguintes propriedades do módulo: (i) z = z. (ii) zw = z w, (iii) z w = z w, (iv) z+w z + w, (v) z w z w. 5. Calcule as raízes cúbicas de 8i e assinale-as no plano compleo. 6. Determineparaquevaloresde θ, pertencentesaointervalo π, π, se tem +cos θ+isen θ = Sejam z, z 2 e z 3 três números compleos de módulo unitário satisfazendo z +z 2 +z 3 = 0. Mostre que esses compleos são vértices de um triângulo equilátero. Sugestão: Comece por reduzir ao caso em que z = ; verifique que então z 2 e z 3 são conjugados; logo z 2 = 2 ± 3 2 i e z 3 = i. 8. Determine as soluções das seguintes equações: (i) ( z) 6 = (+z) 6. (ii) z+z 2 = 0. (iii) z 6 z 4 +z 2 = 0. (iv) +z+z 2 + +z 7 = Calcule e represente no plano de Argand: 2

3 (i) (ii) 3 i. 4. (iii) i. 0. Verifique se {( 3 z) 2 } = { 3 z 2 } para todo o z C.. (i) Determine a equação da reta que passa por e i. (ii) Determine a equação da circunferência que tem centro em e passa por i. (iii) Determine dois pontos da reta ( 2i)z+(+2i)z 2 = 0. (iv) Determine o centro e o raio da circunferência z 2 ( i)z (+i)z+ = Represente a imagem das duas retas e das duas circunferências por z z : i 2 i 4 i Calcule as imagens das regiões R pelas funções f: (i) R = {z C : z < 2, π/4 < argz < π/2}, f(z) = z 3. (ii) R = {z C : z < 2}, f(re(iθ)) = 3 re(iθ/3) com π < θ π. (iii) R = {z C : z < }, f(z) = z+. (iv) R = {z C : z < }, f(z) = z iz+. 3

4 (v) R = {z C : < Rz < 2, 0 < Iz <, z 2 > }, f(z) = z. (vi) R = {z C : Rz >,Iz < 0}, f(z) = z+i. 4. Sejam a e b números compleos. Prove usando compleos que ( ) z a R = 0 z b representa a equação de uma circunferência com diâmetro de etremidades em a e b. II. Transformações conformes e diferenciabilidade de funções compleas. Calcule as imagens das regiões R pelas funções f: (i) R = {z C : Rz > 0}, f(z) = z z+ de um semiplano num disco). (transformação conforme (ii) R = {z C : z < e Iz > 0}, f(z) = ( z z+) 2 (transformação conforme de um semidisco num semiplano). z+ (iii) R = C\{z = +i0 C :,}, f(z) = z (transformação conforme do complemento de um segmento de reta num semiplano). 2. Estude a diferenciabilidade de +i e (cos+isen). 3. Estude a diferenciabilidade da função f : C C, definida por f(+i) = ( 2 2 )+i(2+cos). 4. Estude a diferenciabilidade das funções z z 2, z z 2 z e z z z. 5. Estude a diferenciabilidade da função f : C C, definida por f(+i) = 3 (+) i. 4

5 6. Determineoconjunto dospontos ondeafunção f : C C, definida por f(+i) = (+)(cos+isen)+i( )(cos isen), é diferenciável. III. Diferenciabilidade de funções compleas em coordenadas polares, séries de potências compleas, eponencial, logaritmo. Usando a equação de Cauch-Riemann na forma polar, prove a diferenciabilidade e calcule a derivada de (i) z /z n com n N ; (ii) z n z onde n re iθ = n re iθ/n com π < θ π, onde n N. Esta função é diferenciável no eio real negativo? E em zero? 2. Estude a diferenciabilidade e calcule a derivada da função f : C C, definida por f(re iθ ) = r 2 +iθ para r > 0 e π < θ π, e por f(0) = Considere a função f : C\{0} C, definida por f(re iθ ) = (rlnr r 2 )e iθ. a) Estude a diferenciabilidade e calcule a derivada de f. b) Determine se f pode ser prolongada por continuidade à origem. Em caso afirmativo, estude a diferenciabilidade do prolongamento na origem. 4. Determine o raio de convergência de (i) n=0 zn, (ii) n=0 nzn, (iii) n=0 en z n, (iv) n=0 n!zn, (v) n=0 2n2 ( ) n z n, (vi) n= 2n n 3 z n. 5

6 5. Esboce a imagem de {z C : 0 < Rz <, 0 < Iz < π} por z e z. 6. Obtenha o desenvolvimento em série de potências de sen z. 7. Estude a diferenciabilidade de z log z, onde log(re iθ ) = lnr+iθ com π < θ π é o logaritmo principal. 8. Esboce a imagem de {z C : Rz < 0, z > } por z logz onde log designa o logaritmo principal. 9. Calcule (i) log( i), (ii) log( i), (iii) log ( i), (iv) i i. 0. Estabeleça as seguintes identidades (onde z C): (i) cos 2 z+sen 2 z =, (ii) cos(iz) = cosh(z), (iii) sen(iz) = isenhz, (iv) sen(z+w) = senz cosw +cosz senw. ( (v) sen ilog ( iz+ z 2)) = z.. Mostre que a função senz é ilimitada em qualquer reta não paralela ao eio real. 2. Resolva as seguintes equações: (i) e z =, (ii) log(i z) =, (iii) senz cosz = i. 6

7 IV. Integrais de Funções Compleas, Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Cauch, Fórmula Integral de Cauch. Calcule usando a definição (i) γzdz onde γ é o segmento de reta que une a 2+3i. (ii) γ z2 dz, onde γ é o arco de circunferência que une 3 a 2i e que passa por +2i. (iii) γ zdz onde γ é o troço de parábola {+i C : = 2 } com início em 0 e fim em +i. (iv) z =rargz dz, onde argz designa o argumento principal. 2. Calcule ao longo de uma curva no primeiro quadrante: (i) +i 2 zdz; (ii) i (+ z)dz, onde z designa a raiz principal; (iii) +iπ/2 0 e 2z dz; (iv) i z dz. 3. Justifique que (i) z z 0 esenw dw, (ii) z z 2 0 sen(w2 )dw, e (iii) z senz 0 e w2 dw são funções bem definidas. Calcule as suas derivadas. 4. Calcule (i) z = z dz; (ii) z = (iii) z =3 (iv) z =5 5. Calcule z (z 2) 2 (z+4) dz; z (z 2) 2 (z+4) dz; z (z 2) 2 (z+4) dz. 7

8 (i) z =2.5 (ii) z =2 (iii) z =2 (iv) z = (v) z =3π z 2 +5z+6 dz; (z+) n dz, n Z; e 2z (z+) n dz, n Z; (z 2 ) 2 dz; senz z dz. 6. Seja λ R e considere a função u(,) = 3 λ λ. (i) Determine para que valores de λ a função u é harmónica. (ii) Considere λ =. Determine uma função inteira f tal que f(0) = i e a parte real de f é u. (iii) Calcule o integral z = f(z) z 4 dz onde a circunferência é percorrida uma vez no sentido direto. 7. Seja f uma função inteira que satisfaz f(z) c(+ z 3 ) para determinado c em R +. O que pode afirmar quanto a f? Sugestão: Prove uma generalização do Teorema de Liouville. 8. Sejam a C e r > 0. Suponha f é inteira e que o seu contradomínio não intersecta a bola aberta de raio r centrada em a. Prove que f é constante. V. Séries de Talor e de Laurent, Teorema dos Resíduos. Calcule o desenvolvimento em série de Talor ou Laurent em torno do ponto zero, indicando a maior região onde é válido: (i) z z ; (ii) z +z ; (iii) z +z 2 ; (iv) z ( z) 2 ; 8

9 (v) z log(+z); (vi) z e z ; (vii) z senz; (viii) z cosz 3 ; (i) z e z. 2. Calcule o desenvolvimento em série de Talor ou Laurent em torno do ponto a, indicando a maior região onde é válido: (i) z z em torno de a; (ii) z z 2 em torno de a = ; r: n=0 (n+)( )n (z ) n para z < ; (iii) z 2z (z )(z 3) em torno de a = 2; (iv) z z 3 em torno de a = ; (v) z ez (z a) (vi) z z 2 5z+6 em torno de a; em torno de a = ; (vii) z log(z 2 +2z+2) em torno de a =. 3. Calcule (i) + (ii) + (iii) d = π 2 ; 2 ( 2 +) 2 d = π 2 ; 2 (+ 2 )(4+ 2 ) d = π 6. (iv) + d = 2π 3 ; sugestão: integre ao longo de um contorno 3 que contenha um terço de circunferência de raio R e dois segmentos de reta, de zero a R e de zero a Re i2π/3. 4. Calcule o desenvolvimento em série de Laurent da função f : C\ {,2} C, definida por f(z) = (z )(z 2) : (i) na região {z C : z < }; (ii) na região {z C : < z < 2}; (iii) na região {z C : 2 < z }. (iv) Calcule z =r f(z)dz para r = 2, 3 2 e

10 5. Em que regiões se pode desenvolver em série z 2+2i? Resposta: Em 4 regiões, z 4 +4 em torno de (i) z (2+2i) < 2, (ii) 2 < z (2+2i) < 0, (iii) 0 < z (2+2i) < 3 2, (iv) z (2+2i) > Calcule z 2 sen z = z dz, com a circunferência descrita no sentido direto. Classifique as singularidades da função integrada. 7. Seja f : C\{0,} C definida por f(z) = log( z), onde log designa o logaritmo principal. z 4 a) Desenvolva f em série de Laurent, em torno de 0. b) Calcule {z C: Rz < 2, Iz <2} f(z)dz, integrando e série de Laurent e usando a Fórmula Integral de Cauch. VI. Esboço de campos de direções. Esboce os campos de direções e os gráficos das soluções das seguintes equações diferenciais: (i) = ( 2 ), (ii) = 2 +, (iii) = cos( t), (iv) = t, (v) = +t t, (vi) = +t t, (vii) = 4 6t 3t. 2. Determine as curvas ortogonais às soluções de = e esboce-as. 0

11 3. Considere = 2. Esboce o campo de direções e os gráficos das soluções. Determine se as retas = e = são assímptotas dos gráficos das soluções ou se as soluções não constantes atingem os valores e. Discuta o problema da unicidade de solução. 4. Esboce o campo de direições de = 2. Determine todas as soluções com (0) = 0. Resposta: Seja c 0,+. Então { 0 se t c, (t) = (t c) 2 se t c, é solução do problema. 5. Esboce o campo de direções e os gráficos das soluções da equação diferencial = sen. Determine as curvas ortogonais aos gráficos das soluções. VII. Edo s escalares de primeira ordem. Determine a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial ( 0 ) = 0. (i) 2 = 2e 2. (ii) tan() = sen, com 0 = π 2 (iii) = e +. (iv) ++ 2 = 0, com 0 0 = 0. +kπ (k inteiro). (v) ( )+( ) = 0, com 0 = 0. (vi) e +(+e ) = 0, com 0 = e Considere a equação diferencial ( ) ( ) d d = 0 (i) Mostre que tem um fator integrante do tipo µ = µ(). (ii) Mostre que a solução com condição inicial ( ) = é dada implicitamente pela epressão =.

12 3. Determine a solução de 2 2 = ln que satisfaz (e) = e Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem 2t+ = 0. Verifique que 2t é fator integrante. Resolva a equação diferencial. VIII. Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Calcule a solução de X = AX, com X(0) = X 0, e esboce o retrato de fase dos sistemas: (i) A =. 4 4 (ii) A = Considere o sistema = 2 2 (i) Determine a solução que vale 0 0 em t = 0.. () (ii) Esboce o retrato de fase do sistema, tendo o cuidado de identificar o comportamento assimptótico das soluções quando t tende para +. Resposta: 2

13 Figura : Retrato de fase do sistema (). 3. Considere o sistema = (i) Determine a solução que vale Resposta: = 0 0 e 2t em t = 0. (ii) Esboce o retrato de fase do sistema. Resposta:. (2) e 3t 2. Figura 2: Retrato de fase do sistema (2). 3

14 4. Considere o sistema = 0 0 (i) Determine a solução que vale (ii) Esboce o retrato de fase do sistema. Resposta: 0 0 em t = 0.. (3) Figura 3: Retrato de fase do sistema (3). 5. Para cada uma das seguintes matrizes determine e At e esboce o retrato de fase do sistema X = AX: 0 4 (i) A = (ii) A =. 4 2 (iii) A = (iv) A = Seja A =

15 Mostre que e At = e t cosht 0 senht 0 0 senht 0 cosht. IX. Edo s escalares de primeira ordem, Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Considere a equação = t2 2 2t, com 0t 0 = 0. Seja v = t. Verifique que t2 2 2t = v2 2v e que = tv +v. Determine v e seguidamente. 2. Considere a equação diferencial ẏ = f(at+b+c) em que a,b,c são constantes reais e f : R R é uma função contínua. a) Mostrequeasubstituição v = at+b+c, transformaaequação numa equação separável. b) Resolva o problema de valor inicial ẏ = e 2t+ 2, (0) =. 3. Calcule as duas primeiras iteradas de Picard para = t com (0) = Considere o problema de valor inicial { = tan, (0) = π 4. Tomando como iterada de Picard de ordem zero 0 (t) π 4, calcule (t) e 2 (t). Qual o domínio de 2? 5. Considere a equação diferencial d d =

16 a) Mostre que esta equação tem um fator integrante µ = µ(). b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial () =. 6. Considere a matriz A =. (i) Calcule e At. (ii) Calcule a solução de = A (0),com (0) = 0 0. (iii) Em termos de coordenadas polares, = rcos θ e = rsen θ, verifique que o sistema da alínea b) pode ser escrito r = r e θ =, ou seja, dr dθ = r. Resolva para r em função de θ. X. Edo s lineares escalares de ordem superior a um. Determine as soluções de (i) = 0. (ii) 3 4 = 0, (0) =, (0) = 0. (iii) + = 0. (iv) 2 +5 = 0. (v) +2 + = Determine as soluções de (i) 5 +6 = e t. (ii) 5 +6 = e 2t. (iii) 5 +6 = t+te t +. (iv) 5 +6 = sen(t). (v) 5 +6 = sen 2 (t) = 2 ( cos(2t)). (vi) + 6 = sent+te 2t. (vii) 5 +6 = te 2t sen(3t). 6

17 XI. Séries de Fourier, equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace. Determine a série de Fourier da função f no intervalo especificado: (i) f() = ;. (ii) f() = 2 ; π. 2. Seja g : 0, π R, definida por g(s) = sens. Determineaepansão de g em série de cossenos. Nota: 2senscos(ns) = sen((n+)s) sen((n )s). 3. Determine os valores próprios e as funções próprias do operador D 2 definido no espaço { C 2 0,l : (0) = 0 e (l) = 0}. 4. Determine a solução de u t = 9u para (,t) 0, 0,+, u (0,t) = 0, u (,t) = 0 para t 0,+, u(,0) = 3cos(2π) 5cos(4π) para 0,. 5. Determine a solução de u(,) = u +u = 0 para (,) 0,a 0,b, u(0,) = 0 para 0,b, u(a,) = 0 para 0,b, u(,0) = 0 para 0,a, u(,b) = f() para 0,a. 6. Resolva o problema u t = u +e t sen para (,t) 0, π 0,+, u(0,t) = u(π,t) = 0 para t 0,+, u(,0) = u 0 () para 0, π. 7. Determine a solução de u t = u +u para (,t) 0,0 0,+, u(0,t) = u(0,t) = 0 para t 0,+, u(,0) = 3sen(2π) 7sen(4π) para 0,0. 7

18 8. Determine a solução de u tt = c 2 u para (,t) 0,l 0,+, u (0,t) = u (l,t) = 0 para t 0,+, u(,0) = f(), u t (,0) = g() para 0,l. no caso (i) f() = cos ( 4π l ) ( e g() = cos 6π ) l. (ii) f C 3, g C 2, f (0) = g (0) = f (l) = g (l) = 0. 8