NÚMEROS COMPLEXOS. 3) (UFRGS) O valor de x que torna o número complexo m = 2 + (x-i) (2-2i) um imaginário puro é

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Renata Dreer Valente
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1 NÚMEROS COMPLEXOS ) (UFRGS) A raiz x da equação a x - b=0, para a=+i e b=-i, é (a) -0,5 - i (b) -0,5 + i (c) 0,5 - i (d) 0,5 + i (e) - - i ) (UFRGS) A forma a + bi de z = ( + i) / ( - i) é (a) / + 3/ i (b) -/ + 3/ i (c) -/ + /3 i (d) -/ - /3 i (e) / - 3/ i 3) (UFRGS) O valor de x que torna o número complexo m = + (x-i) (-i) um imaginário puro é (a) - (b) - (c) 0 (d) i (e) 4) (UFPA) Qual o valor de m para que o produto (+mi) (3+mi) seja um imaginário puro? (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 0

2 5) (PUC) O número complexo ( a) ( b) ( c) ( d) ( e) 8i 8 i i i i i i é igual a 6) (FCMSC) Se z = a+bi, com ar e br*, então (a) z + z não é um número real (b) z - z não é um número real (c) z. z não é um número real (d) z / z é número real (e) z é número real 7) Sendo z um número complexo, podemos afirmar que (a) z. z é sempre um número real (b) /z nunca poderá ser igual a - z (c) z nunca é negativo (d) z nunca poderá ser igual a z (e) z 4 = z 8 apenas para z = 0 ou z =

3 8) (UFRGS) Se z = a + bi com b 0, a alternativa FALSA é (a) z + z é um número real. (b) z. z é um número real. (c) z - z não é um número real. (d) z + z é um número real. (e) z = a + b 9) (UFRGS) Se p(z) é um polinômio de coeficientes reais e p(i) = i, então p(-i) vale (a) +i (b) + i (c) - i (d) + i (e) i 0) (UFRGS) Considere Z = -3 - i e Z =4 - i. A representação trigonométrica de z z é (a) (cos /4 + i sen /4) (b) (cos /4 + i sen /4) (c) (cos 3/4 + i sen 3/4) (d) (cos 7/4 + i sen 7/4) (e) (cos 7/4 + i sen 7/4) ) O valor de (+i) 0 é (a) (b) i (c) 3 (d) 3i (e) 04i 3

4 ) A forma trigonométrica do número complexo z=(/- i/) - é (a) 0,5 (cos(60 o ) + i sen(60 o )) (b) (cos(60 o ) + i sen(60 o )) (c) (cos(45 o ) + i sen(45 o )) (d) (cos(45 o ) + i sen(45 o )) (e) 0,5 (cos(45 o ) + i sen(45 o )) 3) A região sombreada na figura representa o conjunto de todo z = r (cos() +i sen()) tal que 45 0 (a) 0 r e 3/4 5/4 (b) - r e -/4 /4 (c) 0 r e -/4 3/4 (d) - r e -/4 3/4 (e) 0 r e -/4 /4 4) (UFRGS) Se Z=3+i e Z =3+3i, então Z Z tem módulo e argumento, respectivamente, iguais a (a) 3 e 30 (b) 3 e 30 (c) 3 e 60 (d) 43 e 30 (e) 43 e 60 4

5 5) (UM) Se z=cos 6 + i sen 6, então z 5 é igual a (a) / (b) i (c) (d) (e) 3 6) (PUC) Seja z um número complexo cujo afixo P está representando abaixo no plano Argand-Gauss. A forma trigonométrica do número z é y (a) 3 (cos 50 + i sen 50 ) P 3/ (b) 3 (cos 30 + i sen 30 ) x -3/ (c) 3 (-cos 50 + i sen 50 ) (d) 3 (cos 0 + i sen 0 ) (e) 3 (-cos 60 + i sen 60 ) 3 n 7) (CESGRANRIO) O menor n > 0, de modo que ( i) seja real positivo, é (a) (b) 3 (c) 4 (d) 8 (e) 8) (PUC) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, z e z no plano Argand- Gauss são os vértices de um triângulo equilátero, então a medida do segmento que une as imagens de z e z é (a) z (b) z (c) z (d) Re(z) (e) Im(z) 5

6 9) (FURG) As raízes da equação polinomial z 3 =0 determinam, no plano complexo, um triângulo. Qual a área desse triângulo? (a) 33/4 (b) 33/ (c) 33 (d) 35 (e) 0) Sabendo que e i = cos() + i sen(), e i + vale (a) 0 (b) (c) (d) i (e) i ) Um possível logaritmo natural de um número complexo z é ln(z)= i + ln(r), onde r e é o módulo e o argumento de z. Um possível valor para ln(-) é (a) i (b) i (c) i (d) i (e) i/ ) (UFRGS) ( + i) 5 é igual a (a) 64( + i) (b) 8( i) (c) 8(- i) (d) 56(- + i) (e) 56( + i) 6

7 3) (UFGRS/006) Sendo z um número complexo e z o seu conjugado, a representação geométrica do conjunto solução da equação z = z - é (a) um segmento de reta. (b) uma reta. (c) um arco de círculo. (d) um círculo. (e) uma parábola. 4) (UFRGS) Se u é um número complexo, as representações gráficas de u e iu podem ser (a) (b) (c) (d) (e) 7

8 5) (FFFCMPA/006) No gráfico abaixo, os pontos A, B, C são vértices de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio cujo centro está na origem do sistema de coordenadas. Identificando A, B, C com números complexos z, w, t, nesta ordem, examine as sentenças abaixo. I - z, w, t são raízes de. II - w, t são números complexos conjugados. III - z, w, t têm o mesmo módulo. B A Quais são verdadeiras? C (a) Apenas I (b) Apenas II (c) Apenas III (d) Apenas II e III (e) I, II e III 8

9 RESOLUÇÃO ) a x - b = 0, para a = + i e b = - i. a x=b b i i i i ( i) i 4i 4i x i a ( i) i ( i) i i i i ,5 ( i) ( i) i i 3i 3 ) i ( i) ( i) i i 3) m = +(x-i) (-i) = +(x-xi-i-) = x-xi-i = x-(x+)i. Em m=x-(x+)i, a parte real é a=x e a parte imaginária é b=-(x+). Para ser imaginário puro, a=x=0 e b=-(x+) 0. Para x=0, temos que a=0 e b=- 0, sendo a+bi imaginário puro. 4) (+mi) (3+mi)=6+mi+3mi-m = 6-m +5mi Parte real a=6-m, parte imaginária b=5m. Para ser imaginário puro, a=6-m =0 e b=5m 0. Se 6-m =0, então 6=m, m=± 6. Se 5m 0, então m 0. Logo, m=± 6 5) i 6 4i 6 4i 4 i 4 i 4 i 6 4i 4i 7 i i i i i i i i 6 4i i (6 4i) 7i 3 8i 7i 3 5i ( ) 4 i i i 6 5 i

10 Outro modo: 4 4i (4 i) 8i 4 i 4 9i 4 9i 8i 8 3i 8i 7 4 i i (4 i) i 8i 8i 8i 8i 4 6i 6i i i i ) Seja z=a+bi. (a) Falso: z + z =(a+bi)+(a-bi)=a, que é um número real. (b) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=bi, que nunca é um número real, pois b 0. (c) Falso: z. z =(a+bi)(a-bi)=a -abi+abi+b =a +b, que é um número real. a bi a bi a bi a abi b a abi b (d) Falso: z /z = a bi a bi a bi a abi abi b a b, que não é número real. (e) Falso: z =zz=(a+bi)(a+bi)=a +abi+abi+b =a +b +abi, que pode ser não real. 7) Seja z=a+bi. (a) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a -abi+abi+b =a +b, que é sempre um número real. (b) Falso: /i = -i. Logo, pode ocorrer que /z seja igual a - z. (c) Falso: i =-. Logo pode ocorrer que z seja negativo. (d) Falso: Se z=+0.i, então z=-0.i. Assim, z=z. (e) Falso: i 4 = e i 8 =. Logo, pode ocorre que z 4 = z 8 para z 0 e z. 8) Seja z = a + bi com b 0. (a) Verdade: z + z =(a+bi)+(a-bi)=a, que é um número real. (b) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a -abi+abi+b =a +b, que é sempre um número real. (c) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=bi, que nunca é um número real, pois b 0. (d) Falsa: z + z =(a+bi)+(a+bi) = a+bi = a-bi, que não é um número real, pois b 0. (e) Verdade: b r r =a +b r= z = a b a 0

11 9) O polinômio p(z) poderá ser definido por p(z)=-z, pois, neste caso, ocorrerá que p(i)=-i. Sendo p(z)=-z, temos que p(-i)=-(-i)=+i. 0) z +z = (-3+i)+(4-i)=+i. r ) r= e =45. z= (cos(45)+isen(45). z= (cos(/4)+isen(/4). ) Em z=+i, a= e b=. r ) r= e =45. z= (cos(45)+isen(45). z 0 =( ) 0 (cos(045)+isen(045)) z 0 =( ) 0 (cos(450)+isen(450)) z 0 = ( ) 0 (0+i) = ( ) 0 i = ( / ) 0 i = 5 i = 3i. ) i (0,5 0,5i) (0,5 0,5i) 0,5 0,5i 0,5 0,5i (0,5 0,5i) (0,5 0,5i) 0,5 0,5 0,5 0,5i i 0,5 Em z=+i, a= e b=. r = + = r= r ) =45 z= (cos(45) + i sen(45)) 3) z 45 0 z z i )-45 0 z Qualquer complexo z na região sombreada tem o seu módulo r variando de zero a. Logo, 0 r. O menor argumento é o do complexo z e o maior é do z. Logo, Ou seja, -/4 3/4.

12 4) z z = ( 3+i) (3+ 3i) = 3 3+3i+3i- 3 = 3+6i Em z z = 3+6i, a= 3 e b=6. 6 r ) ) z=(cos(6)+isen(6)) z 5 = 5 (cos(56) + isen(56)) z 5 = cos(90) + isen(90) z 5 = 0+i= i r = ( 3) +6 = +36 = 48 r= 48 =4 3 6) r = ( 3/) + (-3/) = 3/4+9/4 = /4 = 3. r= 3 sen(α)= Logo, α= / -3/ 3/ r ( Se α=30, então =50. Logo, z= 3(cos(50)+isen(50). 3 7) Em i, a= 3/ e b=/. r = ( 3/) + (/) = 3/4+/4 = r=. / sen() = /. Logo, =30. r ) / z=((cos(30)+isen(30)). z n = ( n )( cos(n30)+isen(n30)) = cos(n30)+isen(n30) Para ser real, sen(n30) tem que ser zero. O menor valor positivo para n de forma que sen(n30) seja zero é, uma vez que sen(30)=sen(360)=0.

13 8) Seja z=a+bi. Logo, z=a-bi. A medida do segmento que une z e z é o lado l do triângulo. Como o triângulo é equilátero, l é o módulo de z b z -b b a b z l 9) z 3 = z 3 {z, z, z 3 } Uma raiz cúbica de é. Seja z =. z, z, z 3 definem 3 vetores simétricos em um círculo centrado na origem e raio. Devido à simetria, o ângulo entre os vetores é de 0. No triângulo sombreado, temos: z z / sen (60) 3 A z 3 0) Se e i = cos() + isen(), então e i = cos() + isen(). e i =- + i0 = -. e i = - e i + = 0 ) O número complexo - tem argumento e módulo : ln(z)= i + ln(r) ln(-)=i + ln() ln( ) e log () 0 - Logo, um possível valor para ln(-) é i. 3

14 ) ( + i) = (cos(45 )+isen(45 )) ( + i) 5 = () 5 (cos(45 5) + isen(45 5)) 45 = () 5 (cos(675 ) + isen(675 )) = () 5 (cos(35 ) + isen(35 )) = () 5 (cos(45 ) - isen(45 )) 5 6 = 7 7 i i i i 8 8i ) _ z z z z z z z=a+bi (a+bi) (a-bi)= a - abi + abi +b = a + b =, que á a equação de um círculo no plano complexo, centrada em (0, 0) e raio. b a 4) i tem módulo e argumento 90. i i = (cos(90) + isen(90) i u tem módulo r = r e argumento 90+. Logo, u e i u tem mesmo módulo e formam um ângulo de 90. Os únicos possíveis são as representações da alternativa (a) iu u 4

15 5) (I) z, w, t são raízes de : Verdade. As raízes cúbicas de são os complexos z=, w, t, cujas representações no plano complexo são vetores que formam um ângulo de 0º entre si, conforme o desenho. (II) w, t são números complexos conjugados: Verdade. Conforme a figura, w=a+bi e t=a+bi. (III) z, w, t têm o mesmo módulo: Verdade As raízes cúbicas de são os complexos z=, w, t, cujas representações no plano complexo são vetores de módulo, raios do círculo. B b a w t z A C -b 5

16 GABARITO ) A ) B 3) C 4) B 5) E 6) B 7) A 8) D 9) B 0) B ) D ) C 3) C 4) E 5) B 6) A 7) E 8) C 9) A 0) A ) C ) B 3) D 4) A 5) E 6

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