x y 7z 32 (3) a) Preencha a tabela abaixo, que fornece a pontuação de cada jogador ao fim de cada fase, em função do número inicial de pontos xy, e z.

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1 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Três amigos, André, Bernardo arlos, reúnem-se para disputar um jogo. O objetivo do jogo é cada jogador acumular pontos, retirando pontos dos oponentes. No início do jogo, André possui x pontos, Bernardo possui y pontos arlos possui z pontos. Ao final da ª fase do jogo, André perdeu a soma de pontos que Bernardo arlos possuíam no início do jogo, enquanto que Bernardo arlos dobraram os pontos que tinham no início. Ao final da ª fase, Bernardo perdeu a soma de pontos que André arlos tinham no final da ª fase, enquanto que André arlos dobraram os pontos que tinham no final da ª fase. Ao final da 3ª e última fase, André e Bernardo dobraram os pontos que tinham no final da ª fase, enquanto quarlos perdeu a soma dos pontos que André e Bernardo tinham no final da ª fase. A pontuação final, após o término do jogo, mostra um empate, em que André, Bernardo arlos possuem 3pontos cada. a) Preencha a tabela abaixo, que fornece a pontuação de cada jogador ao fim de cada fase, em função do número inicial de pontos xy, e z. ANDRÉ BERNARDO CARLOS Pontuação inicial x y z Pontuação ao final da ª fase x y z y z Pontuação ao final da ª fase x y z x 3y z z Pontuação ao final da 3ª fase x y z x 6y z x y 7z b) Determine a quantidade inicial de pontos de cada jogador. A partir da última linha da tabela, obtemos o seguinte sistema: x y z 3 x 6y z 3 x y 7z 3 que é equivalente ao sistema: x y z 8 () x 3y z 6 () x y 7z 3 (3) Somando () e () obtemos: y z (). Somando () e (3) obtemos: y 3z 0 (5). Somando () e (5) obtemos: z 6. Substituindo z 6 em () obtemos: y 8. Por fim, substituindo os valores de y e z encontrados em (), por exemplo, obtemos: x 5.

2 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Considere a equação polinomial equação são números naturais consecutivos: 3 x 9x 6x h 0, onde h IR. Sabendo que as raízes dessa a) Determine as raízes da equação. Sejam n, n, n as raízes da equação. Pelas Relações de Girard temos que: ( 9) n ( n ) ( n ) 9. Logo: 3n 3 9 n. Portanto, as raízes são:,3 e. b) Calcule o valor do termo independente h na equação. Usando novamente as Relações de Girard temos que: h n( n )( n ) 3. O que fornece: h.

3 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA n n Questão 3 Seja p( x) anx an x... ax ax a0 um polinômio de grau n com coeficientes reais. Sejam z a bi um número complexo e z a bi o conjugado de z, onde a, b IR. a) Verifique que o polinômio q x x z x z é um trinômio do º grau com coeficientes reais. Temos que: q x x z x z ( x ( a bi))( x ( a bi )) x a bi x a bi x a bi a bi ( ) ( ) ( )( ) x ax bix ax bix a abi abi ( bi ). Sendo i, segue que: q( x) x ax ( a b ). Logo qx ( ) é um trinômio do grau, cujos coeficientes são números reais. b) Sabendo que se pz ( ) 0, então pz ( ) 0, justifique a seguinte afirmação: todo polinômio de grau n >, com coeficientes reais, sempre pode ser escrito como um produto de binômios lineares e/ou trinômios de o grau com coeficientes reais. Sejam r, r,..., r p raízes reais e z, z, z, z,..., zq, z q raízes complexas de px ( ). Então, px ( ) pode ser escrito da seguinte forma: p( x) a ( x r )( x r )...( x r )( x z )( x z )( x z )( x z )...( x z )( x z ). n p q q Do item ( a ) temos que os produtos ( x z )( x z ), i,,..., q, são trinômios do grau com coeficientes i i reais. Logo, se px ( ) possuir apenas raízes reais, esse polinômio será escrito como produto somente de binômios lineares. Se px ( ) possuir somente raízes complexas, esse polinômio será escrito como produto apenas de trinômios do grau com coeficientes reais. Por fim, se px ( ) possuir raízes reais e complexas, então esse polinômio será escrito como produto de binômios lineares e trinômios do grau com coeficientes reais. 3

4 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Dados os pontos A (0,5) e B (0,3) do plano cartesiano, encontre as coordenadas do ponto P, localizado no eixo x, de modo que a soma AP PB seja mínima. Considere o ponto B (0, 3), conforme figura abaixo: y A B O P Q x B Como os triângulos retângulos PBQ e BQ tem a mesma medida, segue que PBQ são congruentes, pois o lado PQ é comum, os lados BQ e PB Logo, P fica determinado pela interseção da reta que une os pontos A e B com o eixo x. 3 5 A equação da reta que une os pontos A e B é definida por: y 5 ( x 0) ou y A abscissa do ponto P pode ser obtida fazendo y 0. Assim obtemos: x. 5 Portanto: P,0. PB. 5 x. 5

5 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão 5 Considere as circunferências C dadas a seguir: a) Determine o centro e o raio d. C : x y 5 C x y x : y 0 A equação de uma circunferência de centro 0 0 C ( x, y ) e raio r é dada por: ( x x ) ( y y ) r. 0 0 Comparando com a equação d, concluímos que o centro d é o ponto (,) e o seu raio é igual a 5. Completando quadrados na equação d obtemos: ( x x 36) 36 ( y y ) 0 ( x 6) ( y ) 5. Logo, o centro d é o ponto (6,) e o seu raio é igual a 5. b) Determine as interseções d. Temos que: ( x ) ( y ) 5 ( x 6) ( y ) 5 ( x ) ( y ) ( x 6) ( y ) x x x x 36 0x 35 x Substituindo o valor de x na equação d, obtemos y e y 5 3. Logo, as interseções d são: 7 5 3, e 7 5 3,. 5

6 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA c) Calcule a área do quadrilátero obtido, ligando-se os centros e as interseções d. O quadrilátero, mostrado na figura abaixo, pode ser decomposto em dois triângulos equiláteros congruentes. Assim, a área A do quadrilátero será dada por: sendo Logo, A A T, A T a área de um dos triângulos equiláteros, cujo lado é l 5. A l 3 l u. a. 6