MATEMÁTICA II. Aula 14. 4º Bimestre. Números Complexos Professor Luciano Nóbrega

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1 1 MATEMÁTICA II Aula 14 Números Complexos Professor Luciano Nóbrega 4º Bimestre

2 2 INTRODUÇÃO Vamos relembrar os Conjuntos Numéricos: N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3,...} Criado para representar a contagem. Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Criado para responder questões, tais como 3 8 =? Q: conjunto dos números racionais: {x x = a/b ; a, b Z, b 0} Criado para responder questões, tais como 3 : 8 =? I: conjunto dos números irracionais: {x x Q} Criado para responder questões, tais como 3 =? R: conjunto dos números reais: {x x (Q I)} Criado para unir os conjuntos Q e R Acreditou-se durante muito tempo que o conjunto dos números reais era suficiente para satisfazer todas as situações. Mas, algo continuava em aberto, como por exemplo: Qual a solução da equação x = 0? Coube a Gauss a ideia de fazer i = 1, implicando em i 2 = 1 1 Resolva as equações: a) x 2 2x 5 0 b) x 2 4x 5 0 GABARITO: 1) a) x = i e x = 1 2.i b) x = 2 i e x = 2 + i

3 GABARITO: 2) a) 1 + 4i b) 5 5i c) 8 + 6i d) 5 12i 3) a) 1 /2 b) 5 /3 4) a) 2 b) i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1,... c) 2i, 4, 16, 1024, i 3 DEFINIÇÃO Um número complexo z é um número escrito na forma z = a + b.i, onde a e b são números reais e i = 1. Onde: a é a parte real; b é a parte imaginária. 2 Dados os números complexos z = 1 + 3i e w = 2 + i, calcule as operações indicadas: a) z + w b) z.w c) z 2 d) (z w) 2 3 Determine os valores de x, para que o número complexo dado seja: a) imaginário puro com z = (1 2x) + 3i b) real com z = 6 (3x 5).i 4 Efetue as operações indicadas: a) (1 + i).(1 i) b) i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, i 9, i 10, i 11, i 12, i 23, i 32, i 77, i 2010 c) (i + 1) 2, (i + 1) 4, (i + 1) 8, (i + 1) 20, (i + 1) 21 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Seja z = a + b.i, então definimos como conjugado de z, o número complexo w = a b.i onde as partes reais são iguais e as partes imaginárias são simétricas. 5 Determine o conjugado dos seguintes números complexos: a) z = 6 + 5i b) z = ½ + ¾i c) z = 3. i 2 d) z = 2i

4 4 PROPRIEDADES DO CONJUGADO Seja z = a + b.i um número complexo e w = a b.i o conjugado de z, então: P1) z.w = a 2 + b 2 P2) z = w se, e somente se, z for um número real puro. P3) O conjugado da soma é igual a soma dos conjugados. P4) O conjugado de um produto é igual ao produto dos conjugados. 6 ( ACAFE - SC ) Se z = i é um número complexo, então w = z + z i é: a) 4 i b) 4-4 i c) i d) i e) 4 7 ( OSEC - SP ) Se f(z) = z 2 z + 1 então f ( 1 i ) é igual a: a) i + 1 b) i 1 d) 2i 1 d) i + 1 e) i 8 ( FATEC - SP ) Se o número complexo z é então z 2 é: a) b) c) d) 1 e) -1 9 ( UNIMAR - SP ) A forma mais simples do número complexo é: a) i b) 1 i c) 1 + i d) 1 + i e) 0 10 ( UFRN ) Se z = 4 + 2i, então vale: a) 6 + i b) 1 + 8i c) 8 + 8i d) 1 8i e) i 11 (UFRN) Considere os números complexos Se, então é correto afirmar que: a) w= 10 6i b) w= 8 6i c) w=-8+6i d) w=10+6i

5 GABARITO: 14) a) 13 b) 3 c) 5 d) 2 /3 e) 7 f) PLANO COMPLEXO (ou de Argand Gauss) Da mesma forma como a cada ponto da reta real está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto (x, y) do plano ao número complexo x + y.i. Esta associação conduz a duas formas de representar um número complexo: Forma Cartesiana z = x + y.i ; Forma Polar z = r.(cos Θ + i. sen Θ) 12 Represente geometricamente os números complexos abaixo: A = 3 2i B = 5 C = 2i D = 2 + 5i E = (3, 2) F = 2 + i G = 2 + i H = 2 i I = 2 i J = ( 2, 1) 13 Efetue algebricamente e geometricamente a adição dos números complexos: a) Z 1 = 1 + 2i e Z 2 = 4 + i. b) Z 1 = 2 + 3i e Z 2 = 1 + 2i. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Por definição, dizemos que módulo de z é o seguinte número positivo ou nulo: 14 Determine o módulo dos seguintes números complexos: a) i b) 3.i c) 1 2.i d) 2 / 3 e) 7 f) 0

6 6 FORMA TRIGONOMÉTRICA (OU POLAR) DE UM NÚMERO COMPLEXO Observe a figura abaixo: Determine: cos a = sen a = Isolando a e b, temos: Substituindo na forma algébrica, z = a + b.i, temos: Portanto a forma trigonométrica de um número complexo é: EXEMPLO: Determine a forma trigonométrica de z = 1 + i. 3 1º) a = 1 b = 3 2º) z = [1 2 + ( 3) 2 ] z = 2 3º) cos  = 1 / 2 sen  = 3 / 2  = 30º 15 Determine a forma trigonométrica dos seguintes números complexos: a) 1 + i b) 2.i c) 3 16 Determine a forma algébrica dos seguintes números complexos: a) 2.( cos П / 4 + i.sen П / 4 ) b) 8.( cos 7П / 6 + i.sen 7П / 6 ) 4º) Usando a fórmula: z=2.( cos П / 3 + i.sen П / 3 ) GABARITO: 15) a) 2.(cos 3П /4 + i. sen 3П /4 b) 2.(cos П /2 + i. Sen П /2 c) 3.(cos П + i. Sen П 16) a) 2 + i. 2 b) 4 3 4i

7 GABARITO: 17) 128(cos 7П /4 + i.sen 7П /4) e 64 2 i ) a) 2 2i b) i c) 64 2 i ª FÓRMULA DE De Moivre Observe: z = z.( cos a + i.sen a) Como: cos 2a = cos 2 a sen 2 a sen 2a = 2.sen a.cos a Generalizando: z n.( = z n.( cos na + i. sen na) 17 Dado o número complexo z = 2.( cos П / 4 + i.sen П / 4 ) determine z 7 utilizando a fórmula de De Moivre, em seguida, represente-o na forma algébrica. 18 Calcule, utilizando a fórmula de De Moivre, para isso, inicialmente, represente na forma trigonométrica: a) (1 i) 10 b) (3 3.i) 5 c) ( 2 + i. 2) 7 d) (1 i) 3

8 8 2ª FÓRMULA DE De Moivre Sejam z = z.( cos a + i.sen a) e w = w.( cos b + i.sen b), tais que: w n = z w n = z w = z 1/n Portanto: w = z 1/n.[cos ( a + 2kП / n ) + i. sen ( a + 2kП / n )] 19 Determine as raízes cúbicas de i, para isso, siga o procedimento: 1º) Determine a, b e z ; 2º) Determine cos Â, sen  e Â; 3º) Escreva z = i na forma trigonométrica; 4º) Utilize a 2ª fórmula de De Moivre ; 5º) Atribua os valores para k = 1; k = 2; e k = 3 e escreva as raízes na forma algébrica. 20 (UFCE) Sendo z 1 = 7 2i e z 2 = 3 + 5i, então z 1 + z 2 vale: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 GABARITO: 19) i, ( 3 i) /2 e ( 3 i) / 2

9 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 21 ( UEL - PR ) Na figura ao lado, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss.Nessas condições, o módulo de z é igual a: A) 5 B) 2 5 C) 3 5 D) 10 E) 5 22 ( UEPG - PR ) A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é dada por: 9 23 (Mack-SP) Sendo z 1 = 4 + 2i e z 2 = 1 2i, então é igual a: a)5 b) 5 c) 3 5 d)10 e) Determine as raízes quartas de z = 1 + i. Para isso, siga o procedimento: 1º) Determine a, b e z ; 2º) Determine cos Â, sen  e Â; 3º) Escreva z na forma trigonométrica; 4º) Utilize a 2ª fórmula de De Moivre ; 5º) Atribua os valores para k = 1; k = 2; k = 3 e k = 4 escreva as raízes na forma algébrica. 25 Determine as raízes quartas dos seguintes números complexos: a) 1 b) 1 i. 3 c) i

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