Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas _ TADS. Aula 2 Limites. Professor Luciano Nóbrega

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1 Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas _ TADS Aula 2 Limites Professor Luciano Nóbrega

2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO 2 2,5,9 Inicialmente, vamos analisar o comportamento da função f definida por f() = + para valores de próimos de 2, ou seja, quando tende à 2. =+ Mas nem sempre podemos, simplesmente, =+ substituir diretamente o valor de. 3 Vejamos esse outro eemplo,99 2,5 2, 2,0 2 2,5 2,9 2,99 4 3,5 3, 3,0 Se substituirmos por 3, teremos uma indeterminação. Para obtermos o resultado esperado, devemos fatorar a epressão.

3 3 3 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO DEFINIÇÃO Dizemos que uma função f() tem limite L quando se aproima de um número a, se f() se aproima de L sempre que se aproima de a, mas tendo o cuidado de ser diferente de a. Quando tende à p, tende à L Aqui, f() está definida em p e eiste L, mas f(p) L Quando tende à p, tende à L Aqui, f() não está definida em p, mas eiste L Aqui, eiste L= f(p) Aqui, NÃO eiste L

4 PROPRIEDADES DOS LIMITES 4 4 Sejam lim f () = L e lim g () = L 2, então: a a P) O limite de uma constante k é igual à própria constante. l P2) O limite de uma soma é igual à soma dos limites: P3) O limite do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pelo limite da função: P4) O limite de um produto é igual ao produto dos limites:

5 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 Calcule os seguintes limites: a) lim ³ 2 g) lim b) lim ( 3 4) 2 c) lim ² d) lim (² 6) 3 e) lim 4² /2 2 f) lim 4 h) lim (5² 4) 0 i) lim Calcule lim f (+h) f () sendo f dada por: h 0 h a) f() = ² b) f() = 3²+ c) f() = ³ d) f() = + e) f() = GABARITO: 7) a) 8 b) 2 c) 0 d) 7 e) 2 f) 2 g) 3 / 6 h) 5 2 i) 3 8) a) 2 b) 6 + c) 3 2 d) e) 0

6 lim f () = M p+ M LIMITES LATERAIS Dessa forma, o número L, denomina-se limite lateral à esquerda. Analogamente, o número M, denomina-se limite lateral à direita. Nesse eemplo, como podemos perceber, o limite lateral à esquerda L é diferente do limite lateral à direita M, então dizemos que não eiste o limite quando tende à p. lim f () = L p PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Se os limites laterais forem iguais a L, então a função tem limite L. EXEMPLO: Calcule lim f () e lim f (), sendo f () = ², se > 3 2, se < 3 EXEMPLO: ² +, para < 2 Seja f (X) = 3, para = 2, calcule: 9 ², para > 2 a) lim f () b) lim f () c) lim f () 2 6

7 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 9 Calcule os limites. Se não eistir, justifique: a) lim - + d) lim f() f(), onde f() = +, se , se < b) lim c) lim - - e) lim f() f(), onde f() = +, se - 2, se < f) lim f() f(), onde f() = +, se - 2, se < g) lim g() g(2), onde g() =, se /2, se < GABARITO: 9) a) b) c) d) e) 2 f) NÃO EXISTE g) NÃO EXISTE

8 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 20 Seja f() a função definida pelo gráfico ao lado, determine: a) lim f() b) lim f() + - c) lim f() d) lim f() 2+ e) lim f() f) lim f() Seja f() a função definida pelo gráfico ao lado, determine: a) lim f() 3+ b) lim f() 3- c) lim f() 3 3-2,5 5,

9 LIMITES INFINITOS 9 9 O Paradoo da Dicotomia O argumento desse paradoo consiste basicamente na idéia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim. Noção intuitiva Seja a função f() = / = / 0,5 0,2 0, 0,0 0, = / = / 0,5 0,2 0, 0,0 0,00 0 = / lim lim / = 0- lim / = + 0+ lim 0

10 LIMITES INFINITOS 0 0 Definição Se à medida que cresce, tendendo ao infinito, os valores de f() ficam cada vez mais próimos de um número L, então dizemos que EXEMPLOS: a) lim b) lim c) lim lim f() = L + Analogamente lim f() = L d) lim 3 - lim 2 - lim 9 lim lim e) lim 2 5 = = -2 5 lim 2 5 = - lim 2 5 = + =2 5 lim 2 5 =

11 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 22 Calcule os seguintes limites: a) lim ( ) f) lim GABARITO: 22) a) b) 5 /7 c) 0 d) 9/2 e) + f) 0 g) + h) + i) + j) + b) lim c) lim d) lim e) lim g) lim 9 3 (2) /2 +(/ 3 ) 0 h) lim 0+ 2 i ) lim 0 2 j ) lim 0 2 Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, eiste uma rocha. Possui 00Km de altura, 00Km de largura e 00Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

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