Módulo Números Complexos - Forma Algébrica. Introdução à forma polar de um número complexo. 3 ano E.M.

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1 Módulo Números Complexos - Forma Algébrica Introdução à forma polar de um número complexo 3 ano E.M.

2 Introdução à forma polar de um número complexo Exercícios Introdutórios Exercício. Encontre a representação polar dos números complexos: a z i. b z + i. c z + i 3. d z i 3. Exercício. Encontre a representação polar dos seguintes números complexos a z i. b z. c z. d z 3i. Exercício 3. Determine o módulo e o argumento principal dos seguintes números complexos a z 4. b z + i. c z + i 3. d z i. Exercício 4. números: a b c d Coloque na forma algébrica os seguintes z 3 cos π + i sen π. z 4 cos π/4 + i sen π/4. z 4 cos π/6 + i sen π/6. z 5 cos 3π/ + i sen 3π/. Exercício 5. a z i + i b z 3 + i 5. c z 5i 3 + 4i. Calcule o módulo dos números Exercício 6. Escreva na forma trigonométrica o número complexo / + i 3/ 0. Exercício 7. Escreva na forma trigonométrica o número complexo z + i 3 6 i 7. Exercício 8. Fixado θ, qual a representação gráfica dos números complexos z rcos θ + i sen θ quando r varia no conjunto R. Exercício 9. Calcule o valor de 3 i 0. Exercício 0. Determine o menor número natural n para o qual i 3 n é um imaginário puro Exercício. Escreva na forma trigonométrica os conjugados dos seguintes números complexos: a z / + i b z + i Exercícios de Fixação Exercício. Calcule o valor de + i 00 Exercício 3. Calcule + i 0 Exercício 4. Calcule / i/ Exercício 5. Exercício 6. Exercício 7. Calcule o valor de 0 z i0 3 + i 5 i 3 0. Determine z e argz se z + i i Verifique que cos 3 θ 3 cos θ + cos 3θ/4. Exercício 8. Determine a forma trigonométrica do número + i tg α i tg α. 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 9. Simplifique + w 00 se w cosπ/3 + i senπ/3. Exercício 0. Se w / + i 3/ e w / i 3/, determine o valor de w 00 + w 00. Exercício. Sejam n um número natural e z é um número complexo de módulo unitário tal que z n. z n Verifique que R. + zn Exercício. Encontre todos os números complexos z tais que z e z z + z z. Exercício 3. Se a cos π/5 e b sen π/5, então o número complexo cos π/5 + i sen π/5 54 é igual a matematica@obmep.org.br

3 a a + bi. b a + bi. c a b + ab + b i. d a bi. e 4a b + ab b i. Exercício 4. Determine uma expressão reduzida para o somatório: Exercício 5. Se z cos t + i sen t, onde 0 < t < π, então podemos afirmar que w + z é dado por z a i cotgt/. b i tgt/. c i cotgt. d i tg t. e n.d.a. Exercício 6. é igual a: Para cada n, temos que a n n b n c n n d n+ n e n+ n. Exercício 7. Se z + z cos θ, verifique que z n + cos nθ. zn Exercício 8. Mostre que senπ/7 + sen4π/7 + sen8π/ matematica@obmep.org.br

4 Respostas e Soluções.. a z cos5π/4 + i sen5π/4. b z cosπ/4 + i senπ/4. c z cosπ/3 + i senπ/3. d z cos5π/3 + i sen5π/3.. a z cosπ/ + i senπ/. b z cosπ + i senπ. c z cos 0 + i sen 0. d z 3cos3π/ + i sen3π/. 3. a z 4 e argz 0. a b c z i + i i + i 5 0. z 3 + i 5 z 3 + i i 3 + 4i 5i 3 + 4i b z + e argz π/4. c z + 3 e argz π/3. d z e argz 7π/4. 4. a b c z 3 cos π + i sen π z 4 cos π/4 + i sen π/4 3 / + i/ 3 / + 3 i/ z 4 cos π/6 + i sen π/6 4 / 3i/ 3i / + i 3/ 0 cos π/3 + i sen π/6 0 + i 3 6 cos 0π/3 + i sen 0π/6 cos 4π/3 + i sen 4π/6. i 7 6 icos π/3 + i sen π/3 6 i 8 6 i cos π + i sen π 6 i 6 cos π/ + i sen π/. 8. A representação gráfica consite em uma reta que passa pela origem e forma com o eixo positivo ox um ângulo de θ i 0 0 3/ i/ 0 0 cos 7π/6 + i sen 7π/6 0 0 cos 70π/6 + i sen 70π/6 0 cos 0π/6 + i sen 0π/6. d 5. z 5 cos 3π/ + i sen 3π/ 50 i 5i. 0. Se z i 3 cos 5π/6 + i sen 5π/6, temos z n n cos5π/6 + i sen5π/6 n n cos5nπ/6 + i sen5nπ/6 Para que ele seja um imaginário puro, 5nπ/6 π/ + π, ou seja, 5n Assim, 5n 3 deve ser múltiplo de 6 e o menor valor natural para que isso aconteça é n matematica@obmep.org.br

5 . a z + i + i i + i i + i + i / + i/ cos π/4 + i sen π/4. z + i + i i i + i i cos 3π/ + i sen 3π/ + i cos π/4 + i sen π/ cos 00π/4 + i sen 00π/ cos 50π + i sen 50π i 0 0 cos π/4 + i sen π/4 0 0 cos 0π/4 + i sen 0π/4 0 cos π/ + i sen π/ 00 i. / i/ 0 cos 3π/4 + i sen 3π/4 0 cos 60π/4 + i sen 60π/4 cos π + i sen π 5. z cos 3π/ + i sen 3π/ 0 cos π/3 + i sen π/3 5 cos 5π/6 + i sen 5π/5 0 cos 30π/ + i sen 30π/cos 5π/3 + i sen 5π/3 cos 50π/6 + i sen 50π/5 cos π/3 + i sen π/3 cos π/3 + i sen π/3 cos π/3 + i sen π/3. 6. Seja w / + i 3/ cos π/3 + i sen π/3. Portanto, z 00 w w 00. Como w 3 e w, segue que w w e que w + w. Assim, z 00 w w w + 00 w 00 w + w Seja w cos θ + i sen θ a + bi. Pelo Binômio de Newton, Por outro lado, w 3 a + ib 3 a 3 + 3a bi 3ab ib 3 w 3 cos 3θ + i sen 3θ. Comparando as partes reais das duas expressões, podemos concluir que 8. + i tg α i tg α cos 3 θ a 3 3 cos θ + cos 3θ/4. cos α + i sen α cos α i sen α cos α + i sen αcos α + i sen α cos α i sen αcos α + i sen α cos α sen α + cos α sen αi cos α + sen α cos α sen αi. 9. Como w 3, segue que w w + w + 0. Dado que w, segue que w + w + 0. Assim + w 00 w 00 w 00 w 3 66 w w. O valor procurado é w cos4π/3 + i sen4π/ matematica@obmep.org.br

6 0. Temos w 3 w3 3. Daí w00 + w 00 w + w.. Adaptado do vestibular do IME - 00 Seja z cos α + i sen α. Portanto, z cos α i sen α e z n + z n z n z n z n + z n z n z n + z n cos nθ.. z cos x + i sen x com x [0, π. z + z z cos x. Daí cos x / ou cos x /. As soluções dessa equação são os números: x π/6, x 5π/6, x 3 7π/6, x 4 π x 5 π/3, x 6 π/3, x 7 4π/3, x 8 5π/3 Cada um deles gera a solução z j cos x j + i sen x j 3. Extraído do ITA 009 cos π/5 + i sen π/5 54 cos 54π/5 + i sen 54π/5 cos 4π/5 + i sen 4π/5 cos π/5 + i sen π/5 a + bi. Resposta letra B. 4. Adaptado do vestibular do IME de 005 Se w cosπ/3 + i senπ/3, temos w 3. Além disso, w + w +. Daí + + w + w w w Como + w w e + w w, segue que + w w e + w w. Somando as três equações, temos w + w. Temos três casos a considerar: 3q, 3q + e 3q +. a + w + w 3q + w 3q + w 6q 3 b + w + w 3q+ + w 3q+ + w 6q+ 0 c + w + w 3q+ + w 3q+ + w 6q+4 0 Logo 3 se 3 + w + w 0 caso contrário Finalmente, substituindo na equação, temos q0 368 q0 + w + w 3q 3q. 5. Extraído do vestibular do ITA - 99 w + z z + cos t + i sen t cos t i sen t + cos t + i sen t cos t + i sen t cos t + sen t Resposta letra A. + i sen t cos t cos t + sen t i sen t cos t i sen t cos t 4i sent/ cost/ 4 sen t/ i cotgt/. 6. Extraído do ITA Se i, temos i + i + n i n 0 n j0 n j0 i i j + j j + i j n j + j0 i j+ n j. j + j0 5 matematica@obmep.org.br

7 Como i n n n é número real, podemos concluir que n j0 n j0 j n n j j + A resposta é a letra A. j Seja w cos θ + i sen θ. Assim w + w cos θ. Como w tem módulo unitário, segue que w /w. Assim w + w z + z w + w z + z w + + w z + + z w + w z + z. Denote por K n z n + z n e T n w n + w n. Assim, K T cos θ e K T. Suponha que T n K n para todo n m. Daí z m + z m z + w m + z w m w + w z m+ z m+ + zm + z m w m+ w m+ + wm + w m z m+ + z m+ w m+ + w m+ K m+ T m+ Assim, K n T n para todo n natural. Como Portanto, w n cos θ + i sen θ n cos nθ + i sen nθ w n cos θ i sen θ n cos nθ i sen nθ z n + z n T n cos nθ + i sen nθ + cos nθ i sen nθ cos θ. 8. Sejam x cosπ/7 + i senπ/7, p x + x + x 4 e q x 3 + x 5 + x 6. A quantidade desejada é a parte imaginária de p. Como x 7, segue que p + q e pq. Resolvendo a equação do segundo grau m + m + 7 0, encontramos Im p Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 6 matematica@obmep.org.br