Semana 2 Limites Uma Ideia Fundamental

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1 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Semana 2 Limites Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Inicialmente, vamos analisar o comportamento da função f definida por f() = + 1 para valores de próimos de 2, ou seja, quando tende à 2. =+1 = Vejamos esse outro eemplo 1,5 2,5 1,9 2, ,99 2,01 2,5 3,5 2,9 3,1 2,99 3,01 Se substituirmos por 3, teremos uma indeterminação. Para obtermos o resultado esperado, devemos fatorar a epressão.

3 3 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO DEFINIÇÃO Dizemos que uma função f() tem limite L quando se aproima de um número a, se f() se aproima de L sempre que se aproima de a, mas tendo o cuidado de ser diferente de a. Quando tende à p, tende à L Quando tende à p, tende à L Aqui, f() está definida em p e eiste L, mas f(p) L Aqui, f() não está definida em p, mas eiste L Aqui, eiste L= f(p) Aqui, NÃO eiste L

4 4 PROPRIEDADES DOS LIMITES Sejam lim f () = L 1 e lim g () = L 2, então: a a P1) O limite de uma constante k é igual à própria constante. lim k = k a Es: lim 9 = 2 lim ( 3) = 5 P2) O limite de uma soma é igual à soma dos limites: lim [f () + g ()] = lim f () + lim g () = L 1 + L 2 a a a E: lim [3² + 4] = 5 lim [3² 2] = 1 P3) O limite do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pelo limite da função: lim [k.f ()] = k.lim f () = k.l 1 E: lim [3.²] = a a 4 P4) O limite de um produto é igual ao produto dos limites: lim [f ().g ()] = lim f (). lim g () = L 1. L 2 a a a E: lim [5².4] = lim [3² : 2] = 1 2

5 5 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 17 Calcule os seguintes limites: a) lim ³ 2 g) lim b) lim ( 3 4) 2 c) lim ² h) lim (5² 4) 0 i) lim 3 0 d) lim (² 16) 3 e) lim 4² 1 1/2 2 1 f) lim 4 18 Calcule lim f (+h) f () sendo f dada por: h 0 h a) f() = ² b) f() = 3²+ c) f() = ³ d) f() = +1 e) f() = 5 GABARITO: 17) a) 8 b) 2 c) 10 d) 7 e) 2 f) 2 g) 3 /6 h) 5 2 i) 3 18) a) 2 b) c) 3 2 d) 1 e) 0

6 6 p+ M LIMITES LATERAIS Dessa forma, o número L, denomina-se limite lateral à esquerda. Analogamente, o número M, denomina-se limite lateral à direita. Nesse eemplo, como podemos perceber, o limite lateral à esquerda L é diferente do limite lateral à direita M, então lim f () = M dizemos que não eiste o limite quando tende à p. lim f () = L p PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Se os limites laterais forem iguais a L, então a função tem limite L. EXEMPLO: Calcule lim f () e lim f (), sendo f () = ², se > 3 2, se < 3 EXEMPLO: ² +1, para < 2 Seja f (X) = 3, para = 2 9 ², para > 2, calcule: a) lim f () b) lim f () c) lim f () 2

7 GABARITO: 19) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2 f) NÃO EXISTE g) NÃO EXISTE 7 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 19 Calcule os limites. Se não eistir, justifique: a) lim d) lim f() f(1), onde f() = +1, se , se < 1 b) lim e) lim f() f(1), onde f() = +1, se , se < 1 c) lim f) lim f() f(1), onde f() = +1, se , se < 1 g) lim g() g(2), onde g() =, se /2, se < 2

8 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 20 Seja f() a função definida pelo gráfico ao lado, determine: a) lim f() b) lim f() c) lim f() d) lim f() 1 2+ e) lim f() f) lim f() Seja f() a função definida pelo gráfico ao lado, determine: a) lim f() 3+ b) lim f() 3- c) lim f() ,5 1,

9 9 LIMITES INFINITOS O Paradoo da Dicotomia O argumento desse paradoo consiste basicamente na idéia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim. Noção intuitiva Seja a função f() = 1 / = 1 / 0,5 0,2 0,1 0,01 0,001 = 1 / = 1 / 0,5 0,2 0,1 0,01 0,001 = 1 /

10 10 Definição LIMITES INFINITOS Se à medida que cresce, tendendo ao infinito, os valores de f() ficam cada vez mais próimos de um número L, então dizemos que EXEMPLOS: a) lim b) lim c) lim lim f() = L + Analogamente lim f() = L d) lim 3 - lim 2 - lim 9 + lim lim e) lim 2 5 = = -2 5 lim 2 5 = - lim 2 5 = + =2 5 lim 2 5 =

11 11 TESTANDO OS CONHECIMENTOS OBS: O polinômio comporta-se como o seu termo de maior grau quando + ou - 22 Calcule os seguintes limites: a) lim ( ) f) lim GABARITO: 22) a) b) 5 /7 c) 0 d) 9/2 e) + f) 0 g) + h) + i) + j) + b) lim c) lim d) lim e) lim g) lim 9 3 (2) 1/2 +(1/ 3 ) 0 h) lim 0+ 2 i ) lim 0 2 j ) lim 0 2 Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, eiste uma rocha. Possui 100Km de altura, 100Km de largura e 100Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

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