Números Complexos. é igual a a) 2 3 b) 3. d) 2 2 2

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1 Números Complexos 1. (Epcar (Afa) 01) Considerando os números complexos z 1 e z, tais que: z 1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante z é raiz da equação x x 1 0 Pode-se afirmar que z1 z é igual a a) b) c) 1 d) Im z 0 e. (Espcex (Aman) 01) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z Z Zi é a) z 0 1i b) z 0 0i c) z 1 0i d) z 1 i e) z 1 i. (Unicamp 01) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i 1. Então i 0 i 1 i i i 01 vale a) 0. b) 1. c) i. d) 1 i.. (Uem 01) Considerando dois números complexos, z i na forma algébrica e w (cos θ isen θ) na forma trigonométrica, onde 0 θ π, assinale o que for correto. 01) 0) Se 0) z w z w. z 08) Se 16) π θ, então w z. 7z. π θ, então z w w z 9 9 w (z) (w) z w z.. Página 1 de

2 5. (Ufsm 01) Observe a vista aérea do planetário e a representação, no plano Argand- Gauss, dos números complexos z 1, z,..., z 1, obtida pela divisão do círculo de raio 1 em 1 partes iguais. Considere as seguintes informações: I. z 7 1i. II. z11 z. III. z5 z z 11. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III. 6. (Fgv 01) É dada a matriz A (a ij) tal que imaginária: i 1. 1 i 1 A 1 i 1 i 1 i 0 sendo i a unidade a) Escreva a matriz B (b ij ), substituindo os elementos da matriz A pelos seus números complexos conjugados, ou seja, b ij é o complexo conjugado do elemento a ij b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b e b e o afixo do determinante da matriz B. 7. (Insper 01) Considere um número complexo z, de módulo, tal que z K i, em que K é um número real. A parte real desse número complexo é igual a a) 5. b) 8. c) 5. d) 6. e) 5. Página de

3 8. (Espcex (Aman) 01) Seja o número complexo Se x y 0, então o módulo de z é igual a: a) 0 b) 5 c) 5 5 d) e) x yi z, i com x e y reais e i (Ufpe 01) Analise as afirmações seguintes sob ( ) z é uma das raízes quadradas do complexo i. ( ) z 1. π π ( ) A forma trigonométrica de z é cos isen. 01 ( ) z ( ) z, z, z e z são as raízes complexas da equação x i z :. (Insper 01) No conjunto dos números complexos, o número 1 apresenta três raízes 1i 1i cúbicas: 1, e. Os pontos que correspondem às representações desses três números no plano de Argand Gauss são vértices de um triângulo de área a) b) c) d) e) (Ifsp 011) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = 1 + i e w = z z. Um argumento de w é a). b). c). d). e) (G1 - ifal 011) O valor da potência (1 i) é: a) 11i. b) 5i. c) i. d) 50i. e) 1 5i. Página de

4 1. (G1 - cftmg 011) A medida do argumento dos números complexos z x yi pertencentes à reta y x, em radianos, é 5 a) π ou π. b) π ou π. π π c) ou π π d) ou. é 1. (Mackenzie 0) Se y = x, sendo x= 1 i 1 i e i = 1, o valor de (x + y) a) 9i b) 9 + i c) 9 d) 9 e) 9 i 15. (Fgv 0) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i) 0 (1 i) 0 é igual a a). b) i. c) 0 d). e) i. Página de

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Calculando as raízes cúbicas de 8i, temos: x 8i 0 x i 0 x i x ix 0 x i ou x i ou x i. Portanto Z1 i Resolvendo a equação Portanto Z = i x x 1 0, temos: x x x 1 x x i e z1 z i i i 1. Resposta da questão : [D] Se z a bi, com a e b reais, então z a bi. Desse modo, Logo, obtemos o sistema z z zi a bi (a bi) (a bi) i a b a 1. a b b 1 a bi (b ) ai. Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i. Resposta da questão : [D] Calculando a soma dos 01 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos: (i 1) i 1 (1 i) i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 (1 i) Resposta da questão : = 1. Dados Iniciais π π z i z (cos isen ) (01) Verdadeiro. z a b z Página 5 de

6 w z a b z Portanto, z w z z. w. z ()()() () w. (0) Falso. π π π Para θ, temos: w (cos isen ) i então w z. (0) Verdadeiro z i 7z i π π π π z (cos isen ) z cos isen z 81 Portanto, z 7z. (08) Verdadeiro. π π π Para θ, Temos: w (cos isen ) w i e w i i z w Logo, z w i (16) Falso. 1 w (z) (w) z w. (z) (w). (z) w z Portanto, 9 9 w (z) (w) z w z. Resposta da questão 5: [B] I. FALSA, pois Z 1 (cos0 i sen0 ) 7 7i. II. VERDADEIRA, pois Z 11 e Z são simétricos em relação ao eixo das abscissas. III. FALSA, pois Z5 1 (cos i sen ) Z 1 (cos90 i sen90 ) Z11 Z 1 (cos 60 i sen60 ) Z Z cos(60 90 ) i sen(60 90 ) Z 5. Portanto, apenas a afirmação dois é verdadeira. Página 6 de

7 Resposta da questão 6: 1 i 1 a) B = 1 i 1 i. 1 i 0 b) Calculando o determinante de B, temos: det(b) = i 1 + i 1 1 = 5. Logo, o afixo do det(b) é ( 5,0) b = (0,1) e b = (0, 1). Desenhando o triângulo, temos: Logo, a área da figura será: 5 A 5. Resposta da questão 7: [B] Escrevendo o número complexo z na forma algébrica, obtemos z (k i) (k 1) k i. Sabendo que z e z (k i) k i k 1, vem k 1 k 9. Portanto, Re(z) k Resposta da questão 8: [C] Sabendo que z 1 z 1, z z x yi x y 0 5 com z 0, obtemos z. i 5 5 Resposta da questão 9: V F V F V. Se z é uma das raízes quadradas do complexo i, então z i. De fato, Página 7 de

8 Temos que 1 i 1 i 1 z i. z (z ) i 1. π π Escrevendo cos isen na forma algébrica, encontramos Como z i, segue que Sabendo que e, portanto, π π 1 1 cos isen i i z z (z ) i i 1. z 1, temos que z é raiz da equação (z ) (z ) (z ) (z ) (z ) (z ) 1 5 z, z e Resposta da questão : [C] 7 z também são raízes da equação x 1 0. Além disso, x 1 0. Localizando os afixos no plano complexo, temos o triângulo da figura. Calculando sua área: 1 1 A A. A Página 8 de

9 Resposta da questão 11: [D] W = (1 + i) (1 +i) Desenvolvendo, temos: W = i = (=1, i) Logo, seu argumento será 15 o (90 o + 5 o ). Resposta da questão 1: [C] Sabendo que 5 i i i (i ) i ( 1) i i, vem 5 (1 i) [(1 i) ] (1 i i ) ( i) ( ) i i. Resposta da questão 1: [A] o π o 5π 5 e 5 Página 9 de

10 Resposta da questão 1: [C] x = 1 i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i i e y = i (x+y) = (i + i) = (i) = 9i = - 9 Resposta da questão 15: [C] 0 (1 i) ((1 i) ) (1i i ) (i).i 0 (1 i) ((1 i) ) (1i i ) ( i).i 0 0 logo (1 i) (1 i) 0 Página de