Exercícios extras Matemática Aplicada Números Complexos

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1 SECRETARIA DE SEGURANÇA PÚBLICA/SECRETARIA DE EDUCAÇÃO POLÍCIA MILITAR DO ESTADO DE GOIÁS COMANDO DE ENSINO POLICIAL MILITAR COLÉGIO DA POLÍCIA MILITAR SARGENTO NADER ALVES DOS SANTOS SÉRIE/ANO: 3 TURMA(S): A, B e C DISCIPLINA: Matemática Aplicada PROFESSOR: Me José Roberto ALUNO (A): Nº DATA: / / 015 A T I V I D A D E C O M P L E M E N T A R Exercícios extras Matemática Aplicada Números Complexos Questão 01 - (MACK SP/015) Se i é a unidade imaginária e respectivamente, M (1 i) i 1 b a tem determinante igual a 3i, os valores de a e b são, 6 e 3 b) 3 e 1 c) 0 e 6 d) e 4 e) 4 e Questão 0 - (UNICAMP SP/015) Sejam x e y números reais tais que x yi 3 4i, onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a b) 1 c) 1 d) Questão 03 - (UEPA/015) Um dos resultados importantes da produção de conhecimentos reside na possibilidade que temos de faer a interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo é um bom exemplo dessa possibilidade exploratória da produção científica, ao permitir relações com álgebra, geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries e aritmética. Neste sentido, considere os números complexos 1 = +.i, = 5 6.i, 3 = i e os números reais k1 e k tais que a soma dos números complexos k11 e k resulta o k complexo 3. Nestas condições, o valor de ( k 1 ) é: 9 b) 8 c) 1 d) 1/8 e) 1/9 Questão 04 - (UERN/015) Considere a igualdade i 1. É correto afirmar que o número complexo, da forma = a + bi, é i 1. 3

2 b) i. c) 1 + 3i. d) 3 + i. Questão 05 - (UNICAMP SP/014) O módulo do número complexo = i 014 i 1987 é igual a b) 0 c) d) 1 3 Questão 06 - (FGV /014) Seja f uma função que, a cada número complexo, associa f() = i, onde i é a unidade imaginária. Determine os complexos de módulo igual a 4 e tais que f() =, onde é o conjugado de. Questão 07 - (FGV /014) Com relação ao polinômio de coeficientes reais dado por P(x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d, sabe-se que P(i) = P( + i) = 0, com i = 1. Nessas condições, a + b + c + d é igual a. b) 1. c) 6. d) 8. e) 9. TEXTO: 1 - Comum à questão: 8 A figura a seguir ilustra, no sistema de coordenadas xoy, alguns pontos relativos ao esboço de um biombo de chumbo usado para proteção durante as seções de raio X. O biombo apresenta uma abertura na forma de elipse, onde será colocado um visor de vidro.

3 Questão 08 - (ESCS DF/014) Considere que cada ponto (x, y) do sistema de coordenadas apresentado seja identificado por um número complexo = x + iy, em que i é a unidade imaginária (i = 1). Nessa situação, se os números complexos A e C correspondem, respectivamente, aos pontos A e C, então a relação A C é igual a b) c) d) 66 i 65 3i 3 33 i 3 46 i 65 Questão 09 - (UECE/014) Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo x iy x iy 1. b). c) x +y. d) xy. é igual a Questão 10 - (IFPE/014) O gráfico abaixo é a representação geométrica de um número complexo Z. Com base nisso, assinale a alternativa correta. Z = 3 + i b) Z = 3 i c) Z = 3 + i d) Z = + 3i e) Z = 3i Questão 11 - (MACK SP/014) O número complexo = a + bi tal que, 1 e 1 tenham o mesmo módulo é 1 3 i b) 3 i

4 c) 1 3 i d) 3 i 3 3 e) 1 i 3 3 Questão 1 - (PUC RS/014) A área da figura representada no plano de Argand Gauss pelo conjunto de pontos { C : 1} é 1 b) 1 c) d) e) Questão 13 - (UECE/014) Sejam x um número real e i o número complexo tal que i = 1. Se p = x + i e q = x i, então, p + q + pq é igual a x b) (x + 1) c) (x 1) d) x + 1 Questão 14 - (UERN/014) Considere S o conjunto dos valores reais de x, tal que (x 9) + (x 3)i seja um número imaginário puro. É correto afirmar que S = {x R x = 3}. b) S = {x R x 3}. c) S = {x R x = 3}. d) S = {x R 3 x 3}. Questão 15 - (UFG GO/014) Considerando os números complexos e w tais que + w = (9 3 3 ) + i(9 3 3 ) e w = ( ) + i(3 3 3 ), determine a área do paralelogramo de lados e w, sabendo-se que o ângulo entre eles é 3. Questão 16 - (UESPI/014) Se i é a unidade imaginária, isto é, i 1, o valor da soma i + i + i i 013 é: i b) i

5 c) 1 d) 1 e) 0 Questão 17 - (FGV /013) A equação x 4 = 16 tem duas raíes reais e duas raíes imaginárias conjugadas. b) pelo menos duas raíes iguais. c) uma única rai imaginária. d) quatro raíes reais. 1 e) quatro raíes cujo produto é. 4 Questão 18 - (FGV /013) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, Z, Z3, Z4, e Z5. Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é Z1. b) Z. c) Z3. d) Z4. e) Z5. Questão 19 - (MACK SP/013) x 1 x x 1 Em C, o conjunto solução da equação x x x x x é { + i, i} b) { 1 4i, 1 + 4i} c) {1 + 4i, 1 4i} d) { 1 + i, 1 i}

6 e) { i, 1 + i} Questão 0 - (UFPE/013) Encontre o menor inteiro positivo n tal que a potência Questão 1 - (UNICAMP SP/013) 3 i n seja um número real. Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i = 1. Então i 0 + i 1 + i + i i 013 vale 0 b) 1 c) i d) 1 + i Questão - (UFBA/013) Sendo os afixos dos números complexos 1 = 1 + 3i e = 1 3i os vértices não consecutivos de um quadrado, determine o volume do sólido gerado pela rotação desse quadrado em torno de um de seus lados. Questão 3 - (UFG GO/013) Com base no polinômio p(x) = x 4 5, determine os valores de x, no conjunto dos números reais, tais que p(x) < 0; b) escreva p(x) como um produto de três polinômios com coeficientes reais; c) considerando-se a representação dos números complexos em um plano cartesiano, calcule a área do polígono cujos vértices são as raíes de p(x). Questão 4 - (UEPA/013) Um projeto de paisagismo de uma residência previa a construção de um jardim de formato de um polígono regular P1, cujos vértices podem ser representados no plano complexo pelas raíes da equação x 4 1 = 0. Ao final da execução do projeto, observou-se que o jardim construído não foi o previsto, visto que, cada uma das raíes da equação foi multiplicada por.i, resultando um novo polígono P. A raão entre as áreas dos polígonos P1 e P é: 1/4 b) 1/ c) 1 d) e) 4 Questão 5 - (Unifev SP/013) Considere o plano complexo bem como a representação dos afixos de cinco números complexos.

7 Sejam os números complexos 1 = 7i, = 1 + 5i e 3 = 1 + 3i. O afixo do número complexo ( ) é R. b) S. c) Q. d) T. e) P. GABARITO: 1) Gab: A ) Gab: D 3) Gab: E 4) Gab: A 5) Gab: A 6) Gab: i e i 7) Gab: E 8) Gab: D 9) Gab: A 10) Gab: A 11) Gab: A 1) Gab: D 13) Gab: B 14) Gab: C 15) Gab: ) Gab: A 17) Gab: A 18) Gab: B 19) Gab: D 0) Gab: 6 1) Gab: D ) Gab: Vsólido = 40 5 u. v. 3) Gab: 5 x 5 b) Fatorando-se a diferença de quadrados, obtém-se e o último fator à direita não possui raíes reais, logo é irredutível no conjunto dos números reais. c) A área do polígono que tem por vértices as raíes do polinômio é de 10 unidades de área. 4) Gab: A 5) Gab: E