PRÉ-PRÉ-PROVA UFRGS Prof. Marcelo Cóser MATEMÁTICA. Pré-prova disponível para download em

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1 PRÉ-PRÉ-PROVA UFRGS 2011 Prof. Marcelo Cóser MATEMÁTICA Pré-prova disponível para download em

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3 01) Qual o domínio da função? 9 x 2 A melhor maneira de resolver a inequação 9 x² > 0 (e a maioria das inequações!) é GRAFICAMENTE. g(x) = 9 - x² tem raízes 3 e -3, e seu gráfico é uma parábola voltada para baixo. f x x D f = (-3; 3) (não incluir as raízes!) x² > 0 -x² > -9 x² < 9 x < ± 3 x < 3 ou x < -3 Por exemplo, x = - 4 faria parte da solução. No entanto, não faz: 9 - (-4)² = 9-16 = - 7 < 0

4 PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS logb a x a b log X Y log X log Y b b b X log log X log Y b b b log b log Y X Y log X y X log log b b X Y b x Y

5 02) Resolva a equação log x = 1 + log 3. log x 1 log3 log x log3 1 x log 1 3 x x 30 Lembrar: logb a x a b x

6 03) Determine os valores de a e b para que o sistema abaixo tenha mais de uma solução. 2x ay b 1 x 3y 2 D Seja D o determinante da matriz dos coeficientes associados às incógnitas. 2 a 1 3 D 0 Solução única Sistema Possível e Determinado D = 0 LINHAS IGUAIS Infinitas soluções Sistema Possível e Indeterminado D = 0 CONTRADIÇÃO Nenhuma solução Sistema Impossível

7 Mais de uma solução D = 0 e LINHAS IGUAIS 2x ay b 1 x 3y 2 D 2 a 1 3 D 2 a Analisando o que acontece com o sistema quando a = 6: 6a 0 2x 6y b 1 x 3y 2 (.2) a 6 2x 6y b 1 2x6y 4 Linhas iguais b + 1 = 4 b = 3

8 04) Quantas soluções reais existem para 2 x = 2.cos(x)? As soluções para equações na forma f(x) = g(x) podem ser visualizadas a partir das abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos. 2 x = 2.cos(x) f(x) = 2 x g(x) = 2.cos(x) x x, x 0 x, x 0 f x x 2, x 0 x 2, x 0 P g I g = [-2; 2] 2 2 k x 2 x 1

9 Sobrepondo os gráficos Duas soluções no intervalo ; 2 2.

10 05) Se z = 4 2 e z 30, sendo z um número complexo, calcule a área do triângulo de vértices nos afixos de z 4 e z 8 e na origem do plano de Argand-Gauss. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO n n z z cos n i sen n Elevar o módulo z z cos i sen Multiplicar o argumento z 4 2 cos30 i sen30 4 z cos 4 30 i sen cos120 i sen z cos 8 30 i sen cos240 i sen 240

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12 06) A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um corpo após x horas é dada por T(x) = T AMBIENTE + a b x. Uma chaleira com água é colocada em uma sala a 20º C imediatamente após a água ferver. Uma hora mais tarde, sua temperatura era de 80º C. Qual será a temperatura ao final da segunda hora? Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos Se a chaleira foi colocada na sala logo após a água ferver, o ponto (0, 100) pertence à função. Ainda, temos o ponto (1, 80). 0, 1, Logo, b T 20 a b 80 80b 3 4 x a 80 x 60 b o T C

13 07) O gráfico de um polinômio de 3º grau está esboçado abaixo. Calcule P(2). P(x) = a (x - R 1 ) (x - R 2 ) (x - R 3 ) 1 é raiz dupla P(x) = a (x - 1) (x - 1) (x - (-1)) P(x) = a (x - 1)² (x + 1) -1 1 Como P(0) = -2, -2 = a (0-1)² (0 + 1) -1 é raiz simples -2 Coeficiente Líder é negativo a < 0-2 = a 1 1 a = -2 P(0) = -2 P(x) = -2 (x - 1)² (x + 1) P(2) = -2 (2-1)² (2 + 1) = -6

14 08) Quantas soluções reais possui a equação - x² = 2? f(x) = - x² x² - 4 x² x² - x² x² x²

15 - x² = 2 A equação possui 6 soluções reais distintas.

16 Funções Lineares: problemas com variação constante. f(x) = ax + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y x

17 09) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 C(x) = 25x R(x) = 45x X d) 450 e) 500 Um lucro de R$ implica R(x) - C(x) = x - (25x ) = x = 4000 Lucro 20x = 9000 desejado x 450 Custo 20 fixo Lucro por bolsa CUIDADO! Raciocínios que envolvam Regra de 3 só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!