Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014

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Edison Maranhão Sá
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1 Cursos: Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 23/24 ō Teste, versão A LEIC, MEEC, LEMat, MEAer, MEBiol, MEQ, MEAmbi) 5 de Abril de 24, h3m Duração: h 3m. Seja α C 2 R) e u : R 2 R uma função definida por ux, y) αx) 3xy 2 2y 2. [,5 val.] [,5 val.] a) Identifique todas as funções α tais que u é uma função harmónica. b) Considere αx) x 3 + 2x 2. Determine uma função inteira f tal que c) Calcule a função derivada f x + iy). d) Indique, justificando, o valor do integral j ux, y) Re fx + iy) e f ). z 3 fz) z ) 2 dz, onde a circunferência é percorrida uma vez no sentido horário. a) A função u é harmónica sse Assim temos e portanto u é harmónica sse 2 u x 2 x, y) + 2 u x, y). y2 2 u x 2 α x), 2 u y 2 6x 4 α x) 6x + 4 αx) x 3 + 2x 2 + Ax + B, onde A e B são constantes reais. b) Para que f u + iv seja inteira é necessário que sejam satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann { v y x x 3 + 2x 2 3xy 2 2y 2) 3x 2 + 4x 3y 2 v x y x 3 + 2x 2 3xy 2 2y 2) 6xy + 4y { 3x 2 + 4x + C y) 3x 2 + 4x 3y 2 vx, y) 3x 2 y + 4xy + Cy) Da primeira equação conclui-se que C y) 3y 2 pelo que Cy) y 3 +C onde C é uma constante real. Como f ), tem-se v, ) C e portanto fx + iy) x 3 + 2x 2 3xy 2 2y 2 + i3x 2 y + 4xy y 3 ). c) Dado que f é diferenciável em qualquer z x + iy C temos f x + iy) f x u x i u y 3x2 + 4x 3y 2 + i6xy + 4y). d) Sendo f inteira e < 3, a fórmula integral de Cauchy garante que j fz) z ) 2 dz 2πif ) 4πi z 3

2 [,5 val.] 2. Determine o desenvolvimento em série de Laurent válido para z + > 2 da função f : C \ {, i} C dada por fz) z i)z + ). Pela fórmula da soma da série geométrica obtemos fz) z i)z + ) z + z i z + z + i z + ) 2 +i z+ n z + ) 2 n ) n + i z + + i) n z + ) n+2 z + ) i + i)2 + z + ) 3 z + ) Atendendo à região de validade da fórmula da série geométrica, a quinta igualdade é válida se e só se + i z + <, ou seja, se e só se z + > + i 2, o que estabelece a região de validade da série de Laurent obtida. [,5 val.] 3. Considere a função complexa de variável complexa f definida no seu domínio por fz) sen z 4z + e/z 2). a) Classifique todas as singularidades de f e determine os seus resíduos. [,5 val.] b) Calcule o valor do integral fz) dz z 3 onde a curva é percorrida uma vez em sentido directo). a) Considere-se fz) f z) + f 2 z), com f z) e /z 2) e f 2 z) sen z 4z. As singularidades de f são z 2, proveniente de f, e z e z 4, provenientes de f 2. A função f é holomorfa em z e z 4, donde a sua contribuição para as correspondentes séries de Laurent de f, em torno destas singularidades, faz-se apenas nas potências positivas na parte regular) das séries. A parte principal das séries de Laurent e, consequentemente, os resíduos nestes dois pontos, provém apenas de f 2, pelo que podemos concluir que Resf, ) Resf 2, ) e Resf, 4) Resf 2, 4). Ora usando, por exemplo, a regra de Cauchy): f sen z 2z) z z zz 4) 4 sen z z z 4 pelo que esta singularidade é removível e Resf, ) Resf 2, ). Relativamente a z 4, e tendo em conta que z 4)f sen z 2z) z 4 z 4 z sen 4 4,

3 o que nos leva a concluir que se trata de um pólo simples e que o valor deste ite é, por isso, o seu resíduo. Assim Resf, 4) Resf 2, 4) sen 4 4. Por outro lado, z 2 é singularidade de f proveniente apenas de f, pois f 2 é holomorfa em z 2. Tal como anteriormente, podemos concluir que tanto a parte principal da série de Laurent e, consequentemente, o resíduo) naquele ponto provém apenas de f ; assim sendo, Resf, 2) Resf, 2). Expandindo f em série de Laurent válida na região dada por z 2 > : f z) e /z 2) + z 2 + 2!z ) 2 + 3!z ) 3 + Assim sendo, z 2 é uma singularidade essencial de f e, também, de f), sendo que Resf, 2) Resf, 2) a. b) O caminho, que aqui representamos por, é constituido por uma circunferência de centro na origem e raio 3; as singularidades que se encontram no interior de são as que verificam a condição z < 3, ou seja, z e z 2. Por outro lado, z 4 verifica z > 3, pelo que está no exterior de. De acordo com o teorema dos resíduos: ) fz)dz 2πi Resf, ) + Resf, 2) 2πi + ) 2πi 4. Para cada R > 2 considere o caminho R t) Re it, t [, π], e o caminho fechado simples positivamente orientado Γ R [ R, R] + R. [,5 val.] ΓR a) Use o teorema dos resíduos para calcular 4 + ) 2 dz. b) Obtenha a seguinte majoração: z R ) 2 dz πr 3 R 2 4) 2. c) Usando as duas aĺıneas anteriores, calcule + x x 2 ) 2 dx, a) Seja fz) z2 4+ ) 2. Trata-se de uma função holomorfa no plano complexo exceptuando as singularidades isoladas 2i, 2i. Para R > 2, 2i ext Γ R, 2i int Γ R. Por outro lado, por factorização polinomial, fz) z+2i)z 2i)) 2 z+2i) 2 z 2i) 2, e, portanto, z z 2i 2i)2 fz) z 2i z + 2i) 2 2i)2 4i) 2 4. Concluimos assim que fz) tem um polo duplo em 2i e que, portanto, o respectivo resíduo é dado por Resf, 2i) z 2i) 2 fz) ) ) z 2i z 2i z + 2i) 2 2zz + 2i) 2 2z + 2i) 2zz + 2i) 2 z 2i z + 2i) 4 z 2i z + 2i) 3 4iz z 2i z + 2i) 3 8 4i) 3 8i. Usando o teorema dos resíduos, obtemos finalmente Γ R fz) dz 2πi Resf, 2i) 2πi 8i π 4.

4 b) Como z R z R, e como para o comprimento do caminho R se tem L R πr, usando a fórmula de majoração do integal complexo, obtemos z R ) 2 dz L R sup z ) 2 πr sup z R 4 z 2 2 z R πr R2 4 R 2 2 πr 3 R 2 4) 2. c) Obviamente fx) f x), para todo x R, ou seja, f é uma função par em R. Por este facto, De a) concluimos que + fx) dx 2 + fx) dx 2 fz) dz π R + Γ R 4. +R R + R De b), pelo facto de que πr 3 R 2 4) 2, quando R +, concluimos que R + R fz) dz. Logo, tomando ites, quando R +, na igualdade +R R fx) dx + fz) dz R fz) dz, Γ R fx) dx. obtemos e, portanto, +R R + R + fx) dx π 4, fx) dx π Calcule o integral log2z) dz em que é um caminho regular, simples, contido em C \ {re iπ : r }, que une i a e log é o valor principal do logaritmo. Justifique cuidadosamente a sua resposta. Considere-se a função fz) log2z), onde log é o valor principal do logaritmo. Esta função está definida e é anaĺıtica no conjunto D C \ {re iπ : r }. Se u e v forem funções anaĺıticas em D então, a partir da regra de derivação do produto, obtém-se fórmula de primitivação por partes que será válida em conjuntos onde existam as primitivas mencionadas): P u z)vz) ) uz)vz) P ) uz)v z) a notação P fz) representa uma primitiva de fz)). Definimos então F z) através da fórmula anterior, aplicada a uz) z e vz) log2z): ) F z) P log2z) z log2z) P ) z log2z) P z log2z) z 2z Note que F z) é anaĺıtica em D e, para qualquer z D, F z) log2z) 2z log2z),

5 o que justifica que F z) é uma primitiva de fz) em D. Pelo teorema fundamental do cálculo: log2z) dz F ) F i) log 2 i log2i) + i O valor principal de log2i) é log 2 + iπ 2, pelo que: log2z) dz log 2 + π 2 + i log 2 )

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