17 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 7 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 7. Definições de polinómio e fracção racional Comecemos por adoptar uma definição de polinómio de grau n. Definição 7. Uma função f (z) analítica em C éumpolinómio de grau inferior a n (um inteiro não negativo) sse a sua derivada de ordem n é a função nula, i. e. f (n) (z) 0. Um polinómio de grau n é um polinómio de grau inferior a n quenãoédegrauinferior a n. Note-se que de acordo com esta definição qualquer constante não nula é um polinómio de grau zero. A seguinte proposição garante que esta definição está de acordo com o conceito formal de polinómio. Proposição 7. Dado qualquer z 0 C, é um polinómio de grau n sseadmiteuma representação da forma = a k (z z 0 ) k, com a n 6=0, onde a k C, parak =0,...n. Demonstração. Se é um polinómio de grau n então P (n) (z) 0, portantoasua derivada de ordem n é constante e não nula; seja essa constante diferente de zero P (n) (z) a n.então,deacordocomoteorema.4, temos n! = P (k) (z 0 ) (z z 0 ) k = P (k) (z 0 ) (z z 0 ) k = a k (z z 0 ) k onde a k = P (k) (z 0 ) P, o que termina a demonstração. Reciprocamente, se = n a k (z z 0 ) k, com a n 6=0,entãoderivandon vezes obtemos P (n) (z) n!a n 6=0;ederivandomaisuma vez P (n) (z) 0. Verifica portanto a definição adoptada de polinómio. Observação 7. Note-se que os coeficientes a k ( k =0,,...n ) dependem da escolha de z 0. Contudo o coeficiente a n (com n o grau do polinómio) não depende desta escolha, tendo-se a n = lim z z. n Definição 7. Uma função f (z) éumafunção racional seéoquocientededoispolinómios; i. e. f (z) = com e Q (z) polinómios. Uma função racional diz-se própria Q (z) se o grau do polinómio no numerador for inferior ao grau do polinómio no denominador; i. e. grau de (estritamente) menor que o grau de Q (z).

2 7 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 7. Teorema de Liouville Teorema 7. (Teorema de Liouville) Se f (z) é uma função limitada e analítica em C, entãof (z) é uma função constante. Demonstração. Sendo f (z) é uma função limitada, seja M tal que f (z) 6 M. Dado z C considere-se a circunferência C de centro em z eraior, percorrida no sentido positivo. Então, de acordo com as fórmulas integrais de Cauchy (Teorema 9.), f 0 (z) = I iπ 6 M R. C f (ξ) (ξ z) dξ 6 I π C f (ξ) ξ z dξ 6 π I C M R dξ = M I πr C dξ = Fazendo R arbitrariamente grande, vem f 0 (z) =0.Comoopontoz é arbitrário concluímos que a derivada de f (z) é nula em todos os pontos, ou seja, f (z) é constante. 7.3 Factorização de polinómios A próxima proposição afirma que qualquer polinómio de grau não nulo tem pelo menos uma raiz. Proposição 7.3 Se é um polinómio de grau positivo, então tem um zero. Demonstração. Se por absurdo supusermos que nunca se anula, então a função f (z) = seria analítica em C. Por outro lado, facilmente se verifica (porque tem grau positivo) que lim =0; pelo que existe L tal que para z >Lse tem z 6. Podemos então concluir, pelo Teorema de Liouville, que f (z) = é constante, contrariamente à hipótese de ser um polinómio de grau positivo. Proposição 7.4 Se é um polinómio de grau n e z 0 um zero deste polinómio, então z z 0 é um polinómio de grau n Demonstração. Temos = Pelo que z z 0 = a k (z z 0 ) k, com a n 6=0. k= Xn a k (z z 0 ) k = a k (z z 0 ) k com a n 6=0. k= Sendo f (z) analítica, podemos concluir que f (z) é uma função (com valores reais) contínua, e portanto, tem um máximo no circulo z 6 L; i.e. z 6 L f (z) 6 M. Então f (z) é uma função limitada, ou seja f (z) é uma função limitada; i.e. para todo z C tem-se f (z) 6 max {M,}.

3 7 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 3 Teorema 7.5 Seja é um polinómio de grau n (não nulo). Então =a n (z z ) m...(z z j ) m j onde z,z...z j são os zeros de, a n = P (n) (z) n! éumaconstantecomplexaem,m...m j são inteiros positivos (a ordem dos zeros )taisque m m... m j = n. Demonstração. Nesta demonstração vamos usar sistematicamente a o facto de qualquer polinómio de grau não nulo ter pelo menos um zero, de acordo com a Proposição 7.3. Seja z um zero de e m asuaordem.então = P (k) (z ) (z z ) k =(z z ) m k=m = (z z ) m P (z), n m X P (km ) (z ) (k m )! (z z ) k onde P (z) é um polinómio de grau n m.sen = m a demonstração está completa; caso contrário, sendo z um zero de ordem m do polinómio P (z), podemos repetir o processo obtendo-se =(z z ) m n m X (k) P (z ) (z z ) k =(z z ) m P (z) k=m onde P (z) é um polinómio de grau n m m. Se n = m m a demonstração está completa; caso contrário podemos continuar o procedimento anterior. Este termina numa iteração j (num máximo de n iterações) quando n = m m... m j, obtendo-se =(z z ) m...(z z j ) m j P j onde P j é um polinómio de grau n m m... m j =0, ou seja uma constante que pode ser determinada por P j = P (n) n! = lim = z z n (z z ) m...(z z j ) m j. Como corolário imediato desta factorização temos a seguinte proposição: Proposição 7.6 Se é um polinómio de grau m e Q (z) é um polinómio de grau n, então Q (z) é um polinómio de grau m n. Os valores z,z...z j são também designados por raízes e m,m...m j as respectivas multiplicidades.

4 7 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) Decomposição em fracções simples Teorema 7.7 (Decomposição em fracções simples) Seja Q (z) um polinómio de grau n (não nulo), z,z...z j os zeros (distintos) deste polinómio e m,m...m j as respectivas ordens. Considere-se uma função racional própria f (z) =,ondep(z) também um Q (z) polinómio (de grau inferior a n). Então f (z) = jx Xm k k= s= b k,s (z z k ) s, onde 3 b k,s =Res z=z k f (z)(z zk ) s. Demonstração. De acordo com as hipóteses, f (z) tem singularidades nos pontos z,z...z j quesãopólosdeordeminferioram,m...m j respectivamente 4. Então de acordo com o Teorema. temos com Então, definindo temos que b, s = I iπ C g (z) f (z) g (z) = s=0 f (z) = s= m b, s (z z ) s, f (z) s dz =Resf (z)(z z ) s. (z z ) z=z X s= m b, s (z z ) s = f (z) Xm s= b,s (z z ) s, b, s (z z ) s, (numa vizinhança de z ) pelo que esta é uma função com singularidades apenas nos pontos z...z j.repetindotemos com b, s = I iπ C g (z) = s= m b, s (z z ) s, f (z) s dz =Resf (z)(z z ) s. (z z ) z=z 3 Ou de acordo com a fórmula (3.) b k,s = m k s lim d mk s z z k dz m k s (f (z)(z z k) m k ). 4 Podem não ter exactamente esta ordem porque os mesmos pontos podem ser zeros também do polinómio.

5 7 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 5 Então, definindo temos que X g (z) g (z) b, s (z z ) s = g (z) s= m Xm b,s Xm b,s = f (z) (z z ) s (z z ) s, g (z) = s=0 s= s= Xm s= b,s (z z ) s b, s (z z ) s, (numa vizinhança de z ) pelo que esta é uma função com singularidades apenas nos pontos z 3...z j. Repetindo este procedimento j vezes obtemos que g j (z) g j (z) = f (z) X b, s (z z j ) s = g j (z) s= m j jx Xm k b k,s (z z k ) s k= s= m j X s= b j,s (z z j ) s é uma função analítica em C. Como lim g j (z) =0(porque f (z) éprópria)obtemospelo z Teorema de Liouville que g j (z) é constante; e como lim g j (z) =0vem g j (z) 0 como z queríamos demonstrar. Exemplo 7. Considere-se a função z (z ) 3 z. Temos então a decomposição com Pelo que b, =Res z= b, =Res z= z (z ) 3 z = b, z b, (z ) b,3 (z ) 3 b, z b, z, z (z ) 3 z =lim z d z (z ) 3 (z ) = Res z z= b,3 =Res z= b, =Res z=0 b, =Res z=0 z dz z = lim z z (z ) z =lim z z (z ) 3 z (z ) =Res z= z (z ) 3 z =lim z 0 d dz z (z ) 3 z z =Res z=0 d z = dz z 3 lim z 6 =4, z z 4 d z z = lim = 3, dz z z z 3 z (z ) z =lim z =, z z z (z ) 3 = lim z 0 z (z ) 3 z =lim z 0 z (z ) 4 = 4, z (z ) 3 =. z (z ) 3 z = 4 z 3 (z ) (z ) 3 4 z z.

6 7 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 6 Exemplo 7. Considere-se a função. Temos então a decomposição z 4 z 4 = b z e i π 4 b z e i 3π 4 b 3 z e i 5π 4 b 4 z e i 7π 4, com ( k =0,,, 3) Pelo que b k = Res z=e i(k) π 4 = lim z e i(k) π 4 = lim = à z 4 = e i 5π 4 4 z e i π 4 z e i(k) π 4 4e i(k) 3π 4 = 4 e i(k) 3π 4. 7π ei 4 z e i 3π 4 z 4 z e i(k) π 4 z 4 4z 3 ei π 4 z e i 5π 4 Note-se à z 4 = e i 5π 3π 7π 4 ei 4 ei 4 ei π 4 4 z e i π 4 z e i 7π 4 z e i 3π 4 z e i 5π 4 ³ = z 5π e i 4 e i 3π 4 e i π 4 e i 4π 4 z ³ 4 z e i π 4 e i 7π 4 z à = z 4 z z z! z z = z ³ 4 z ³ z z que é a decomposição em fracções simples reais., 3π ei 4 z e i 7π 4! ³ e i 7π 4 e i π 4!. z ³ e i 3π 4 e i 5π 4 e i π 4 e i 4π 4 z