2004/2005 PROBLEMAS. (c) Se ainda restarem raízes complexas, reduza o polinómio e calcule essas raízes pela fórmula resolvente.

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 2004/2005 Raízes de Polinómios PROBLEMAS 1 Considere o polinómio P (x) =x x +1. (a) Quantas raízes reais (positivas e negativas) e complexas pode ter este polinómio? (b) Separe a(s) raiz(es) real(is) e ache-a(s) pelo método de Newton, com a máxima precisão possível. (c) Se ainda restarem raízes complexas, reduza o polinómio e calcule essas raízes pela fórmula resolvente. 2 Considere o polinómio P (x) =x 5 +5x 4 +8x +.5x 2 2x 1. (a) Sabendo que: As raízes racionais de um polinómio genérico P n (x) = n i=0 a i x i de coeficientes inteiros, se existirem, são da forma ± r m,emque r é um divisor de a 0 e m é um divisor de a n. Ache a(s) raiz(es) racional(is) do polinómio e reduza-o. (b) Ache a(s) raiz(es) real(is) do polinómio reduzido, pelo método de Newton. (c) Se ainda restarem raízes complexas, reduza o polinómio e calcule-as. RESOLUÇÕES 1 (a) Pela Regra de Descartes, um polinómio tem um número de raízes reais positivas que éno máximo igual ao número de mudanças de sinal dos seus coeficientes. Se for menor que esse número terá que o ser pela diferença de um número par. Para encontrar o número máximo de raízes reais negativas aplica-se o mesmo raciocínio a P ( x) em vez de P (x). Neste caso: P (x) = x x mudanças + + Então P (x) terá 2ou0raízes reais positivas. P ( x) = x + x mudança + + 1

2 Como há apenas uma mudança de sinal, P (x) terá 1 raiz real negativa. Neste caso não épossível considerar 1-2 (diferença de um número par) porque teria como resultado a existência de -1 raízes reais negativas! Absurdo. A(s) restante(s) raiz(es) (ao todo têm que ser por P (x) ser do o grau ) terão de ser complexas. Não esquecer que as raízes complexas de polinómios de coeficientes reais surgem sempre aos pares conjugados. Temos então duas hipóteses: Hipótese A Hipótese B N o de raízes reais positivas 0 2 N o de raízes reais negativas 1 1 N o de raízes complexas 2 0 (b) Separação das raízes reais pelos números de Rolle: P (x) =x x +1 P (x) =x 2 1 P (x) =0 x 2 1=0 x = ± 1 N os de Rolle:, 1, 1, +. lim P (x) = < 0 x P ( 1 ) > 0 P ( 1 ) > 0 lim P (x) =+ > 0 x + Então existe uma e uma só raiz real no intervalo ], 1 ]. Isto leva-nos a concluir que a Hipótese A da alínea anterior é que está correcta, isto é, P (x) tem apenas uma raiz real e é negativa. Vai-se agora aplicar o método de Newton para achar essa raiz: x k+1 = x k P (x k P (x k ) Note-se que as condições de convergência relacionadas com a 1 a e2 a derivada serem limitadas são sempre verificadas, desde que o intervalo [a, b] seja finito. Quanto ao ponto 2

3 inicial é necessário que P (x 0 )P (x 0 ) > 0, com x o [a, b]. Falta verificar que P (x) 0, x [a, b]. Aplicando então o método de Newton obter-se-ia: r 1 = Nota: Este valor deve ser obtido com a máxima precisão possível, pelo que se deve parar quando em duas iterações consecutivas todos os dígitos significativos forem iguais. (c) Redução de P (x) por divisão por (x r 1 ), com r 1 = x x +1 x r 1 x +r 1 x 2 x 2 +r 1 x +(r 2 1 1) r 1 x 2 x +1 r 1 x 2 +r1 2x (r1 2 1)x +1 (r1 2 1)x r 1(r1 2 1) 1+r 1 (r 2 1 1) Note-se que 1 + ( 1, )(( 1, ) 2 1) (resto da divisão igual a 0), como se esperava uma vez que éraizdep(x). Então: Q(x) = Pode-se agora resolver o polinómio P (x) (x r 1 ) = x2 + r 1 x +(r 2 1 1) = x x Q(x), de 2 o grau, pela fórmula resolvente: Q(x) =0 x = r 1 ± r (r2 1 1) 2 1 x = ± j (a) P (x) tem um coeficiente não inteiro: a 2 =.5. Para ultrapassar esta questão, multiplica-se todo o polinómio por 2, obtendo-se um polinómio diferente do inicial mas comasmesmasraízes: Q(x) =2x 5 +10x 4 +16x +7x 2 4x 4 em que a 0 = 4 e a 5 =2. Portanto: r {1, 2, 4} e s {1, 2}. Temos então os seguintes candidatos a raízes de Q(x) e consequentemente P (x) : ± 1 1, ±1 2, ±2 1, ±2 2, ±4 1, ±4 2 Substituindo-os em Q(x), ouem P (x), vê-se quais são ou não raízes. Ora apenas o -2 é de facto raiz.

4 Como P ( x) tem 4 trocas de sinal, então P (x) tem 4, 2 ou 0 raízes negativas. Isto significa que épossível que -2 seja uma raiz múltipla. Para que -2 seja uma raiz dupla de Q(x) é preciso que também seja raiz da 1 a derivada de Q(x) : Q (x) =10x 4 +40x +48x 2 +14x 4 Q ( 2) = 0 De igual modo, para verificar se -2 é uma raiz tripla de raiz da 2 a derivada: Q(x) é preciso que também seja Q (x) =40x + 120x 2 +96x +14 Q ( 2) = 2 Portanto -2 é apenas uma raiz dupla de Q(x) e de P (x). Então podemos reduzir o polinómio P (x) : R(x) = P (x) (x +2) 2 = x + x (b) R(x) =x + x N o de raízes reais positivas: 1 N o de raízes reais negativas: 2 ou 0 Determinação dos números de Rolle: R (x) =x 2 +2x =0 x =0 x = 2 Números de Rolle:, 2, 0, + lim R(x) = < 0 x R( 2 ) < 0 R(0) = 0.5 < 0 lim R(x) =+ > 0 x + Logo: [a, b] =[0, + [ e há uma e uma só raiz real (positiva) neste intervalo. Aplicando o método de Newton, obteríamos r =

5 (c) Para determinar as duas raízes complexas que faltam, vamos reduzir novamente o polinómio: S(x) = R(x) (x r ) = x2 +(1+r )x + r (1 + r )=x x R(x) Note-se que o resto de (x r ) é: 0.5+r 2(1 + r ) , como se esperava uma vez que éraizder(x). Aplicando a fórmula resolvente, temos: x = ± = ± j

6 PROBLEMAS PROPOSTOS 1 Considere o polinómio P (x) =x 4 +6x +15x 2 +18x +10,oqualsó tem raízes complexas. (a) Sabendo que: omódulo das raízes s k do polinómio genérico P n (x) = n i=0 a i x i obedece a: s k 1+ max a i 0 i n 1 a n (k =1, 2,...,n) determine o raio do círculo em torno da origem do plano complexo que contém todas as raízes (reais ou complexas). (b) Para achar as raízes complexas pelo método de Newton (normal), éprecisopartirdeum valor inicial complexo, e depois usar aritmética complexa. Partindo então da raiz (com parte imaginária positiva) do binómio x 2 +6x + 15, aplique o método de Newton para achar a primeira raiz complexa (s 1 ). Marque a sequência de valores obtidos no plano complexo. (c) Divida o polinómio pelo factor quadrático (x s 1 )(x s 1 )=x2 2Real(s 1 )x +( s 1 ) 2 e calcule as restantes raízes pela fórmula resolvente. 2 Ache todas as raízes reais e complexas dos seguintes polinómios, com a máxima precisão possível: (a) x x x 2 +1 ; (b) x 4 +2x x 2 +10x +25 ; (c) x 5 + x 4 2x + x +1 ; (d) [ Conte, de Boor ], x 5.7x x 10.8x x 6.8 ; (e) [ Conte, de Boor ], x 8 170x x x (a) s k 19 SOLUÇÕES E TÓPICOS DE RESOLUÇÃO (b) P (x) =x 4 +6x +15x 2 +18x +10 Considerando apenas os três termos de maior grau de P (x) (binómio Q(x)): Q(x) =x 2 +6x +15 Como ponto inicial do método de Newton, vamos utilizar a raiz de complexa positiva: Q(x) com parte Q(x) =0 x = ± j 6 Aplicando então o método de Newton a P (x) (com x 0 = +j 6 ), temos: 6

7 x i = x i 1 + x i 1 y i = P (x i ) x i = P (x i) P (x i ) i Real Imag Real Imag Real Imag E E+01.98E E E E E-01.96E E E E E E E E E E E E E E-0.05E-02.1E E E E E E E E E E E-15.11E E E-16 Raízes: s 1 = 2 ± j. (c) Reduzindo o polinómio inicial, obtemos: P (x) R(x) = (x s 1 )(x s 1 ) = x4 +6x +15x 2 +18x +10 x 2 +4x +5 = x 2 +2x +2 Calculando as raízes de R(x) pela fórmula resolvente, temos então: R(x) =0 x = 1 ± j Raízes: s 2 = 1 ± j. 2 (a) ± , ± , ±j ; (b) , , ± j ; (c) 1, 1, 1, 1, 1 ; (d) 1.7, 1 ± j, ±j 2 ; (e) ±10, ±2, ±8, ± 2. AMG, IMF, JFO, JPF 7