Notas sobre os anéis Z m

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1 Capítulo 1 Notas sobre os anéis Z m Estas notas complementam o texto principal, no que diz respeito ao estudo que aí se faz dos grupos e anéis Z m. Referem algumas propriedades mais específicas dos subanéis de Z m, e estabelecem resultados preliminares sobre homomorfismos e isomorfismos definidos nestas estruturas. 1.1 Subgrupos e Subanéis de Z m No contexto de um dado anel A, é em geral indispensável distinguir cuidadosamente os seus subgrupos, os seus subanéis, e os seus ideais. Exemplo No anel Z[i] dos inteiros de Gauss, note-se que os imaginários puros formam um subgrupo que não é subanel, e os inteiros usuais formam um subanel que não é um ideal. Tal não é o caso nos anéis Z m e em Z, onde qualquer subgrupo é um subanel, e qualquer subanel é um ideal. No que se segue, e quando no contexto de um destes anéis (Z m ou Z), usaremos sobretudo o termo subanel, mas esta opção é essencialmente arbitrária. Recordamos que Z m tem precisamente um subanel com n elementos, para cada um dos divisores n de m. Em particular, o número de subanéis de Z m é o número de divisores naturais de m, que é muito fácil de calcular sabendo a factorização prima de m. O subanel de Z m com n elementos é gerado pela classe d, onde d = m/n, e portanto é formado pelas classes da forma dk, e designado por < d >. Exemplo Z 40 tem 8 subanéis (subgrupos, ideais), porque 40 = tem (3 + 1)(1 + 1) divisores naturais. O seu único subanel com 4 elementos é gerado por 10, porque 10 = 40/4. Temos neste caso < 10 >= {10, 20, 30, 0}. 1

2 2 CAPÍTULO 1. NOTAS SOBRE OS ANÉIS Z M Quando m é claro do contexto, designamos por B n o subanel de Z m com n elementos. Algumas das questões sobre B n que desejamos esclarecer são: Quais são os geradores de B n? Quando é que B n é unitário? Sendo B n unitário, qual é a sua identidade? Exemplo É fácil ver que em Z 36 temos B 3 =< 12 >=< 24 >, e portanto 24 é igualmente gerador de B 3. O subanel B 3 não é unitário, e na verdade o produto de quaisquer dois dos seus elementos é sempre nulo (12x 12y = 144xy = 0) Geradores dos Subanéis de Z m Recorde-se do texto principal que no anel Z m, onde m = nd, < a >=< d >= B n se e só se d = mdc(a, m), i.e., Teorema Os geradores de B n Z m, onde m = nd, são as classes dos inteiros a que satisfazem mdc(a, m) = d. Como a = dx e mdc(a, m) = mdc(dx, dn) = d, temos mdc(x, n) = 1. A contagem e cálculo dos geradores a reduz-se assim à contagem e cálculo dos naturais 0 < x < n primos relativamente a n, que são em número de ϕ(n), onde ϕ é a clássica função de Euler. Notamos que B n tem tantos geradores quantos os geradores de Z n, e é igualmente fácil de verificar que os restantes elementos não-nulos de B n são divisores de zero. Exemplos Consideramos primeiro o caso de B 12 em Z 36 : B 12 =< 3 >, porque 36 = Os geradores de B 12 são da forma a = 3x, com mdc(3x, 36) = 3, donde mdc(x, 12) = 1. Os valores relevantes para x são 1, 5, 7 e 11, e portanto os geradores de B 12 são as classes 3, 15, 21 e No caso do subanel B 9 do mesmo anel Z 36 temos: B 9 =< 4 >, porque 36 = 4 9. Os geradores de B 9 são da forma a = 4x, com mdc(x, 9) = 1. Os valores possíveis para x são 1, 2, 4, 5, 7 e 8, e portanto os geradores de B 9 são as classes 4, 8, 16, 20, 28 e 32.

3 1.1. SUBGRUPOS E SUBANÉIS DE Z M Subanéis Unitários de Z m Como já vimos, em geral os anéis B n não são unitários, e portanto não podem ser sempre isomorfos ao correspondente anel Z n. Exemplos O único subanel não-trivial de Z 4 é B 2 = {0, 2}. O anel B 2 não é unitário, porque o produto de quaisquer dois dos seus elementos é sempre nulo: xy = 0 para quaisquer x, y B 2, donde B 2 Z Os subanéis não-triviais de Z 6 são B 2 =< 3 >= {3, 0}, e B 3 =< 2 >= {2, 4, 0}. Tanto B 2 como B 3 são anéis unitários, sendo 3 a identidade de B 2, e 4 a identidade de B 3. Temos na realidade B 2 Z 2 e B 3 Z O subanel B 12 em Z 36 não é unitário. Podemos verificar este facto notando, por exemplo, que os produtos de elementos de B 12 não reproduzem todos os 12 elementos de B 12 : se x, y B 12 então x = 3n e y = 3m, donde xy = 9nm B 4, que tem apenas 4 elementos. 4. O subanel B 9 em Z 36 é unitário. Vimos nos exemplos que B 9 =< 28 >, e como 28 2 = (mod 36), temos 28k 28 = 28k, ou seja, x 28 = x, para qualquer x B 9. Passamos a estabelecer o seguinte resultado: Teorema Sendo m = nd, então B n Z m é unitário se e só se mdc(n, d) = 1, e neste caso a sua identidade i é determinada por { i 0 (mod d) e ( ) i 1 (mod n). Demonstração. Temos duas afirmações a provar: Supomos primeiro que B n Z m é unitário, com identidade i. É evidente que d B n, e portanto i d = d, ou seja, id d (mod m). Notamos que esta última congruência é equivalente a (a) i 1 (mod n). Como i B n =< d >, é igualmente claro que d i, ou seja, (b) i 0 (mod d). Segue-se de (b) que i = dx, e de (a) que dx 1 (mod n), donde d tem inverso (mod n), e portanto mdc(n, d) = 1.

4 4 CAPÍTULO 1. NOTAS SOBRE OS ANÉIS Z M Supomos agora que mdc(n, d) = 1, e recordamos que o Teorema Chinês do Resto garante a existência de uma solução i para o sistema ( ), que é aliás única (mod m). Para mostrar que i é a identidade de B n, notamos que (1) i satisfaz a equação i 2 = i, porque, como d i e n (i 1), é claro que m i(i 1) = i 2 i, ou seja, i 2 i (mod m). (2) i é um gerador de B n, porque como i 1 (mod n) então mdc(x, n) = 1, donde mdc(i, m) = mdc(dx, dn) = d. (3) De acordo com (2) qualquer elemento b B n é da forma b = ik, e de acordo com (1) temos b i = ik i = i 2 k = ik = b. Concluímos assim que i é efectivamente a identidade de B n. Corolário As identidades dos subanéis unitários de Z m são as soluções da equação x 2 = x em Z m. Demonstração. Vimos na demonstração do teorema anterior que a identidade de B n é solução da equação x 2 = x em Z m. Resta-nos por isso mostrar que qualquer solução da equação x 2 = x em Z m é identidade de algum subanel de Z m. Supomos para isso que i 2 = i em Z m, ou seja, i(i 1) = 0, ou ainda, i(i 1) 0 (mod m). Sendo d = mdc(i, m), é óbvio que i 0 (mod d). Escrevemos m = dn e i = dx, e notamos que i(i 1) 0 (mod m) x(i 1) 0 (mod n). Como mdc(x, n) = 1, segue-se que i 1 0 (mod n), e concluímos que i 0 (mod d) e i 1 (mod n). Em particular, e de acordo com a demonstração anterior, temos mdc(n, d) = 1 e B n é um anel unitário com identidade i. Exemplos Os subanéis triviais de Z m, ou seja, {0} e Z m, são unitários, e correspondem às decomposições d = m, n = 1, e d = 1, n = m. 2. O anel Z m tem subanéis não-triviais unitários se e só se m tem mais do que um divisor primo. É fácil ver que se m tem n divisores primos distintos então Z m tem 2 n subanéis unitários, incluindo os subanéis triviais dos 9 subanéis de Z 36 são unitários. Os subanéis unitários não triviais são B 4 e B 9.

5 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM Z M 5 A identidade de B 9 calcula-se resolvendo o sistema { i 0 (mod 4) i 1 (mod 9) { 1 + 9x 0 (mod 4) i = 1 + 9x { x 3 (mod 4) i = 1 + 9x { x = 3 + 4y i = 1 + 9(3 + 4y) i 28 (mod 36) A A identidade de B 4 calcula-se resolvendo o sistema { i 0 (mod 9) i 1 (mod 4) { i = 9x 9x 1 (mod 4) { i = 9x x 1 (mod 4) { i = 9(1 + 4y) x = 1 + 4y i 9 (mod 36) 4. Se m = nd e mdc(n, d) = 1 então as identidades i n de B n e i d de B d satisfazem i n + i d = 1 e i n i d = 0 (porquê?). Em particular, x 2 x = (x i n )(x i d ) no anel Z m [x]. Continuando o exemplo anterior, temos em Z 36 que x 2 x = (x 9)(x 28). 1.2 Homomorfismos definidos em Z m Supomos aqui que A é um qualquer grupo (resp., anel). Propomo-nos determinar os homomorfismos de grupo (resp., de anel) φ : Z m A. Começamos por estudar o problema mais simples dos Homomorfismos definidos em Z Supondo que G é um grupo, é muito fácil verificar que Teorema Para qualquer elemento a G existe um único homomorfismo ψ : Z G tal que ψ(1) = a G.( 1 ). Demonstração. Usando notação multiplicativa para o grupo G, temos que se ψ é um homomorfismo e ψ(1) = a G então ψ(n) = a n para qualquer n N (por indução) ψ(0) = 1 = a 0, e ψ( n) = ψ(n) 1 = a n para qualquer n N. Concluímos assim que ψ(n) = a n para qualquer n Z. Como esta função é um homomorfismo de grupos, existe um único homomorfismo que satisfaz a condição ψ(1) = a. 1 É por esta razão que Z é o chamado grupo livre no conjunto X com um elemento.

6 6 CAPÍTULO 1. NOTAS SOBRE OS ANÉIS Z M Claro que escrevemos ψ(n) = na se G é um grupo aditivo, em particular se G = A é um anel. Notamos que: ψ(z) =< a > é o subgrupo cíclico de G gerado por a, e portanto ψ é sobrejectivo se e só se G é cíclico e é gerado por a. Registamos que G é cíclico se e só se existe um homomorfismo sobrejectivo ψ : Z G. ψ é injectivo se e só se o grupo gerado por a é infinito, caso em que (Z, +) < a >. Em particular, qualquer grupo cíclico infinito é isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros. Se G = A é um anel, a A e ψ(n) = na, então ψ é um homomorfismo de anel se e só se a 2 = a, e neste caso a é a identidade do subanel B =< a >. Exemplos A função f 2 : Z Z 6 dada por f 2 (x) = 2x é um homomorfismo de grupos. Existem exactamente 6 homomorfismos de grupo, dados por f k (x) = kx. 2. Como Z 6 só tem os geradores 1 e 5, apenas os homomomorfismos f 1 e f 5 são sobrejectivos. 3. Temos em Z 6 que x 2 = x se e só se x {0, 1, 3, 4}. Concluímos assim que os homomorfismos f 0, f 1, f 3 e f 4 são de anel. 4. Existem 1000 homomorfismos de grupo f : Z Z 1000, cada um da forma f(x) = ax, onde a = f(1) Z Como Z 1000 tem ϕ(1000) = 400 geradores (elementos invertíveis), 400 destes homomorfismos são sobrejectivos, porque se a Z 1000 então f(z) =< a >= Z Z 1000 tem 2 subanéis unitários não triviais, que são B 125 e B 8. As respectivas identidades obtêm-se de: B 125 : i 0 (mod 8) e i 1 (mod 125) i 376 (mod 1000), e B 8 : i 0 (mod 125) e i 1 (mod 8) i 625 (mod 1000). Existem portanto quatro homomorfismos de anel f : Z Z 1000, dados por f 0 (x) = 0, f 1 (x) = x, f 376 (x) = 376x e f 625 (x) = 625x. 6. Em geral, se f : Z A é um homomorfismo, e f(z) tem n elementos, então N(f) =< n >. Porquê? Homomorfismos definidos em Z m Suponha-se que G é um grupo multiplicativo. As seguintes observações são simples mas fundamentais: Tal como no caso de Z, qualquer homomorfismo ψ : Z m G é determinado pelo seu valor ψ(1) = a G, porque, sendo n Z, temos necessariamente nψ(1) = a n = ψ(n).

7 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM Z M 7 Contrariamente ao que observámos no caso de Z, o valor a G não é arbitrário, porque quando n = m é indispensável que mψ(1) = a m = ψ(m) = ψ(0) = 1, ou seja, a tem que satisfazer a equação a m = 1.( 2 ) Se a m = 1 então podemos definir ψ(r) = a r para 0 r < m, e notamos que a equação ψ(n) = a n é válida para qualquer n = mq+r Z, donde se segue que ψ é um homomorfismo de grupos. Concluímos que Teorema Dado a G com a m = 1 existe um único homomorfismo ψ : Z m G tal que ψ(1) = a, dado por ψ(n) = a n, para qualquer n Z. É claro que em notação aditiva escrevemos ψ(n) = na, e devemos ter ma = 0. Notamos ainda que O homomorfismo ψ é sobrejectivo se G é gerado por a, i.e., se e só se G é cíclico, e a é um dos seus geradores. ψ é injectivo quando m é o menor natural tal que a m = 1. Isto ocorre exactamente quando o subgrupo < a > gerado por a tem m elementos, e neste caso ψ : Z m < a > é um isomorfismo. Registamos em particular que se G é um grupo cíclico de m elementos gerado por a então ψ(n) = a n é um isomorfismo entre Z m e G, ou seja, qualquer grupo cíclico com m elementos é isomorfo a Z m. ( 3 ) Continuando a observação anterior, podemos concluir que os grupos R n (das raízes-n da unidade), B n e Z n são isomorfos. Se G = A é um anel, o homomorfismo de grupo ψ : Z m G é de anel se e só se a 2 = a, e neste caso a é a identidade do anel gerado por a. Exemplos Para determinar os homomorfismos φ : Z 8 S 3, notamos que são da forma φ(n) = π n, onde π S 3, e π 8 = 1. Notamos que π 8 = 1 só ocorre quando π é a identidade de S 3, ou quando π é uma das 3 transposições α, β e γ. Existem por isso 4 homomorfismos φ i : Z 8 S 3, dados por φ 1 (n) = 1, φ α (n) = α n, φ β (n) = β n, φ γ (n) = γ n. 2. Para determinar os homomorfismos φ : Z 8 Z 20, notamos que são da forma ψ(n) = na, onde a Z 20, e 8a = 0. Temos 8a = a 5 2a 5 a, 2 Note que estas observações são aplicáveis a qualquer grupo cíclico. Se H é cíclico, e β é um seu gerador, então H = {β n : n Z}, e qualquer homomorfismo ψ : H G fica determinado por a = ψ(β), porque ψ(β n ) = a n. É claro que se βm = 1 então devemos ter igualmente a m = 1. 3 Vimos já que qualquer grupo cíclico infinito é isomorfo a Z (ou Z 0). Podemos por isso dizer que os grupos cíclicos são (a menos de isomorfismos) os grupos Z m, com m 0.

8 8 CAPÍTULO 1. NOTAS SOBRE OS ANÉIS Z M e concluímos que a = 5k = 5, 10, 15, ou 20 = 0. Existem portanto 4 homomorfismos, dados por f 1 (n) = 5n, f 2 (n) = 10n, f 3 (n) = 15n, e f 4 (n) = 0. Destes, apenas f 1 e f 4 são homomorfismos de anéis. 3. As imagens e núcleos dos homomorfismos acima referidos são f 1 (Z 8 ) =< 5 >, com 4 elementos, N(f 1 ) =< 4 >, com 2 elementos, f 2 (Z 8 ) =< 10 >, com 2 elementos, N(f 2 ) =< 2 >, com 4 elementos, f 3 (Z 8 ) =< 3 >=< 5 >, N(f 3 ) =< 4 >, e f 4 (Z 8 ) =< 0 >= {0}, N(f 4 ) = Z Podemos generalizar estas observações como se segue: Sendo d = mdc(n, m) e m = dk, os homomorfismos φ : Z n Z m são da forma φ(x) = ax, onde a é um qualquer múltiplo de k. Basta notar que m na k a. 5. Se d é um divisor comum de n e de m, existem homomorfismos φ : Z n Z m tais que φ(z n ) = B d Z m.por exemplo, para determinar φ : Z 30 Z 45 com φ(z 30 ) = B 5, podemos tomar φ(x) = 9x. Existem na realidade 4 homomorfismos possíveis, já que B 5 tem 4 geradores, sendo que um deles é um homomorfismo de anel, porque B 5 é um anel unitário. 6. Continuando a observação anterior, suponha-se que Z m tem um subanel B n e m = nd. A função φ : Z n Z m dada por φ(x) = dx é um homomorfismo injectivo de grupos e φ(z n ) =< d >= B n. É portanto evidente que os grupos (B n, +) e (Z n, +) são isomorfos, como aliás já observámos anteriormente. Não se segue deste resultado que os anéis B n e Z n sejam isomorfos, mas é fácil adaptar este argumento para mostrar que estes anéis são isomorfos desde que B n seja unitário, para o que basta redefinir φ(x) = ix, sendo i a identidade de B n. 7. A função φ : Z n Z m dada por φ(x) = x é um homomorfismo (aliás, sempre um homomorfismo sobrejectivo de anéis) se e só n1 = 0 em Z m, i.e., se e só se m n. 8. Suponha-se que G = A é um anel unitário, com identidade I e característica m, e ψ : Z m A é dado por ψ(k) = ki. É fácil concluir que Z m ψ(z m ), e em particular deduzir que qualquer anel com m elementos e característica m é isomorfo a Z m. 9. Analogamente, podemos mostrar que se A é um anel unitário com m elementos e (A, +) é um grupo cíclico então os anéis A e Z m são isomorfos, o que generaliza a observação sobre o isomorfismo entre B n e Z n quando B n é unitário. 10. É fácil obter propriedades de uma qualquer grupo cíclico a partir das correspondentes propriedades do grupo Z m apropriado. Por exemplo, conhecendo os subgrupos de Z 8, e um isomorfismo ψ 8 : Z 8 R 8, é fácil descrever todos os subgrupos de R 8 : Z 8 tem 4 subgrupos, que são < 1 >, < 2 >, < 4 >, e < 0 >. A função ψ 8 : Z 8 R 8 dada por ψ 8 (n) = α n é um isomorfismo, desde que α seja um gerador de R 8, e podemos tomar α = e iπ/4.

9 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM Z M 9 Concluímos que os subgrupos de R 8 são ψ 8 (< 1 >) =< α >= R 8, ψ 8 (< 2 >) =< α 2 >= {α 2, α 4, α 6, 1} = R 4, ψ 8 (< 4 >) =< α 4 >= {α 4, 1} = R 2, ψ 8 (< 0 >) =< α 0 >= {1}. Analogamente, como os geradores de Z 8 são 1, 3, 5, e 7, concluímos que Os geradores de R 8 são α, α 3, α 5, e α 7. Para um exemplo algo mais complexo, determinámos acima os homomorfismos de grupo de Z 8 Z 20. Podemos daqui obter os homomorfismos de R 8 R 20 : Se β é um gerador de R 20 (e.g., β = e iπ/10 ), então ψ 20 : Z 20 R 20 dada por ψ 20 (n) = β n é um isomorfismo de grupos, ψ8 1 : Z 8 R 8 dada por ψ8 1 (αn ) = n é um isomorfismo de grupos, Os homomorfismos de Z 8 Z 20 são como vimos as funções f k : Z 8 Z 20 da forma f k (n) = 5kn. Podemos assim concluir que os homomorfismos de R 8 R 20 são da forma φ k = ψ 20 f k ψ8 1, ou seja, φ k(α n ) = β 5kn, tal como ilustrado no diagrama seguinte. Z 8 f k (n)=5kn Z 20 ψ 1 8 (αn )=n ψ 20(n)=β n R 8 φ k (α n )=β 5kn R 20 Existem assim 4 homomorfismos φ : R 8 R 20, dados por φ 1 (α n ) = β 5n, φ 2 (α n ) = β 10n, φ 3 (α n ) = β 15n, e φ 4 (α n ) = 1. Note-se a título de curiosidade que, como β 5 = α 2, temos φ k (α n ) = α 2kn, i.e., φ k (z) = z 2k ( 4 ). As funções aqui referidas são portanto φ 1 (z) = z 2, φ 2 (z) = z 4, φ 3 (z) = z 6, e φ 4 (z) = z 8 = 1. Recordamos finalmente que a projecção canónica π m : Z Z m é um homomorfismo sobrejectivo de anéis. Se φ : Z m A é um homomorfismo de grupo (resp. de anel), então a função composta ψ = φ π m : Z A é um homomorfismo do mesmo tipo, e na realidade o teorema pode ser reformulado como se segue 4 É simples generalizar esta observação ao cálculo dos homomorfismos de R n R m, para quaisquer valores de n e de m.

10 10 CAPÍTULO 1. NOTAS SOBRE OS ANÉIS Z M Teorema Os homomorfismos de grupo (resp., de anel) φ : Z m A são da forma φ(x) = ψ(x), onde ψ : Z A é um homomorfismo de grupo (resp., de anel) tal que N(π m ) N(ψ), i.e., tal que m N(ψ). π m Z Z m ψ A φ Esta versão é facilmente generalizável, como veremos, a quaisquer grupos e anéis quociente.

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