Sucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.

Transcrição

1 Sucessões Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos,, no conjunto dos números reais,. A expressão u n que associa a cada n a sua imagem designa-se por termo geral da sucessão. Representa-se a sucessão por u n n,u n n, ou, apenas, u n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, ar, a2r, o seu termo geral é u n a n1r. 2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, ar, ar 2, o seu termo geral é u n ar n1. Pode-se provar que: a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, u n, de razão r e primeiro termo a, é dada por S n a u n n; 2 a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, com razão r 1 e primeiro termo a, é dada por S n a 1rn 1r. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 1

2 Limite de uma sucessão Os vários casos da definição de limite sucessões podem ser vistos como casos particulares da definição de limite, segundo Cauchy, para funções com domínio, quando o argumento tende para. Definição: O número real a é limite da sucessão u n se para qualquer 0, existe M 0 tal que, para qualquer n, se n M, então u n a. Isto é, 0 M0 n : n M u n a. Neste caso, diz-se que u n converge para a ou que u n tende para a e escreve-se lim u n a, limu n a ou u n a. n Uma sucessão u n diz-se convergente se existir um número real a tal que u n a; diz-se divergente caso contrário. Definição: Diz-se que uma sucessão u n tem limite mais infinito (ou que tende para mais infinito) se, para qualquer L 0, existe M 0 tal que, para qualquer n, se n M, então u n L. Isto é, L0 M0 n : n M u n L. Neste caso, diz-se que u n é um infinitamente grande positivo e escreve-se lim u n, limu n ou u n. n Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 2

3 Diz-se que u n tem limite menos infinito (ou que tende para menos infinito) se, para qualquer N 0, existe M 0 tal que, para qualquer n, se n M, então u n N. Isto é, N0 M0 n : n M u n N. Neste caso, diz-se que u n é um infinitamente grande negativo e escreve-se lim u n, limu n ou u n. n Diz-se que u n tem limite infinito (ou que tende para infinito) se u n. Neste caso, diz-se que u n é um infinitamente grande e escreve-se lim u n, limu n ou u n. n Diz-se que u n tende para infinito sem sinal determinado, se u n tende para e não tende nem para nem para. Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único. Oservação: Das definições, resulta imediatamente que: sendo f uma função real de variável real, com D f, e a n a sucessão de termo geral a n fn, se lim x fx L (finito ou infinito), então lim n a n. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 3

4 Classificação de uma sucessão Uma sucessão diz-se: convergente (se tem limite finito) propriamente divergente se tende para ou para divergente oscilante se tende para infinito sem sinal determinado ou se não tem limite Limite da potência: Sendo r um escalar real, tem-se que:, se r 1 (é prop. divergente) 0, se r 1 (é convergente) limr n 1, se r 1 (é convergente) não existe, se r 1 (é oscilante), se r 1 (é oscilante) Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 4

5 Subsucessões Intuitivamente, uma subsucessão de u n é uma sucessão extraída de u n, considerando certos índices, em número infinito, por ordem crescente. Por exemplo: u 2,u 4,,u 2k, (subsuc. dos termos de ordem par); u 1, u 3,,u 2k1, (subsuc. dos termos de ordem ímpar); u p1,u p2, u p3 (subsuc. dos termos de ordem superior a p, com p ). Proposição: Toda a subsucessão duma sucessão com limite tem o mesmo limite. Corolário: Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites diferentes, a sucessão não tem limite. Proposição: Se as subsucessões dos termos de ordem par e dos termos de ordem ímpar de u n têm o mesmo limite, então u n tende para esse limite. Definição: Chama-se limite superior de u n ao maior dos limites (finitos, ou ) das subsucessões de u n e representa-se por limu n. Chama-se limite inferior de u n ao menor dos limites das subsucessões de u n e representa-se por limu n. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 5

6 Propriedades Da definição, é imediato que: a convergência ou divergência de uma sucessão (e o valor do limite) não é alterada se suprimirmos ou modificarmos um número finito dos seus termos. uma sucessão com todos os termos iguais a uma certa constante converge para essa constante. Propriedades dos limites finitos Proposição: Se u n e v n são sucessões convergentes, tais que, a partir de certa ordem, u n v n, então limu n limv n. Proposição: Se a n e b n são sucessões tais que a n a e b n b, com a, b, então: 1. a n b n a b; 2. ca n ca, sendo c ; 3. a n b n ab; 4. a n b n a b, se b n 0, n e b 0; 5. se p, então an p a p ; 6. se p e a n 0, n, então p a n p a ; 7. se p e p é ímpar, então p a n p a ; 8. se a n a então a n a. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 6

7 Definição: Uma sucessão diz-se um infinitésimo se tende para zero. Definição: Uma sucessão a n diz-se limitada se for majorada e minorada, ou seja, se m,m n : m a n M. Proposição: Se a n é um infinitésimo e b n é uma sucessão limitada, entãoa n.b n é um infinitésimo. Propriedades dos limites infinitos Proposição: Sendou n e v n duas sucessões, tem-se que: 1. se u n e, a partir de certa ordem, u n v n, então v n ; 2. se u n e, a partir de certa ordem, v n u n, então v n. Para simplificar, frequentemente as propriedades algébricas dos limites infinitos são escritas na seguinte forma (que é uma mera notação abreviada): ; ; a, se a ;. ;. ;. ; a 0, se a ; 0 ; a 0, se a 0 (finito ou infinito). Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 7

8 Os símbolos ; ; ; 0. ; 0. ; 0. ; 0 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 designam-se por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das sucessões envolvidas (não resulta imediatamente de uma propriedade das operações). Limites notáveis Número de Neper: lim 1 1 n n e. Proposição (caso geral): Se u n e k, então lim 1 k u n u n e k. Observação: Recordem-se os seguintes limites de funções: lim sen x x 1; x0 lim x ex x ; lim ex 1 x 1; x0 lim lnx1 x 1; x0 lim x lnx x 0. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 8

9 Estes limites aplicam-se nas sucessões, tendo-se em conta que: sendo f uma função real de variável real e x n uma sucessão de elementos de D f, diferentes de a, se lim fx L (finito ou infinito) e x n a, então fx n L. xa Acetatos complementares (abordagem mais rigorosa das propriedades algébricas dos limites infinitos) Proposição (Propriedades da soma): Sendou n e v n sucessões, tem-se que: 1. se u n e v n então u n v n ; 2. se u n e v n então u n v n ; 3. se u n e v n a, com a, então u n v n [se o limite de u n for ou, o limite da soma também o é]. Proposição (Propriedades do produto): Sendou n e v n sucessões, tem-se que: 1. se u n e v n, então u n.v n [casou n e v n tendam para ou para, podemos mesmo saber se u n. v n tende para ou para ]; 2. se u n e v n b \0, então u n.v n [casou n tenda para ou para, pelo sinal do produto, sabemos se u n. v n tende para ou ]. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 9

10 Notação abreviada (exemplos): As propriedades dadas são frequentemente escritas na forma a, se a.. Esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada exactamente no sentido das propriedades correspondentes da proposição anterior e não como se estivessemos realmente a "somar ou multiplicar infinitos". Os símbolos são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das sucessões envolvidas (não resulta imediatamente de uma propriedade das operações). Proposição: Sendou n uma sucessão de termos diferentes de zero, tem-se que: 1. se u n, então 1 u n 0 (o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo); 2. se u n 0, então 1 u n (o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande). Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 10

11 Nota: Seja u n uma sucessão que tende para a. Se, a partir de certa ordem, u n a, diz-se que u n tende para a por valores superiores e escreve-se u n a. Se, a partir de certa ordem, u n a, diz-se que u n tende para a por valores inferiores e escreve-se u n a. Caso u n 0, pelo seu sinal poderemos saber se a sucessão 1 u n tende para ou: se u n 0, então u 1 n se u n 0, então u 1 n ;. Proposição: Sendou n e v n sucessões, comv n de termos diferentes de zero, tem-se que: 1. se v n e u n tem limite finito, então u n v n 0; 2. se v n 0 e u n tem limite finito ou infinito e diferente de zero, então u n v n [neste caso, dependendo dos sinais de u n e de v n, poderemos averiguar se u n v n tende para ou ]. Notação abreviada: a 0 a 0 0, se a 0 (finito ou infinito) Os seguintes casos são também símbolos de indeterminação: 0 0 Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 11

12 Propriedades da exponenciação Proposição: Sejamu n e v n duas sucessões, comu n de termos positivos. Se então u n a e v n b, u n v n a b. Na prática, em muitos dos restantes casos, o mais eficaz é recorrer à transformação u n v n e v nlnu n e aplicar as propriedades do produto e das funções exponencial e logaritmo. Símbolos de indeterminação associados à exponenciação: Através da transformação indicada, estes casos podem reduzir-se a indeterminações do tipo 0, 0 e 0, respectivamente. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 12

13 Séries numéricas Definições básicas Chama-se série numérica a uma expressão do tipo em geral representada por n1 a 1 a 2 a n, a n, n 1 a n ou a n, onde a n é uma sucessão de números reais. a 1, a 2, termos da série a n termo geral da série. Designam-se por somas parciais da série S 1 a 1, S 2 a 1 a 2, S 3 a 1 a 2 a 3, Chama-se soma parcial de ordem n da série n1 a n ou seja a n S n i1 a i S n a 1 a 2 a n. a A S n chama-se sucessão das somas parciais da série. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 13

14 Definição: Diz-se que n1 a n é uma série convergente se a sucessão das suas somas parciais, S n, for convergente. Neste caso, ao número real chama-se soma da série. S lims n Por abuso de notação, escreve-se também S n1 a n. Uma série que não é convergente diz-se divergente. Diz-se que duas séries têm a mesma natureza se forem ambas convergentes ou ambas divergentes. Observação: Associadas à série n1 a n temos duas sucessões: a n, a sucessão a partir da qual definimos a série; S n, a sucessão das suas somas parciais. A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais. O facto de a n ser convergente não garante que a série n1 a n seja convergente. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 14

15 Exemplos: 1. A série n1 1 é divergente, pois pelo que lims n. S n n 2. A série n1 1 n é divergente, pois S n 1 se n é ímpar 0 se n é par, pelo que S n não tem limite Para a série n1 tem-se 2 n1 a n 1 2 n1, pelo que S n a n n 2. Portanto, como sucessãos n é convergente, a série é convergente (e a sua soma é 2). Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 15

16 Séries Geométricas Séries importantes Definição: Chama-se série geométrica de razão r e primeiro termo a à série n1 ar n1 aarar 2 ar n1, em que r e a são números reais não nulos. Tem-se que S n a. 1rn 1r, se r 1 a.n, se r 1, pelo que se r 1, a série é convergente e a sua soma é S a 1r ; se r 1, a série é divergente. Então, a série geométrica é convergente sse r 1; neste caso, a sua soma é S a 1r. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 16

17 Séries Redutíveis ou de Mengoli Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou séries telescópicas às séries que se podem escrever na forma u n u nk, n1 onde k é um número natural (fixo) e u n é uma sucessão real. Exemplos: 1. A série n1 1 nn 1 pode escrever-se na forma n1 1 n 1 n1, pelo que é uma série de Mengoli, com k 1 e u n 1 n. 2. A série n1 n n2 é uma série de Mengoli, com k 2 e u n n. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 17

18 Convergência duma série de Mengoli: 1º Caso: se k 1, a série escreve-se na forma pelo que u n u n1, n1 S n u 1 u 2 u 2 u 3 u n u n1 u 1 u n1. Portanto: a) se u n é convergente, a série é convergente e a sua soma é S u 1 limu n ; b) se u n é divergente, a série é divergente. 2º Caso: se k 1, então Portanto: S n u 1 u 2 u k u n1 u n2 u nk. a) se u n é convergente, a série n1 u n u nk é convergente e a sua soma é S u 1 u 2 u k k limu n (note-se que limu n1 limu nk limu n ; b) se u n é divergente, nada se pode concluir sem estudar directamente a sucessão S n. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 18

19 Propriedades gerais das séries Comecemos por observar que a natureza de uma série não é alterada se modificarmos ou suprimirmos um número finito dos seus termos. No entanto a sua soma é, em geral, alterada. Proposição: Sejam a n e b n duas séries convergentes, de somas S e T, respectivamente, e c. Então: 1. a n b n é convergente, com soma ST; 2. a n b n é convergente, com soma ST; 3. ca n é convergente, com soma cs. Observação: Da última alínea, resulta que não se altera a natureza de uma série multiplicando o seu termo geral por uma constante diferente de zero. Questão: Diga o que pode concluir sobre a natureza da série se: 1. a série é a soma de uma série converge e uma série divergente; 2. a série é a soma de duas séries divergentes. Proposição (condição necessária de convergência): Se a n é uma série convergente, então a n 0. Ou seja: se a n não tende para zero, então a n é divergente. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 19

20 Nota: A afirmação recíproca é falsa: se a n 0, nada se pode concluir sobre a natureza da série. Critérios de convergência Recordemos o seguinte: Definição (integral impróprio de 1ª espécie): Seja f uma função contínua no intervalo a,. Chama-se integral impróprio da função f em a, a fxdx lim a fxdx. a O integral impróprio a fxdx diz-se convergente se este limite existe e é finito e diz-se divergente caso contrário. Proposição (critério do integral): Sejam f : 1, uma função positiva, contínua e decrescente e Então a n fn. a série n1 a n sse é convergente o integral impróprio 1 fxdx é convergente. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 20

21 Defenição: Chama-se série de Dirichlet a uma série da forma 1n p, n1 com p número real positivo (fixo). Proposição: Para a série de Dirichlet tem-se que: se p 1, 1n p n1 a série é convergente; se p 1, a série é divergente. Observação: Destaque-se o caso da série de Dirichlet com p 1 (designada por série harmónica): a série 1n n1 é divergente. Séries de termos não negativos Definição: Diz-se que n1 a n é uma série de termos não negativos se a n 0, para qualquer n. Observação: As propriedades já dadas permitem-nos tirar conclusões sobre a natureza das séries só com um número finito de termos negativos, com todos os termos negativos ou só com um número finito de termos positivos, a partir da natureza de séries de termos não negativos. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 21

22 Proposição (1º critério de comparação): Sejam n1 a n n, Então: se n1 b n e n1 b n duas séries tais que, para qualquer 0 a n b n. é convergente, n1 a n é convergente; se n1 a n é divergente, n1 b n é divergente. Observação: Da demonstração do primeiro caso resulta que, se S e T são as somas das séries n1 a n e n1 b n, respectivamente, então S T. Proposição (2º critério de comparação): Sejam a n uma série de termos não negativos e b n uma série de termos positivos tais que a n b n L, com L 0,. Então, as duas séries têm a mesma natureza. Corolário: Sejam a n uma série de termos não negativos e b n uma série de termos positivos tais que a n b n L : se L 0 e b n é convergente, a n é convergente; se L e b n é divergente, a n é divergente. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 22

23 Proposição: (critério de Cauchy, ou da raiz) Seja a n uma série de termos não negativos tal que lim n a n n L (finito ou infinito). Então: se L 1, a n é convergente; se L 1, a n é divergente; se L 1, nada se pode concluir. Proposição (critério de D Alembert, ou da razão): Seja a n (finito ou infinito). uma série de termos positivos tal que lim n a n1 a n L Então: se L 1, a n é convergente; se L 1, a n é divergente; se L 1, nada se pode concluir. Observação: Pode-se provar que, sendo a n uma sucessão de termos positivos: se u n1 u n a (com a finito ou infinito), então n u n a. Assim, o critério da razão resulta do critério da raiz. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 23

24 Séries de termos sem sinal fixo Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Em particular, sendo a n uma sucessão de termos positivos, chama-se série alternada à série de de termos sem sinal fixo 1 n a n. n1 Exemplo: A série n1 1 n 1 n é alternada. Proposição: Se a série n1 a n é convergente, então a série também é convergente. n1 a n Definição: Uma série n1 a n diz-se: absolutamente convergente, se a série n1 a n é convergente; simplesmente convergente, se é convergente mas não é absolutamente convergente. Exemplos: 1. A série n1 1 n 1 n 2 é absolutamente convergente; 2. A série n1 1 n 1 n é simplesmente convergente (não é absolutamente convergente e pode-se provar que é convergente). Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 24

25 Estratégias para estudar a natureza de uma série Segue-se um apanhado dos resultados apresentados a este respeito. O termo geral da série converge para zero? Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir. A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de Mengoli? Se sim, aplicar o teste de convergência específico. A série é de termos não negativos e pode ser comparada com alguma série de tipo especial? Pode ser aplicado o Critério de D Alembert ou o Critério de Cauchy? Se L 1, nada se pode concluir. A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério do integral? Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente convergente? Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 25

26 Séries de Potências Definições básicas As séries de potências são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Sendo x uma variável e c, chama-se série de potências de x c (série de potências centrada em c ou em torno de c), a qualquer série da forma ou seja n0 a n x c n, a 0 a 1 x c a n x c n onde a n é uma sucessão real (cujos termos se designam por coeficientes da série de potências). Em particular, chama-se série de potências de x (série de potências centrada em 0 ou em torno de 0) a qualquer série da forma ou seja n0 a n x n, a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n Ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série de potências, originam uma série numérica convergente chama-se domínio de convergência. Observação: Uma série de potências é uma função, cujo domínio é o domínio de convergência da série de potências. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 26

27 Exemplo importante (série de potências geométrica): O intervalo 1, 1 é o domínio de convergência da série n0 Mais, para qualquer x 1, 1, x n 1 x x 2 x n n0 x n 1 1x. A série n0 x n 1 define a função em 1, 1 1x (e só neste intervalo, apesar de 1 1x estar definida em \1). Raio de convergência e intervalo de convergência O domínio de convergência de uma série de potências de x c nunca é vazio. De facto, n0 a n c c n a a 0. Portanto, c pertence ao domínio de convergência da série. Mais, como veremos de seguida, o domínio de uma série de potências de x c é sempre um intervalo centrado em c. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 27

28 Proposição: Para uma série de potências de x c, é satisfeita exactamente uma das seguintes alternativas: 1. a série de potências é convergente apenas em c; 2. existe um número real R 0 tal que a série de potências é absolutamente convergente para os valores de x tais que x c R e diverge para x c R; 3. a série é absolutamente convergente para todo o x. A este valor R chama-se raio de convergência da série de potências (considerando R 0, no primeiro caso, e R, no terceiro caso). Se R 0, o intervalo c R,c R designa-se por intervalo de convergência da série. Observação: Logo, se R 0 e finito, a série é absolutamente convergente no intervalo c R, c R e divergente em, c R c R,. A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência. Para saber o que se passa nos extremos do intervalo é necessário estudar as séries numéricas correspondentes. Proposição: Seja n0 a n x c n uma série de potências em torno de c então R 1 lim n a n (com R 0, se lim n an e R, se lim n an 0). Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 28

29 Proposição: O raio de convergência de uma série de potências n0 a n x c n, de coeficientes diferentes de zero, é igual a desde que este limite exista. lim a n a n1, Exemplo (série exponencial): A série de potências x n n! n0 1 x x2 2! x3 3! é absolutamente convergente em. xn n! (Veremos que a soma desta série é e x, para qualquer x. Operações com séries de potência Proposição: Sejam fx n0 a n x n e gx 0 b n x n séries de potências de x, com raios de convergência não nulos, e R o raio de convergência da primeira série. Se é um número real e N um número natural, então: 1. fx n0 a n n x n, para x R; 2. fx N n0 a n x nn, para x N R; 3. fx gx n0 a n b n x n, na intersecção dos intervalos de convergência; 4. fx gx n0 a n b n x n, na intersecção dos intervalos de convergência. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 29

30 Observação 2: Resultados análogos são válidos para séries de potências de x c. Derivação e integração de séries de potências Proposição: A função definida por fx n0 a n x c n, com raio de convergência R 0, é diferenciável e primitivável no intervalo c R, c R e tem-se que: f x n1 Pfx n0 na n x c n1 a n x c n1 n 1 C, tendo estas séries o mesmo raio de convergência. Ou seja, uma função definida por uma série de potências de x c, com raio R 0, é derivável e primitivável no intervalo c R,c R e as suas derivada e primitivas são dadas pelas séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a termo a termo (as quais têm o mesmo raio de convergência). Note-se que, se a série de patências tem raio de convergência R 0, as séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a termo a termo também têm raio de convergência R 0. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 30

31 Série de Taylor e série de Mac-Laurin Definição: Seja f uma função com derivada de qualquer ordem em c. Chama-se série de Taylor de f no ponto c à série de potências isto é a f n c n! n0 x c n fc f cx c f c 2! x c 2 fn c n! x c n Chama série de Mac-Laurin de f à série de Taylor de f em c 0, isto é, a ou seja f0 f 0x f 0 2! f n 0 n! n0 x n x 2 fn 0 n! x n Exemplos importantes: 1. A série de Mac-Laurin de e x é x n n! n0 1 x x2 2! x3 3! xn n! Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 31

32 2. A série de Mac-Laurin de sen x é isto é x x3 3! x5 5! 1n x 2n1 2n 1! n0 1 n 2n 1! x2n1 3. A série de Mac-Laurin de cosx é isto é 1 x2 2! x4 4! 1n x 2n 2n! 1 n 2n! x2n n0 Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência da série. Por exemplo, a função fx e 1 x 2 se x 0 0 se x 0. tem derivada de qualquer ordem em \0. Pode-se provar que, em x 0, as suas derivadas, de qualquer ordem, existem e são 0. A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin num intervalo centrado em 0. Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 32

33 Definição: Diz-se que uma função f é desenvolvível em série de Taylor num ponto c se f é soma da sua série de Taylor em algum intervalo centrado em c. Proposição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável num intervalo aberto I, centrado em c, e R n x o resto do seu polinómio de Taylor de ordem n em c. Então, f é soma da sua série de Taylor em c, no intervalo I, sse lim R n x 0, x I. n (Recorde-se a expressão do resto de Lagrange de ordem n: R n x fn1 z n1! x cn1, para algum z entre x e c. ) Exemplos importantes: Por esta proposição, conclui-se que as funções senx, cosx e e x são, em, soma das respectivas séries de Mac-Laurin. Isto é, para qualquer x, 1 senx n n0 2n1! x2n1 x x3 x5 1 n x 2n1 3! 5! 2n1! 1 cosx n n0 2n! x2n 1 x2 x4 1 n x 2n 2! 4! 2n! e x 1 n0 n! xn 1x x2 x3 xn 2! 3! n! Em particular, 1 e. n0 n! Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 33

34 Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências): Se fx n0 a n x c n, num intervalo aberto centrado em c, então a n fn c, para qualquer n n! 0. Observação: Este Teorema garante que, caso uma função seja soma de uma série de potências (num intevalo aberto), então essa série coincide com a sua série de Taylor. Para as funções do exemplo anterior foi necessário determinar a série de Taylor e provar, pela condição suficiente de desenvolvimento, que a função é igual à soma da série de Taylor. Tem-se agora um método que, por vezes, permite obter, de modo mais simples, o desenvolvimento da função em série de Taylor: 1. mostra-se que a função é soma uma certa série de pontências de x c (num intervalo aberto centrado em c), a partir de desenvolvimentos conhecidos e/ou dos resultados sobre derivação e integração de séries; 2. aplica-se o teorema da unicidade do desenvolvimento em série de potências para garantir que essa série é a série de Taylor da função no ponto c. Por exemplo, conclui-se, assim, que: o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 1 n0 1x x n 1 x x 2 x n, x 1, 1. o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de lnx 1 é 1 n n0 x n1 n 1, x 1, 1. é Ana Matos Matemática Aplicada 29/09/2017 Suc. e séries 34