n=1 a n converge e escreveremos a n = s n=1 n=1 a n. Se a sequência das reduzidas diverge, diremos que a série

Transcrição

1 Séries Numéricas Nosso maior objetivo agora é dar um sentido a uma soma de infinitas parcelas, isto é, estudar a convergência das chamadas séries numéricas. Inicialmente, seja (a n ) uma sequência e formemos uma outra sequência (s n ) da seguinte forma: s = a, s = a + a, s 3 = a + a + a 3,... s n = Se a sequência (s n ) convergir para um número real s diremos que a série a n converge e escreveremos a n = s A sequência (s n ) será dita sequência das somas parciais ou reduzidas da série a n. Se a sequência das reduzidas diverge, diremos que a série a n diverge. Nos referiremos a a n como termo geral da série a n. Vejamos alguns exemplos. Exemplo ) qn A sequência das reduzidas já foi estudada em sala de aula e, neste caso, temos que qn converge se, e somente se, q <. Neste caso, ocorre algo não muito comum, isto é, conseguimos determinar a soma s que é igual a q q i=. Esta série é conhecida como série geométrica. Exemplo (A série harmônica) Seja a série /n. Também mostramos em sala que esta série diverge. Exemplo 3 n(n+) Observe que n(n+) = n n+ (Observe com calma este exemplo!) s n = e daí teremos i= i(i + ) = i= ( i i + ) ) = = / + / /3 + /3 / /n /(n + ) = /(n + ) Portanto s n e daí teremos n(n + ) = a i

2 O teorema abaixo é uma consequência direta do teorema análogo para sequências. Teorema 4 Sejam a n e séries convergentes e k um número real, então: i) (a n + ) converge e além disso teremos (a n + ) = ii) ka n converge e além disso teremos a n + ka n = k Uma proposição de fácil demonstração, mas que muitas vezes se revela muito útil é Proposição 5 Seja a n uma série de termos positivos, isto é, a n > 0 para todo n. Então a n será convergente se, e somente se, a sequência das reduzidas (s n ) é limitada. a n Proof. Basta notar que sendo a n > 0 a sequnência (s n ) será monótona e portanto convergirá se, e somente se, for limitada.(demonstração feita em sala!) Exemplo 6 Já sabemos que /n diverge e portanto pela proposição acima não é limitada. Tomemos a série onde p. Teremos s n = i= i p e portanto (s n ) não é limitada, acarretando que diverge se p. i= i /n Exemplo 7 Estudemos, agora, a série quando p >. Mostremos que, neste caso, a série é convergente. É suficiente mostrar que a sequência das reduzidas (s n) é limitada. Como (s n ) é monótona, basta mostrar que (s n ) possui uma subseqência convergente. Para tanto, observemos a subsequência (s nr ) onde n r = r. Teremos s n = s = s n = s = s 3 = + / p + /3 p < + / p + / p = + / p = + / p s n3 = s 3 = s 7 = s k +/4 p +/5 p +/6 p +/7 p < +/ p +4/4 p = +/ p +/ p = + / p + (/ p ) Usando indução finita podemos mostrar facilmente que s nr < + / p + (/ p ) (/ p ) r < (/ p ) e portanto (s nk ) é limitada, resultando que /np é convergente se p >.

3 As proposições abaixo, bem como suas demonstrações, foram suficientemente discutidas em sala de aula! Proposição 8 Se a n converge então a n 0. Proposição 9 Sejam a n e séries de termos positivos. Suponhamos existir uma constante k > 0 tal que a n k para todo natural n. Então se converge teremos a n convergente. Além disso se a n diverge, teremos divergente. Proposição 0 Seja a n uma série de termos positivos tal que exista um número c com 0 < c < e a n c n. Então a n é convergente. Corolário (Teste da raiz) Seja a n uma série de termos positivos tal que exista um número c com 0 < c < e n a n c. Então a n é convergente. É interessante observar que o corolário anterior se aplica se lim n a n <. Definição Uma série a n será dita absolutamente convergente se a n converge. Observação 3 É possível mostrar que se uma série é absolutamente convergente, então ela será convergente. Mostremos, com um exemplo, que a recíproca não é verdadeira. Exemplo 4 Seja a série ( ) n+ e mostremos que a mesma converge. Seja (s n n ) a sequência das reduzidas e comecemos estudando a subsequência (s n ). Observemos que s n = /+/3 /4+...+/(n ) /n = ( /)+(/3 /4)+...+(/(n ) /n) isto é s n = ( i + i ) = i= i= 4i i < e como é convergente, teremos n n i= limitada e portanto s i n é limitada e sendo monótona será convergente. Notemos agora que s n s n = e portanto n+ s n s n 0 o que mostra que s n+ não só converge, como converge para o mesmo limite de s n isto é lim s n = lim s n+. Daí dividimos a sequência (s n ) em duas subsequências que convergem para o mesmo limite e portanto a própria sequência (s n ) é convergente. A próxima proposição é sempre usada para vericarmos a convergência de uma dada série comparando-a com uma segunda série. i= i 3

4 Proposição 5 Sejam a n e séries de termos positivos. Suponhamos existir c, d R tais que 0 < c a n d ; n N. Então a n converge se, e somente se, converge. Proof. Basta notar que, neste caso, teremos c a n d e por uma proposição anterior temos o resultado. acima ainda será válido se lim an = l > 0. Vale lembrar, novamente, que o resultado Antes de passarmos ao estudo de séries alternadas, convém mencionar ainda um resultado. Proposição 6 Seja a n uma série tal que a a a Ent ao, a n converge se, e somente se, n=0 n a n converge. Proof. Sejam (s n ) e S m respectivamente as reduzidas de a n e n=0 n a n, isto é, s n = a + a a n ; S m = a + a + 4a m a m A idéia é mostrar que (s n ) é limitada se, e somente se, (s m ) o é. Mostremos, inicialmente, que se (S m ) é limitada, o mesmo acontece com (s n ). Dado n natural, tomemos m natural tal que n < m e assim, vem s n = a a n a + a a m a m+ a + a + 4a 4 + m a m = S m portanto sendo (S m ) limitada, teremos (s n ) limitada. Mostremos agora que (s n ) limitada acarretará (S m ) limitada. Para tanto, dado m natural, tomemos n natural tal que n > m e teremos s n = a +a +...+a n a +a +...+a m = a +a +(a 3 +a 4 )+...+(a m a m) a + a + 4a m a m = Sm. Consequentemente, se (s n ) for limitada teremos (S m /) limitada e daí segue o resultado. Vejamos agora alguns exemplos. Exemplo 7 Estudar a convergência da série Solução 8 Em sala de aula! n= n ln n Exemplo 9 A série é convergente? Justifique! n(n+)(n+) 4

5 Solução 0 Em sala de aula! Observação Anotaremos a n = se a sequência das reduzidas (s n ) é tal que s n Exemplo Seja (a n ) uma sequência de temos positivos. Mostre que a n converge se, e somente se, a n +a n converge. Solução 3 Em sala de aula! Admitiremos, sem demonstração, os próximos dois resultados que podem ser úteis para estudarmos séries com infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Proposição 4 Sejam a n e duas séries tais que: (i) A sequência das somas parciais de é limitada; (ii) (a n ) é decrescente; (iii) a n 0 Então a série a n é convergente. Proposição 5 (Teste para séries alternadas) Seja a n uma sequência decrescente de números positivos com a n 0. Então a série ( )n a n é convergente. Exemplo 6 ) Determine os valores de x tais que a série cos nx seja convergente n ) A série + / + /3 /4 /5 /6 + /7 + /8 + /9 /0 / / +... é convergente? Justifique! 5