Probabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período

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1 Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

2 Sumário 1 Apresentação do Curso 2 Sequências de Números Reais Algumas Desigualdades Limite de uma sequência Limites e Desigualdades Operações com Limites Limites Infinitos 3 Séries Numérica Séries Convergentes 4 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Modos de Convergência Convergência Quase Certa Convergência em Probabilidade 5 Lei dos Grandes Números Lei Fraca dos Grandes Números Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

3 Apresentação do Curso Conteúdo Programático 1. Revisão básica de sequências e séries. Limites de sequências e sequências convergentes. Valores de aderência. liminf e limsup de uma sequência de números reais. Sequências especiais: Cauchy. 2. Convergência de séries. Critérios de convergência de séries numéricas. 3. Convergência de Variáveis Aleatórias: Conceitos inicias, desigualdades, Sequências de eventos. Liminf e limsup de uma sequências de eventos; lemas de Borel-Cantelli. 4. Modos de convergência: convergência quase certa, convergência em probabilidade, convergência em média r ou L p econvergênciaemdistribuição; 5. Introdução à Lei dos grandes números e exemplos Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

4 Apresentação do Curso Conteúdo Programático 6. Lei fraca dos grandes números. Lei forte de Kolmogorov e sua recíproca. 7. Funções características. Propriedades de funções características. Definição de convergência em distribuição. Funções características e convergência em distribuição. Teoremas de Slutsky. 8. Funções características de vetores aleatórios e Função geratriz de momentos de vetores aleatórios. 9. Teorema central do limite para sequências i.i.d. 10. Teorema central do limite de Lindeberg e Teorema central do limite de Liapunov. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

5 Sequências de Números Reais Algumas Desigualdades Desigualdade I - Desigualdade de Bernoulli Para todo número real x 1etodon 2 N tem-se que, Demonstração. (1 + x) n 1 + nx 1 Fazendo a prova por inducão tem-se que para n = 1éválidaa desigualdade visto que nese caso teremos uma igualdade,(1 + x) =1 + x; 2 Supondo válida a desigualdade para n, consideremos agora se vale para n + 1. De fato, (1 + x)(1 + x) n (1 + x)(1 + nx) (1 + x) n nx + x + nx 2 = 1 +(n + 1)x + nx 2 1 +(n + 1)x Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

6 Sequências de Números Reais Algumas Desigualdades Desigualdade II Para todo x, y 2 R então, x + y apple x + y e xy = x y. Demonstração. 1 somando membro a membro as desigualdade x x e y y, tem-se que x + y x + y (1) 2 Analogamente, de x x e y y, tem-seque x + y (x + y) (2) 3 Logo, das equações acima conclui-se que x + y x + y. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

7 Sequências de Números Reais Algumas Desigualdades Desigualdade II Para todo x, y 2 R então, x + y apple x + y e xy = x y. Demonstração. 1 Para mostrar que xy = x y éválido,bastaverificarqueambos possuem o mesmo quadrado. De fato, 2 xy 2 =(xy) 2 = x 2 y 2 3 Do mesmo modo, ( x y ) 2 = x 2 y 2 =x 2 y 2. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

8 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Sequência Uma sequência de números reais é uma função f : N 7! R que associa a cada número natural n um número real f (n) =x n chamado o n-ésimo termo da sequência. Notação: (x 1, x 2,...,x n,...), (x n ) n2n ou (a n ) n2n Exemplo (2, 4, 6,...,x n,...) sequência de números pares com termo geral x n = 2n; 2 (3, 5, 7,...,x n,...) sequência dos números ímpares, com termo geral x n = 2n + 1; 3 (0, 1, 1, 1, 1,...,x n,...) sequência com termo geral x n =( 1) n 1. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

9 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Sequência limitada 1 Sequência limitada Superiormente: Diz-se que uma Sequência é limitada superiormente quando existe c 2 R tal que x n apple c para todo n 2 N. cnessecasoéumacotasuperior; 2 Sequência limitada Inferiormente: Diz-se que uma Sequência é limitada inferiormente quando existe c 2 R tal que x n c para todo n 2 N. cnessecasoéumacotainferior; 3 Sequência limitada: Diz-se que uma Sequência é limitada quando ela é limitada inferiormente e superiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0talque x n applek. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

10 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Exemplo Exemplo 2.2 Seja a > 1, entãoasequência(a, a 2,...,a n,...) élimitadainferiormente porém não superiormente. 1 De fato, multiplicando ambos os lados da desigualdade a > 1 por a n tem-se a n+1 > a n para todo n 2 N; 2 Agora note que a 2 > a, a 3 > a 2,...,a n+1 > a n,portanto,a n a para todo n 2 N. Logo,(a, a 2,...,a n,...) élimitadainferiormentepora; 3 Por outro lado, como a > 1, temosa = 1 + d, comd > 0. Assim, pela desigualdade de Bernoulli temos que a n =(1 + d) n > 1 + nd para todo n 2 N. 4 Portanto, dado qualquer c 2 R podemos obter a n > c desde que tomemos 1 + nd > c, istoé,n > c 1 d.destemodo,paraasequência (a, a 2,...,a n,...), nãoexistec 2 R tal que a n apple c. Logo, (a, a 2,...,a n,...) não é limitada superiormente. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

11 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Supremo de um Conjunto Chama-se supremo de um conjunto C à menor de suas cotas superiores. Chama-se de supremo de um conjunto C ao número S que satisfaz as duas condições seguintes: 1 c apple S para todo c 2 C; 2 dado qualquer >0, existe um elemento c 2 C tal que c S. 3 Teorema: Todo conjunto não vazio de números reais, limitado superiormente, possui supremo. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

12 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Ínfimo de um Conjunto Chama-se ínfimo de um conjunto C à maior de suas cotas inferiores. Chama-se de ínfimo de um conjunto C ao número s que satisfaz as duas condições seguintes: 1 c s para todo c 2 C; 2 dado qualquer >0, existe um elemento c 2 C tal que c apple s +. 3 Teorema: Todo conjunto não vazio de números reais, limitado inferiormente, possui ínfimo. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

13 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Definição de Convergência Diz-se que uma sequência (a n ) n2n converge para o número L, ou tem limite L se, dado qualquer >0, é sempre possível encontrar um número N tal que, n > N ) a n L <. Notação: Escreve-se lim n!1 a n = L ou simplesmente a n! L. Observação 2.1 Uma sequência que não converge é dita divergente. Observação 2.2 Chama-se sequência nula toda sequência que converge para zero. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

14 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Definição de Vizinhança Dado um número L qualquer, chama-se vizinhança de L a todos so números x do intervalo (L, L + ). Denotaremosesseintervalocomo símbolo V (L). Observação 2.3 Note que a condição x 2 V (L), istoé,xpertenceravizinhança de L, pode ser escrita das seguintes três maneiras: 1 x L < ; 2 <x L < ; 3 L <x < L +. Assim, ao dizermos que lim a n = L, estamosdizendoquepara n!1 n > N ) a n 2 V (L), ouseja,n > N ) a n L <, ou n > N ) <a n L <, ou ainda n > N ) L <a n < L +. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

15 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Sequências Monótonas 1 Diz-se que uma sequência (a n ) n2n écrescentese, 2 edecrescentese, a 1 < a 2 < < a n < ; a 1 > a 2 > > a n > ; 3 Diz-se que uma sequência (a n ) n2n énãodecrescentese, 4 enãocrescentese, a 1 apple a 2 apple applea n apple ; a 1 a 2 a n ; 5 Diz-se que uma sequência (a n ) n2n émonótonaseelasatisfazqualquer umas das condições (1) a (4). Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

16 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Teorema - Sequências Monótonas Toda sequência monótona e limitada é convergente. Demonstração. Idéia da prova: utilizar o conceito de supremo junto com o conceito de sequência limitada para mostrar que numa sequência monótona não decrescente o limite é o supremo S. De modo análogo, utilizando o conceito de infimo junto com o conceito de sequência limitada para mostrar que numa sequência monótona não crescente o limite é o infimo s. Consideremos primeiramente uma sequência monótona não decrescente e limitada. Deste modo, por ser uma sequência monótona não decrescente ela é limitada inferiormente por a 1,evistoqueélimitada,entãoélimitada superiormente, e portanto possui um supremo S. Vamos provar que S é o limite de (a n ).Defato, >0, existe um elemento da sequencia, com um certo índice N, tal que, Ora, visto que (a n ) S <a N < S +. éumasequêncianãodecrescente,tem-separatodo Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

17 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Limsup e Liminf Seja (x n ) n2n uma sequência numérica. Considere agora as seguintes sequências: a n = sup(x m ) e b n = inf (x m). m n m n Apartirdessasdefinições,percebaqueàmedidaquenaumentaosupremo eoinfimosãocalculadossobreconjuntosdemenortamanho,portanto, a 1 a 2... a n..., e b 1 apple b 2...apple b n apple..., Portanto, a n éumasequênciamonótonanãodecrescenteeb n éuma sequência monótona não crescente; Nestas condições segue que, lim a n = inf a n elimb n = sup b n n 1 n 1 os quais sempre existem, vide teorema do ínfimo e supremo. Deste modo, a = lim a n = inf sup n 1 m n (x m ) e b = lim b n = sup n 1 inf (x m) m n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

18 Sequências de Números Reais Limites e Desigualdades Teorema Teorema 2.1 (Teorema 5. p.26, LIMA, E. L.) Seja a = lim a n. Se a > b então para todo n suficientemente grande, tem-se a n > b. Analogamente, se a < b então para todo n suficientemente grande, tem-se a n < b. Demonstração. Idéia da prova: utilizar a definição de convergência e vizinhança. De fato, tomando = a b, temosque >0 e b = a. Pela definição de convergência e vizinhança, existe N 2 N tal que para todo n > N tem-se que a n 2 V (s), portanto a <a n < a + Logo, a n > a = b. Exercício:Prova que se a < b então para todo n suficientemente grande, tem-se a n < b. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

19 Sequências de Números Reais Limites e Desigualdades Corolários Corolário 2.1 (Corolário 1. p.26,lima, E. L.) Seja a = lim a n. Se a > 0 então para todo n suficientemente grande, tem-se a n > 0. Analogamente, se a < 0 então para todo n suficientemente grande, tem-se a n < 0. Corolário 2.2 (Corolário 2. p.26,lima, E. L.) Sejam a = lim a n e b = lim b n. Se a n apple b n para todo n sufucientemente grande então a < b. Em particular se a n apple b para n suficientemente grande, então lima n apple b. Teorema 2.2 (Teorema do Sanduíche. p.27, LIMA, E. L.) Se lim a n = lim b n = a e a n apple c n apple b n para todo n suficientemente grande, então lim c n = a. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

20 Sequências de Números Reais Limites e Desigualdades Definições Definição 2.1 (Subsequência) Uma subsequência de uma dada sequência (a n ) n2n éumarestriçãode(a n ) aumsubconjuntoinfiniton 0 de N. Notação: (a n ) n2n 0 Definição 2.2 (Pontos Aderentes) Diz-se que L é um ponto de aderência de uma dada sequência (a n ) n2n se uma subsequencia que converge para L. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

21 Sequências de Números Reais Limites e Desigualdades Teoremas Teorema 2.3 (Exercicio 2. p.99, Avila, G.) Seja (a n ) n2n uma sequência limitada que não converge. Então (a n ) possui pelo menos dois pontos aderentes, lim inf a n seu menor valor de aderência e lim sup a n seu maior valor de aderência. Teorema 2.4 (Exercicio 1. p.99, Avila, G.) Uma sequência limitada converge para L se e somente se L é seu único ponto de aderência. Logo, L = lim inf a n = lim sup a n. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

22 Sequências de Números Reais Operações com Limites Teoremas Teorema 2.5 (Teorema 7. p.27, LIMA, L. L.) Se lim a n = 0 e b n éumasequencialimitada,convergenteounão,então lim a n b n = 0. Exemplo 2.3 Seja a n = 1 n e b n = sen(n) então lim a n = 0 e 1 apple b n apple 1, logodo sen(n) teorema anterior segue que, lim a n b n = lim n!1 n = 0. Teorema 2.6 Se lim a n = a e lim b n = b então: (i) lim(a n ± b m )=a ± b; (ii) lim(a n b m )=ab; (iii) lim an b m = a b,seb6= 0. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

23 Sequências de Números Reais Operações com Limites Critério de Convergência de Cauchy Uma condição necessária e suficiente para que uma sequência (a n ) n2n seja convergente é que, dado >0, existe N tal que, n, m > N ) a n a m < Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

24 Sequências de Números Reais Limites Infinitos Observações, p.31, LIMA, E. L. (i) Dada uma sequência (a n ) n2n,diz-seque"olimitedea n é mais infinito"e escreve-se lim x n =+1, parasignificarque, dado arbitrariamente A > 0, existe n 0 2 N tal que n > n 0 implica a n > A. (ii) Analogamente,lim a n = 1, significaque,paratodoa > 0, existe n 0 2 N tal que n > n 0 implica a n < A. (iii) Éimportanteressaltarque+1 e que se lim a n =+1 ou lim a n = convergente. 1 não são números e 1 asequencianãoé Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

25 Séries Numérica Séries Convergentes Definição Dada uma sequência {a n } n2n de números reais, podemos formar uma nova sequência {s n } n2n, nx s n = a n. Em que s n édenominadaasreduzidasousomasparciaisdasérie s = P 1 n=1 a n eaparcelaa n éon-ésimotermooutermogeraldasérie. Se o limite s = lim n!1 s n existir, diremos que a serie é convergente e s = P 1 n=1 a n será chamada a soma da serie. Se s = lim n!1 s n não existir, diremos que a serie s édivergente. Observação 3.1 Às vezes é conveniente considerar séries do tipo P 1 n=0 a n,quecomeçam com a 0 em vez de a 1. i=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

26 Séries Numérica Séries Convergentes Exemplos Exemplo 3.1 Seja a n = a n,com0 < a < 1, entãoassomasparciais(s n ) da série s é dada por, nx s n = a n = 1 + a +...a n = 1 an+1 1 a logo, n=0 s = lim n!1 s n = lim n!1 portanto s n éumasérieconvergente. Exemplo 3.2 Seja a n =( 1 a n+1 1 a = 1 1 a 1) n+1,entãoassomasparciais(s n ) da série s édadapor, ( nx s n = a n = 1 + a +...a n 0 se n for par = 1 se n for impar Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60 n=0

27 Séries Numérica Séries Convergentes Propriedade Teorema 3.1 Se uma série é convergente então seu termo geral tende para zero. Observação 3.2 Apropriedadecontidanesseteoremadeveseraprimeiraverificaçãoaser feita, pois se o termo geral não tender a zero a série será divergente. Entretanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, se o termo geral tender a zero, isto não implica que a série será convergente, exemplo disso, é a série harmônica cujo termo geral é a n = 1/n. Logo,acondiçãoénecessáriamas não suficiente. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

28 Séries Numérica Séries Convergentes Critério da Comparação Teorema 3.2 (Versão 1: p.114, AVILA, G.) Sejam s = P 1 n=1 a n e t = P 1 n=1 b n séries de termos não negativos, a primeira dominada pela segunda, isto é, a n apple b n para todo n 2 N. Nessas condições: (i) tconvergeimplicaques converge e s apple t; (ii) tdivergeimplicaques diverge. Teorema 3.3 (Versão 2 :p.38, LIMA, E. L.) Sejam s = P 1 n=1 a n e t = P 1 n=1 b n séries de termos não negativos. Se existirem c > 0 e n 0 2 N tais que a n apple cb n para todo n > n 0 então a convergência de t implica a convergência de s e a divergência de t implica a divergência de s. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

29 Séries Numérica Séries Convergentes Séries Absolutamente Convergentes Uma série s = P 1 n=1 a n diz-se absolutamente convergente quando P 1 n=1 a n converge. Observação 3.3 Note que é condição é suficiente, mas não necessária. Por exemplo, a série cujo termo geral é a n = ( 1)n+1 n éconvergente,entretanto, a n = 1 n é divergente. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

30 Séries Numérica Séries Convergentes Critério de Convergência de Cauchy Uma condição necessária e suficiente para que uma série s = P 1 n=1 a n seja convergente é que dado qualquer >0, exista N 2 N tal que, para todo inteiro positivo p, n > N ) a n+1 + a n a n+p < Observação 3.4 Note que este teorema é uma simples adaptação do teorema análogo para sequências. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

31 Séries Numérica Séries Convergentes Teste da razão Teorema 3.4 Seja s = P 1 n=1 a n uma série de termos positivos tal que lim a n+1 a n = L. Então, a série converge se L < 1 edivergesel > 1, sendoinconclusivose L = 1. Corolário 3.1 AsériedetermospositivosseráconvergenteseexistirumN 2 N tal que n > N implicar a n+1 a n apple c < 1; edivergentese a n+1 a n 1. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

32 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Conceitos Básicos Diremos que uma sequência de eventos (A n ) n2n émonótona não-decrescente se A n A n+1 para todo n 2 N edenotaremospora n ".Damesmaforma,diremosqueumasequênciade eventos (A n ) n2n émonótonanão-crescentese A n A n+1 para todo n 2 N edenotaremospora n #. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

33 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Limite Superior - Limsup Olimitesuperiordeumasequênciadeeventos(A n ) n2n édefinidopor: lim sup A n = lim A n = \ 1 n=1 [ 1 k=n A k Isto significa que o lim sup A n éoconjuntodoselementosde que pertencem a um número infinito dos A n,porestarazãofrequentemente denominamos o lim sup A n pelo conjunto, {A n ocorre infinita vezes} Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

34 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Limite Inferior - Liminf Do mesmo modo, definimos limite inferior por: lim inf A n = lim A n = [ 1 n=1 \ 1 k=n A k Isto significa que o lim inf A n éoconjuntodoselementosde que estão em todos os A n apartirdeumcerton.poressarazão,frequentemente denominamos o lim inf pelo conjunto, {A n ocorre para todo n suficientemente grande} Se uma sequência de eventos (A n ) n2n tem limite, então, lim A n = lim A n = lim n!1 A n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

35 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Seja (A n ) n2n uma sequência de eventos em, então: (i)! 2 lim sup A n se, e somente se,! 2 A n para um número infinito de índices; (ii)! 2 lim inf A n se, e somente se,!/2 A n para um número finito de índices; Demonstração: Parte (i) Vamos primeiro provar que! 2 lim sup A n = \ 1 n=1 [1 k=n A k =)! 2 A n para um número infinito de índices. De fato, seja B n = [ 1 k=n A k,entãob n B n+1 8n 1, logo (B n ) n2n é uma sequência monótona não crescente, portanto! 2 lim sup A n n 1, =)! 2\ 1 n=1 B n =)! 2 B n para todo mas isso implica que! 2 A n para um número infinito de índices, pois caso contrário, suponha que! 2 A n apenas para um número finito de índices, Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

36 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Demonstração: logo, seja m n omaiordessesíndices,então!/2 B mn +1 = [ 1 k=m n +1 A k. Nessas condições, segue que se! 2 B n para todo n 1e(B n ) n2n é monótona não crescente implica que existe uma subsequência (A mn ) n2n para a qual! 2 A mn para todo n 1. Reciprocamente, se existe uma subsequência (A mn ) n2n para a qual! 2 A mn para todo n 1isssoimplicaque! 2 B n para todo n 1 logo! 2\ 1 n=1 B n = lim sup A n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

37 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Demonstração: Parte (ii). Mostremosagoraquese! 2 lim inf A n então!/2 A n para um número finito de índices. De fato, seja C n = \ 1 k=n A k,entãoc n C n+1 8n uma sequência monótona não decrescente, 1, logo (C n ) n2n é portanto,! 2 lim inf A n =)! 2[ 1 n=1 C n =)! 2 C n0 para algum n 0 isso implica que! 2 A n para todo n suficientemente grande n n 0. Logo,!/2 A n para um número finito de A n. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

38 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Demonstração: Mostremos agora que!/2 A n para um número finito de A n implica! 2 lim inf A n De fato, se!/2 A n para um número finito de A n então tomando n suficientemente grande n > n 0,implicaque! 2 A n para todo n, isso implica que! 2 C n0 = \ 1 k=n ) A k,logo! 2[ 1 n=1 C n portanto! 2 lim inf A n.. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

39 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Propriedades do Limsup e do Liminf (i) lim inf A n lim sup A n. De fato, seja B n = [ 1 k=n A k e C n = \ 1 k=n A k, portanto B n # e C n " e B n C n para todo n 1, portanto, para todo n 1, tem-se que, \ n i=1b i = B n e [ n i=1 C i = C n logo, lim inf A n = [ 1 n=1c n \ 1 n=1b n = lim sup A n. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

40 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Propriedades do Limsup e do Liminf (ii) c lim inf A n = lim sup A c n. De fato, pela Lei de Morganm tem-se que, c c lim inf A n = [ 1 n=1 C n = \ 1 n=1 Cn c = \ 1 n=1 [ 1 k=n Ac k = lim sup Ac n (iii) Se A n B n para todo n 1 então lim sup A n lim sup B n eliminfa n lim inf B n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

41 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Propriedades do Limsup e do Liminf (iv) lim sup A n [ lim sup B n = lim sup(a n [ B n ). (v) lim inf A n \ lim inf B n = lim inf(a n \ B n ). (vi) lim sup A n \ lim sup B n lim sup(a n [ B n ). (vii) lim inf A n [ lim inf B n lim inf(a n \ B n ). Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

42 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Seja (A n ) n2n uma sequência monótona de eventos, então: Se A n ",entãolim n!1 A n = [ 1 n=1 A n; Se A n #,entãolim n!1 A n = \ 1 n=1 A n Demonstração: De fato, se A n ",então e por outro lado, logo, lim inf A n = [ 1 n=1 \ 1 k=n A k = [ 1 n=1a n lim sup A n = \ 1 n=1 [ 1 k=n A k [ 1 n=1a n = lim inf A n lim inf A n lim sup A n lim sup A n = lim inf A n = [ 1 n=1a n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60

43 Convergência de Variáveis Aleatórias Conceitos e Resultados Básicos Teorema Considere agora que A n #,então lim sup A n = \ 1 n=1 [ 1 k=n A k = \ 1 n=1a n e lim inf A n = [ 1 n=1 \ 1 k=n A k \ 1 n=1a n = lim sup A n por outro lado logo, lim inf A n lim sup A n lim sup A n = lim inf A n = \ 1 n=1a n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 60