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1 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [1] André Toom. Resumo teórico de curso PGE-969, Métodos Matemáticos para Estatística ensinado no departamento de estatística da UFPE no 1-o semestre de 2012 CONTEUDO 1. Afirmações matemáticas.... [2] 2. Quantores....[3] 3. Conjuntos: introdução.... [4] relação. Conjuntos contáveis e não contáveis.... [10] 5. Números reais.... [13] 6. Continuidade de R.... [14] 7. max, min, sup, inf, limsup, liminf...[15] 8. Seqüências em R. Limites....[17] 9. Pontos de aderência....[25] 10. O criterio de Cauchy para seqüências.... [28] 11. Conjuntos abertos e fechados em R.... [29] 12. Seqüências em R 2. Limites e pontos de aderência....[33] 13. Conjuntos abertos e fechados em R [34] 14. Funções R R. Limite e continuidade....[36] 15. Continuidade uniforme e condição de Lipschitz.... [47] 16. Leitura...[49] Aviso. Matemática é uma ciência rigorosa, cujo maior conteudo é argumentos quais provam afirmações, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teórico do curso. Para estudar-ló, atividade mental é necessaria. Encontrando uma definição ou um teorema, pensa de exemplos. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matemático é uma seqüência de afirmações, daquelas cada é ou geralmente conhecida, ou é uma conseqüência de afirmações anteriores. Quando usamos o metodo de contradição, supomos que a afirmação, qual queremos provar, é falso e obtemos uma contradição.

2 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [2] 1. Afirmações matemáticas Se a pergunta é pode ser?, você deve responder sim ou não. Se sim, você deve apresentar um exemplo. Se não, você deve apresentar um argumento. Se a pergunta é podemos concluir ou não?, você deve responder sim ou não. Se sim, você deve apresentar um argumento. Se não, você deve apresentar um contra-exemplo. Na vida cotidiana encontramos muitas afirmações vagas ou pessoais, daqueles é possivel ter opiniões diferentes, por exemplo: Esta roupa é horrivel. Claudio é um gatão. Pêra é mais gostosa que maçã. Na matemática lidamos com afirmações, quais são ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirmações A e B, podemos formar outras: A B, o que significa A e B, i.e. ambos são verdadeiras, A B, o que significa A ou B, i.e. pelo menos um deles é verdadeiro, negação A = A = não A e várias combinações delas. Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas. Cada formula algébrica toma valores numéricos quais dependem de valores de variáveis incluidas nela. Analogamente, cada formula lógica toma valor verdadeira ou falsa dependente de veracidade de afirmações incluidas nela. Como na aritmética usamos tabua de multiplicação, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se sabemos veracidades de variáveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam verdadeira e falsa : V = F, F = V, V V = V, V F = V, F V = V, V V = V V F = F F V = F F F = F, F F = F. O sinal significa negação. O sinal significa implicação lógica. Na matemática A B significa o mesmo que A B. Logo A B significa o mesmo que B A, o que sempre usamos nas provas pela contradição. (Isto é diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase se 2 2 = 5, eu sou imperador do Brasil é um absurdo. Na matemática esta afirmação é sempre correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou não.) O sinal significa equivalência de afirmações. Ela acontece se ambos A B e B A são verdadeiros.

3 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [3] Exercício 1. É verdade que (A B) é equivalente a ( A) ( B)? Exercício 2. É verdade que (A B) é equivalente a ( A) ( B)? Aviso: é possivel provar as duas equivalências anteriores considerando quatro casos e enchendo as vazias colunas nesta tabela: Exercício 3. Provar que ( (A 1 A 2 A n )) (( A 1 ) ( A 2 ) ( A n )). Exercício 4. Provar que ( (A 1 A 2 A n )) (( A 1 ) ( A 2 ) ( A n )). 2. Quantores O quantor de universalidade significa para todos. O quantor de existência significa existe. Seja S um conjunto e P(x) é uma afirmação feita para elementos deste conjunto. Logo a formula x S : P(x) significa que todos elementos de S têm a propriedade P. Logo a formula x S : P(x) significa negação da formula anterior, i.e. não todos elementos de S têm a propriedade P. Isto é mesmo que existe pelo menos um elemento de S qual não tem a propriedade P. Então temos a equivalência de afirmações: ( x S : P(x)) ( x S : P(x)). (1) Analogamente obtemos a equivalência parecida: ( x S : P(x)) ( x S : P(x)). (2) Exemplo 1. e x C F C C F : x C x C F C C F : x C. Observação 1. As vezes espressões algebricas dependem de variáveis, as vezes não dependem. Apresentamos exemplos.

4 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [4] O valor de somatório 10 k=1 k2 não depende de k. A afirmação x 2 1 = 0 é verdadeira para x = 1 e x = 1 e falsa para todos outros valores de x. Diferente disto, a veracidade das afirmações x R : x 2 1 = 0 e x R : x 2 1 = 0 não depende de x. De fato, a primeira afirmação é falsa e a segunda afirmação é correta. Geralmente, veracidade duma afirmação não depende de variável precedida por quantor. Problema 1. Seja n e k números naturais. Reescrever as seguintes afirmações usando sinais e. Descobrir, quais delas são verdadeiras e quais são falsas: a) Para cada n existe k tal que k = n 2. b) Para cada n existe k tal que n = k 2. c) Para cada n existe k tal que n < k. d) Para cada n existe k tal que k < n. e) Existe k tal que k < n para cada n. f) Existe k tal que n < k para cada n. Problema 2. Seja ε e δ números reais. Reescrever as seguintes afirmações usando sinais e. Descobrir, quais delas são verdadeiras e quais são falsas: a) Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que δ < ε. b) Existe δ > 0 tal que δ < ε para cada ε > Conjuntos: introdução Um conjunto é chamado de finito se ele tem um número finito de elementos. Se este número é pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerando-lós em chaves, separando-lós com virgulas. Por exemplo, o conjunto {a} tem só um elemento a, o conjunto {a, b} (onde a b) tem dois elementos a e b etc. O sinal # significa cardinalidade, qual é uma medida de grandeza de conjuntos. Para conjuntos finitos a cardinalidade é simplesamente o número de elementos. Existe o conjunto vazio denotado, qual não tem elementos. Sua cardinalidade é zero. Observação 2. Lima [Lima, vol. 1] use notação card(s) no lugar de #S. Alguns conjuntos infinitos têm notações especiais: N = {1, 2, 3,...} o conjunto dos números naturais.

5 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [5] Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} o conjunto dos números inteiros, Q = {m/n : m, n Z, n 0} o conjunto dos números racionais. Para todo número racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado q assim: q se q 0, q = q se q < 0. Usando estas notações, podemos definir outros conjuntos de forma: {x N : x < 100} o conjunto de números naturais, quais são menor que 100. {x Z : x > 7} o conjunto de números inteiros, cujo modulo é maior que 7. {x Q : x < 0} o conjunto de números racionais, quais são menor que zero. Para cada número real o seu modulo é igual a distância entre o ponto qual representalo na reta e o ponto O qual representa zero. O modulo de diferença entre dois números é a distância entre os pontos quais representam estes números na reta. Para qualquer objeto x e conjuntos A e B usamos seguintes notações: x A ou A x: objeto x pertence ao conjunto A ou conjunto A contem ou inclue objeto x. Neste caso x é chamado de elemento de A. A B ou B A: A é um subconjunto de B, i.e. cada elemento de A pertence a B. O conjunto vazio é subconjunto de todos conjuntos. A = B : os conjuntos A e B coincidem, i.e. cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A. Logo (A = B) ((x A) (x B)) ((A B) e (B A)). Se temos dois conjuntos A e B, podemos formar outros conjuntos: A B : interseção de A e B. Qualquer objeto x pertence a A B se ele pertence a A e pertence a B. A B união de A e B. Qualquer objeto x pertence a A B se ele pertence a A ou pertence a B. (Pode pertencer a ambos.) A\B : a diferença entre A e B. Qualquer objeto x pertence a A\B se ele pertence a A e não pertence a B. A B : a diferença simetrica definida assim: A B = (A \ B) (B \ A).

6 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [6] Problema 3. A, B, C? Problema 4. A, B, C? Problema 5. É verdade qu A \ (B \ C) = A \ (C \ B) para todos conjuntos É verdade que (A \ B) \ C = A \ (B \ C) para todos conjuntos É verdade que para todos conjuntos A, B, C? (A \ B) (A \ C) = A \ (B C) Problema 6. É verdade que (A B) (A C) (B C) = (A B) (A C) (B C) para todos conjuntos A, B, C? Problema 7. Temos três conjuntos A, B, C. Sabemos que os conjuntos (A B) \ C, (A C) \ B e (B C) \ A são finitos. Podemos concluir que o conjunto A B C é finito também? Problema 8. Temos três conjuntos A, B, C. Sabemos que os conjuntos (A B) \ C, (A C) \ B e (B C) \ A são infinitos. Podemos concluir que o conjunto A B C é infinito também? Problema 9. Temos três conjuntos A, B, C. a) Sabemos que os conjuntos A \ B e B \ C são finitos. Podemos concluir que o conjunto A \ C é finito também? b) Sabemos que os conjuntos A \ B e B \ C são infinitos. Podemos concluir que o conjunto A \ C é infinito também? Problema 10. Temos três conjuntos A, B, C. Sabemos que os conjuntos A \ (B C), B \ (A C) e C \ (A B) são finitos. Podemos concluir que o conjunto A B C é finito também? Problema 11. Temos três conjuntos A, B, C. Sabemos que A B = A C. Podemos concluir que B = C?

7 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [7] Problema 12. Consideremos o principio de Murphy (um otimista norteamericano): cada prazer é ou ilegal ou imoral ou engorda. Reescrever esta afirmação usando notações da teoria de conjuntos. Problema 13. tem? Um conjunto finito tem n elementos. Quantos subconjuntos ele Classes de conjuntos: Se temos um conjunto F, cujos elementos são conjuntos, por razões estilisticas evitamos de chamar F conjunto e chamamos-lo de classe ou familia. Se temos uma classe F de conjuntos, a união de todos elementos de F e a interseção de todos elementos de F são denotadas de C e C. C F Exercício 5. É verdade que para todo conjunto A e todo classe de conjuntos F (a) \ B) = A \ B F(A B? (b) \ B) = A \ B F B F(A B? B F A lei distributiva para união e interseção: Lidando com números, sabemos que multiplicação e adição satisfazem a lei distributiva: Mas não oposto: geralmente C F a (b + c) = (a b) + (a c). a + (b c) (a c) + (b c). Lidando com conjuntos, a mesma lei é verdadeira para união e interseção nas ambas direções: a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c). Exercício 6. (a) Provar estas formulas. (b) Provar as generalizações destas formulas: A B F = B F (A B), A B F = B F(A B).

8 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [8] Geralmente uma operação denotada é chamada comutativa se a b = b a e associativa se (a b) c = a (b c). Se aplicamos uma operação com estes propriedades várias vezes, não precisamos parenteses e não precisamos cuidar de ordem de termos. Exercício 7. Provar que operações, e são comutativas e associativas. Produto de dois conjuntos A e B é o conjunto das pares (a, b), onde a A e b B. Por exemplo, nos livros sobre xadrez o conjunto de quadrinhos de tabua de xadrez é apresentado como produto {a, b, c, d, e, f, g, h} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Produto de uma lista finita de conjuntos S 1 S 2 S n é o conjunto das seqüências de n termos (a 1, a 2,...,a n ), onde a 1 S 1, a 2 S 2,...,a n S n. Por exemplo, cada S i pode ter dois elementos chamamos de sim e não. Se jogamos uma moeda, o conjunto dos resultados possiveis é {cara, coroa}. Se jogamos n moedas, o conjunto é {cara, coroa} n. Na teoria da probabilidade o conjunto de todos casos possiveis é chamado de espaço amostral. Existem produtos infinitos, por exemplo {cara, coroa} N, o que é o conjunto de seqüências infinitas, cada termo daquelas é cara ou coroa. Nunca consideramos os todos conjuntos no mundo, pois isto conduza a paradoxos. Um destes paradoxos: chamemos um conjunto de estranho se ele é seu próprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todos conjuntos é estranho. Denotamos de N a classe de não-estranhos conjuntos. Seguinte lógica, N é ou estranho, ou nãoestranho. Vamos provar que ambos casos são impossiveis. Se N é estranho, ele é seu proprio elemento, o que é falso pois todos seus elementos são não-estranhos. Se N não é estranho, ele não é seu proprio elemento, o que é falso pois todos conjuntos não-estranhos são seus elementos. Por esta causa, na cada pesquisa matemática temos um conjunto bastante grande, qual pode ser chamado Ω e consideramos só seus sub-conjuntos. Neste caso, para cada sub-conjunto S Ω o conjunto Ω \ S é denotado de S c e chamado complementar de S. Logo, quando escrevemos para todos conjuntos, queremos dizer para todos subconjuntos dum Ω, onde Ω cada vez deve ser escolhido na maneira apropriada.

9 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [9] Exercício 8. Provar para todos conjuntos A, B, C : A B = (A c B c ) c, A B = (A c B c ) c. Exercício 9. Provar para toda família F de conjuntos: ( S ) c = S F S F S c, ( S ) c = S F S F S c. Relações e classes de equivalência. (Aqui o sentido de palavra equivalência é diferente de equivalência de afirmações.) Uma relação entre alguns elementos dum conjunto S é chamada reflexiva se para cada a S : a a; comutativa se para cadas a, b S : a b b a; transitiva se para cada a, b, c S : a b, b c a c. Uma relação entre alguns elementos dum conjunto S é chamada relação de equivalência se a) (reflexidade) para cada a S : a a; b) (comutatividade) para cadas a, b S : a b b a; c) (transitividade) para cada a, b, c S : a b, b c a c. Teorema 1. (sem provar): se temos uma relação de equivalência num conjunto S, logo existe uma familha F de conjuntos tais que: a) a união de todos elementos de F é S ; b) interseção de cadas dois elementos diferentes de F é vazia. Exemplo 2. (a) Se S é o conjunto de triângulos e x y se os triangulos x e y têm areas iguais, logo é relação de equivalência. (b) Se S é o conjunto de triângulos e x y se os triangulos x e y têm perimetros iguais, logo é relação de equivalência. (c) Se S é o conjunto de habitantes duma cidade e x y significa que x e y são visinhos, logo habitualmente não é relação de equivalência Exercício 10. Seja S = Z. Para cada caso seguinte descobrir, se a relação é relação de equivalência e se é, descrever os classes de equivalência.

10 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [10] (a) x y se x y é par. (b) x y se x y é ímpar. (c) x y se x y é multiplo de 7. Exercício 11. Seja S = Z 2 e seus elementos são denotados (x, y) onde x, y Z. Para cada caso seguinte descobrir, se a relação é relação de equivalência e se é, descrever os classes de equivalência. (a) (x, y) (p, q) se x + y = p + q. (b) (x, y) (p, q) se x q = y p. Você provavelmente ja reparou a semelhança entre notações da logica e da teoria de conjuntos. Esta semelhança tem sentido. Para cada conjunto A podemos considerar a afirmação x A. Logo x (A B) é equivalente a (x A) (x B), x (A B) é equivalente a (x A) (x B) relação. Conjuntos contáveis e não contáveis. Disemos que existe uma 1-1 relação entre dois conjuntos A e B se existe uma regra, tal que para cada elemento de A corresponde exatamente um elemento de B e vice versa. Dois conjuntos, para aqueles tal relação existe, são chamados equivalentes. Também dizemos que eles tem a mesma cardinalidade. Por exemplo, todos conjuntos finitos com a mesma quantidade de elementos são equivalentes e sua cardinalidade é o número de elementos de cada um deles: # {1, 2, 3} = # {a, b, c} = # {Argentina, Brasil, Columbia} = 3. Um conjunto é chamado contável se ele é finito ou equivalente ao conjunto N = {1, 2, 3,...}. Em outras palavras, qualquer conjunto S é contável se os elementos dele podem ser escritos na forma duma seqüência finita ou infinita. Todos conjuntos contáveis infinitos tem a mesma cardinalidade. Observação 3. Lima [Lima, vol. 1] chama de conjuntos enumeráveis todos conjuntos contáveis

11 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [11] Teorema 2. Z, o conjunto dos números inteiros, é contável. Teorema 3. O produto N N é contável. Corolario: O produto de dois conjuntos contáveis é contável. Lema 1. Se A B e B é contável, logo A é contável. Teorema 4. O conjunto Q de números racionais é contável. Exercício 12. Temos uma seqüência S 1, S 2, S 3,... de conjuntos contáveis. Provar que sua união S 1 S 2 S 3... é contável também. Exercício 13. Provar que estes conjuntos são equivalentes: {cara, coroa} n, {sim, não} n, {0, 1} n. Exercício 14. Provar que estes conjuntos são equivalentes: {cara, coroa} N, {sim, não} N, {0, 1} N. Problema 14. reta? Existe uma 1-1 relação entre os conjuntos (0, ) e [0, ) na Problema 15. Apresentar uma 1-1 relação entre ( 1, 1) e R. Problema 16. Apresentar uma 1-1 relação entre (0, 1) e [0, 1]. Problema 17. Problema 18. Problema 19. Problema 20. Apresentar uma 1-1 relação entre R e R 2. (Difícil.) Provar que o conjunto de subconjuntos de N não é contável. Provar que o conjunto de subconjuntos finitos de N é contável. Provar que o conjunto de permutações de N não e contável. Problema 21. Seja S o conjunto das seqüências decrescentes, cujos termos são números naturais. O conjunto S é contável ou não? Problema 22. Seja S o conjunto das seqüências crescentes, cujos termos são números naturais. O conjunto S é contável ou não?

12 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [12] Problema 23. Uma seqüência x n é chamada crescente se x 1 < x 2 < x 3 < x 4... Seja S o conjunto das seqüências crescentes, cujos termos são números naturais. O conjunto S é contável ou não? Problema 24. Seja A qualquer conjunto e B o conjunto de subconjuntos de A. Provar que #A < #B. Teorema 5. O conjunto {0, 1} N não é contável. Logo existem conjuntos não contáveis, cuja cardinalidade é mais de cardinalidade de N. Prova pela contradição usando o metodo diagonal de Cantor. Seja todos elementos de {0, 1} N são ordenados numa seqüência a 1, a 2, a 3,... Cada deles é uma seqüência: a k = (a k 1, a k 2, a k 3,... ) Logo temos uma seqüência de seqüências: a 1 = (a 1 1, a 1 2, a 1 3,... ) a 2 = (a 2 1, a 2 2, a 2 3,... ) a 3 = (a 3 1, a 3 2, a 3 3,... )... Agora consideremos um elemento de {0, 1} N definido como seqüência 1 a 1 1, 1 a 2 2, 1 a 3 3,... Observe que esta seqüência não pode coincidir com nenhum termo da seqüência a 1, a 2, a 3,... pois ela tem o primeiro termo diferente do primeiro termo de a 1, o segundo termo diferente do segundo termo de a 2, o terceiro termo diferente do terceiro termo de a 3 etc. Então temos contradição qual mostra que nossa suponha foi falsa: é impossivel colocar todos elementos de {0, 1} N numa seqüência. Exercício 15. Apresentar uma 1-1 relação entre {0, 1} N e {0, 1, 2, 3} N. Dizemos que o conjunto A caiba no conjunto B se existe B B e uma 1-1 relação entre A e B. Teorema 6. (sem provar). Entre cadas dois conjuntos pelo menos um caiba noutro

13 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [13] Teorema 7. (sem provar). Temos dois conjuntos A e B. Se A caiba em B e B caiba em A, então existe 1-1 relação entre A e B. Devido a estes teoremas, para cadas dois conjuntos A e B há só três possibilidades: a) A caiba em B e B caiba em A. Neste caso dizemos que A e B são equivalentes e suas cardinalidades são iguais: #A = #B. b) A caiba em B, mas B não caiba em A. Neste caso dizemos que cardinalidade de A é menos que cardinalidade de B : #A < #B. c) A não caiba em B, mas B caiba em A. Neste caso dizemos que cardinalidade de A é mais que cardinalidade de B : #A > #B. Ja sabemos que # < # {a} < # {a, b} < < #N < < # {0, 1} N. 5. Números reais Escrevemos os números reais em [0, 1] como zero, virgula, seqüência finita ou infinita de algarismos decimais. (3) Exercício 16. A formula (3) pode apresentar o número 1? Exercício 17. Existem duas seqüências (3) diferentes, quais apresentam o mesmo número? Definição 1. Para cada número real x denotamos: { x se x 0, x = x se x < 0 e chamemos x de modulo de x. Tambèm definimos: [x] - o máximo número inteiro, qual não é maior que x; ]x[ - o mínimo número inteiro, qual não é menor que x. Exercício 18. Quais valores pode tomar ]x[ [x]?

14 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [14] Teorema 8. O conjunto [0, 1] não é contável. Exercício 19. Uma seqüência a 1, a 2, a 3,... é chamada periódica se existem números naturais p, s tais que n s : a n = a n+p. Provar que o conjunto de periódicos elementos de {0, 1} N é contável. Teorema 9. (sem provar): a formula (3) apresenta un número racional se e somente se a seqüência ali é finita ou periodica. 6. Continuidade de R Por que precisamos de números reais? Por que não somos satisfeitos com números racionais? Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condições. A primeira condição é simples: para cadas a, b S, onde a < b, deve existir c S tal que a < c < b. É evidente que Q satisfaz esta condição: podemos tomar c = (a + b)/2. O que de segunda condição, vamos apresentar-ló em duas maneiras. Primeira maneira: se temos um conjunto ordenado S, sua corte é apresentação S = S menor S maior onde x S menor, y S maior : x < y. Chamemos S menor de classe menor e S maior de classe maior. Chamemos de buraco uma corte onde a classe menor não tem maximo e a classe maior não tem minimo. Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue todos números racionais. A mesma dificuldade na outra maneira: Se temos um conjunto ordenado S, chamemos de segmento fechado [a, b] o conjunto {x S : a x b}. Chamemos de seqüência de segmentos fechados encaixados ou s.s.f.e. uma seqüência [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar o nosso desejo: para cada s.s.f.e. a interseção de todos seus segmentos deve ser não-vazia.

15 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [15] Mostremos que o conjunto Q não satisfaz nenhum de nossos desejos. Vamos mostrar que o primeiro desejo não é cumprido. Ja sabemos que não existe número racional q tal que q 2 = 2. Usando este fato, apresentamos uma seção de Q assim: (a) um número racional q pertence a S maior se q > 0 e q 2 > 2 e (b) um número racional q pertence a S menor se q 0 ou q 2 < 2. Esta seção não tem fronteira em Q. Para mostrar que Q não cumpre o segundo desejo, apresentamos uma s.s.f.e.: Q [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... tal que a interseção de todos segmentos é vazia. Definimos os segmentos pela indução. Base de indução: seja a 1 = 1 e b 1 = 2. Passo de indução: sejá temos os números a n e b n. Denotamos m n = (a n + b n )/2 e comparamos m 2 n com 2. Pois m n é racional, m 2 n e 2 não podem ser iguais. Logo temos só dois casos: Se m 2 n < 2, definimos a n+1 = m n e b n+1 = b n. Se m 2 n > 2, definimos a n+1 = a n e b n+1 = m n. Então os todos [a n, b n ] são definidos. Observe que b n a n = 1/2 n 1 para todos n. Logo a interseção de todos segmentos [a n, b n ] não pode ter mais que um elemento. Mas não pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado seria 2, o que é impossivel. Agora concertamos a situação. Declaramos cada buraco de número irracional. Assim ambos desejos sao cumpridos. Números racionais e irracionais juntos são chamados de números reais. Denotamos o conjunto de números reais de R. Números reais fazem um conjunto ordenado e continuo. 7. max, min, sup, inf, limsup, liminf Chamemos um conjunto S R limitado se existem números A e B tais que A x B para todos x S. Para cada conjunto limitado não-vazio S R, chamemos um número f cota superior de S se x f para todos x S. Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S. Pois S é limitado e não-vazio, ambos conjuntos R \ S e S são não-vazios, logo eles fazem uma corte no conjunto de números reais. Logo deve existir uma fronteira entre eles, chamada supremo de

16 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [16] conjunto S e denotada sups. Definimos inf S o infimo de S analogamente. Se S não tem nenhuma cota superior, dizemos que sups =. Analogamente, se S não tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S =. Chamemos um conjunto S R limitado se existem números A e B tais que A x B para todos x S. Exercício 20. Dados n conjuntos de números reais, daqueles cada é limitado. Provar que seu união e interseção também são limitados. Exercício 21. Dada uma familha F de subconjuntos de R, daqueles cada é limitado. Podemos concluir que a união destes conjuntos é limitada? Podemos concluir que a interseção deles é limitada? Para cada conjunto limitado não-vazio S R, chamemos um número f cota superior de S se x f para todos x S. Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S. Pois S é limitado e não-vazio, ambos conjuntos R \ S e S são não-vazios, logo eles fazem uma corte no conjunto de números reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo de conjunto S e denotada sup S. Se sup(s) S, chamamos-lo de maximo de S. Analogamente definimos inf S o infimo e minimo de qualquer S limitado. Se S não tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S =. Analogamente, se S não tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S =. Teorema 10. Se um conjunto de números reais é não vazio, ele tem um supremo e um infimo (talvez, infinitos) Exercício 22. Provar que qualquer conjunto não pode ter mais que um máximo ou mais que um supremo. Também provar que o máximo e o supremo de mesmo conjunto são iguais se ambos existem. limsup, liminf. Dada seqúência x n, denotamos T n = {x n, x n+1, x n2,...}, I n = inf T n, S n = supt n. Logo definimos lim inf n x n = lim n I n, lim supx n = lim S n. n n

17 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [17] Teorema 11. O conjunto de pontos de aderência de uma seqüência limitada é sempre fechado, logo tem um minimo e um maximo, daqueles: o minimo é igual a liminf desta seqúência e o maximo é igual a limsup desta seqúência. Problema 25. Temos uma seqüência encaixada de segmentos abertos em R (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 3, b 3 )... tal que todos estes segmentos têm pelo menos um ponto comum. A seqüência dos seus comprimentos pode tender-se para zero? Problema 26. Temos uma seqüência encaixada de segmentos abertos em R (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 3, b 3 )... tal que a seqüência dos seus comprimentos tende-se para zero. Todos estes segmentos podem ter um ponto comum? Problema 27. Dados n conjuntos dos números reais, daqueles cada é limitado. Provar que sua união e interseção também são limitadas. Problema 28. Dada uma seqüência dos conjuntos S 1, S 2, S 3,... R, daqueles cada é limitado. Podemos concluir que sua união é limitado? Podemos concluir que sua interseção é limitado? Problema 29. Seja S o conjunto dos números reais, quais podem ser apresentados como a fração decimal infinita 0, a 1 a 2 a 3... onde a seqüência dos algarizmos é não-decrescente, i.e. a 1 a 2 a 3 a 4. O conjunto S é contável ou não? Problema 30. Seja S o conjunto dos números reais, quais podem ser apresentados como a fração decimal infinita 0, a 1 a 2 a 3... onde a seqüência dos algarizmos é não-crescente, i.e. a 1 a 2 a 3 a 4. O conjunto S é contável ou não? 8. Seqüências em R. Limites. Dizemos que uma seqüência x n tem limite finito L ou tende-se para número L quando n e escrevemos se lim n x n = L ou x n n L ε > 0 k n > k : x n L < ε. (4)

18 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [18] Aqui n deve ser natural, mas k pode ser real. A formula (4)não é única possivel. Existem outras formulas com o mesmo sentido. De outro lado, existem formulas parecidas em (4), cujo sentido é diferente. Exercício 23. Quais das formulas seguintes são equivalentes a (4)? (a) ε > 0 k n k : x n L ε. (b) k ε > 0 n > k : x n L < ε. Teorema 12. Uma seqüência não pode ter dois limites diferentes. Demonstração. Seja x n A e x n B onde A B. Tomemos ε = A B /2 > 0. Logo existem k 1 e k 2 tais que n > k 1 : x n A < ε, n > k 2 : x n B < ε. Tomemos qualquer n > max(k 1, k 2 ). Lembramos que o modulo de diferença entre dois números é a distância entre os pontos quais representam estes números na reta. Logo a distância entre x n e A sera menor que ε e a distância entre x n e B sera menor que ε. Logo a distância entre A e B sera menor que 2ε = 2 A B 2 < A B, o que é impossivel pois esta distância é igual a A B. Uma seqüência x n é chamada limitada se existe um número C tal que n : x n < C. Teorema 13. Se uma seqüência tende-se para um número, então ela é limitada. Demonstração. Denotamos de (x n ) a nossa seqüência e de L o limite dela. Sabemos que para cada ε > 0 existe k tal que n > k : L ε < x n < L+ε. Escolhemos ε = 1. Logo existe k tal que n > k : L 1 < x n < L + 1. Agora escolhemos um número C assim: C = x 1 + x x k + L 1 + L + 1.

19 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [19] È claro que x n C para todos n. Como escrever a afirmação que (x n ) não tende-se para L? O jeito mais simples é colocar o sinal de negação no começo: ε > 0 n k > n : x k L < ε. Agora transformamos esta formula usando a regra (1): ε > 0 n k > n : x k L < ε. Continuamos transformar usando a regra (2): e mais e finalemente ε > 0 n ε > 0 n k > n : k > n : x k L < ε x k L < ε ε > 0 n k > n : x k L ε. Esta formula é mais apropriada quando queremos provar que uma seqüência não tende-se para um número. Então está provado o teorema seguinte: Teorema 14. x n não tende-se para L se e somente se ε > 0 n k > n : x n L ε. Exercício 24. Seja 0 se n é par, x n = 1 se n é ímpar. Provar que a seqüência x n não tende-se nem para zero nem para um. Teorema 15. Se x n n A, então C x n C A para cada número C. Teorema 16. Se x n A e y n B, então x n + y n A + B. Dizemos que uma seqüência x n tende-se para e escrevemos x n M n k > n : x k > M. n se Também dizemos que uma seqüência x n tende-se para e escrevemos x n se M n k > n : x k < M. n

20 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [20] Exercício 25. (a) Transformar negações destas formulas na maneira parecida de transformação acima. (b) Seja { n se n é par, x n = n se n é ímpar. Provar que a seqüência x n não tende-se nem para nem para. Se uma seqüência tende-se para um número ou para ou para, dizemos que ela tem limite. Se este limite é finito, dizemos que esta seqüência converge. Se ela tem limite infinito ou não tem nenhum limite, dizemos que ela diverge. Teorema 17. Uma seqüência x n tende-se para número L se e somente se para cada ε > 0 o conjunto {n : x n L ε} é finito. Teorema 18. Se uma seqüência tem limite, cada outra seqüência obtida dela eliminando, incluindo e mudando um conjunto finito de termos, tem o mesmo limite. Teorema 19. Se x n A, então cada permutação e cada sub-seqüência de x n também tende-se para A. Dizemos que uma seqüência x n é crescente se x n < x n+1 para todos n. Definimos uma seqüência decrescente analogamente. Dizemos que uma seqüência x n é não-decrescente se x n x n+1 para todos n. Definimos uma seqüência não-crescente analogamente. Teorema 20. Cada seqüência não-decrescente x n tem limite. Se x n é limitada, seu limite é finito, caso contrario o seu limite é. Chamemos um número f cota superior de um conjunto S R se x f para todos x S. Chamamos uma cota superior f de S o supremo de S se f é o mínimo do conjunto das cotas superiores de S. Definimos o infimo de um conjunto analogamente. Teorema 21. Cada conjunto não vazio tem um supremo e um infimo. (O supremo pode ser e o infimo pode ser.)

21 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [21] Exercício 26. Provar que qualquer conjunto não pode ter mais que um máximo ou mais que um supremo. Também provar que o máximo e o supremo de mesmo conjunto são iguais se ambos existem. Teorema 22. Se o número S é o supremo do conjunto C, logo existe uma seqüência (x n ), todos cujos termos pertencem a C e tal que x n S. Problema 31. n. Provar que se x n A e y n B, então x n y n A B quando Problema 32. Provar que se lim n a n = e lim n b n =, então lim n (a n + b n ) = também. Problema 33. Provar que se lim n x 2n = lim n x 2n+1 = A, então lim n x n = A também. Problema 34. Provar que se x n n, então C x n para cada C > 0 e C x n para cada C < 0. Problema 35. Provar que se x n A e y n, então x n /y n 0. Problema 36. Temos seqüência (x n ) tal que x 2n n L. Podemos concluir que x n n L? Problema 37. Temos seqüência (x n ) tal que x 2n n. Podemos concluir que x 3n n? Problema 38. Temos seqüência (x n ) tal que x 2n n A. Podemos concluir que x 4n n A? Problema 39. Temos seqüência (x n ). Seja x 2n n 1 e x 3n n 1. Podemos concluir que x n n 1? Problema 40. Temos seqüência (x n ). Pode acontecer que x 2n n e x 3n n? Problema 41. Temos seqüência (x n ) daquela abemos que x n + x n+1 0. Podemos concluir que x n 0? Problema 42. Dada uma seqüência (a n ) e um número L tais que lim n a n = L. Podemos concluir que n 0 ε > 0 : n > n 0 a n L < ε? Problema 43. Temos duas seqüências (x n ) e (y n ) de números reais tais que

22 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [22] x n, y n e y n 0 para todos n. Definimos mais uma seqüência z n = x n y n. (a) Pode ser que z n 1? (b) Pode ser que z n 0? (c) Pode ser que z n 1? (d) Pode ser que z n? (e) Pode ser que z n não tem nenhum limite (nem finito, nem infinito)? Problema 44. Temos seqüência (x n ) de números reais e sabemos que lim n x 2n = lim n x 2n+1 = A. Podemos concluir que lim n x n = A? Problema 45. que Dada uma seqüéncia (a n ), cujo limite é L. Podemos concluir n 0 ε > 0 : n > n 0 a n L < ε? Problema 46. Dada uma seqüéncia (a n ) e número L tais que n 0 ε > 0 : n > n 0 a n L < ε. Podemos concluir que L é o limite de (a n )? Problema 47. Temos duas seqüências (x n ) e (y n ) com termos positivos, quais tendem para infinito. Definimos a terceira seqüência (z n ) assim: z n = x n y 2 n + y n. x 2 n (a) Quais números podem ser limites de (z n )? (b) pode ser limite de (z n )? Problema 48. que Dada uma seqüéncia (a n ), cujo limite é L. Podemos concluir n 0 ε > 0 : n > n 0 a n L < ε? Problema 49. Dada uma seqüéncia (a n ) e número L tais que n 0 ε > 0 : n > n 0 a n L < ε. Podemos concluir que L é o limite de (a n )?

23 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [23] Problema 50. Temos duas seqüências (x n ) e (y n ) com termos positivos, quais tendem para infinito. Definimos a terceira seqüência (z n ) onde z n = x n y 2 n + y n. x 2 n (a) Quais números podem ser limites de (z n )? (b) pode ser limite de (z n )? Problema 51. x n /y n. Seja x n n 0, y n n 0, y n 0 para todos n e z n = (a) Pode ser que z n n 1? (b) Pode ser que z n n 0? (c) Pode ser que z n n 1? (d) Pode ser que z n n? (e) Pode ser que z n n? Problema 52. Seqüências x n e y n são tais que x n Seja z n = (x n y n )/(x n + y n ). (a) Pode ser que z n n 1? (b) Pode ser que z n n 2? (c) Pode ser que z n n? (d) Pode ser que z n n? n e y n n. Problema 53. Temos duas seqüências (x n ) e (y n ) de números reais tais que x n e y n quando n. A terceira seqüência z n é definida assim: z n = x ny n. x 2 n + yn 2 (a) Pode ser que z n n 1/3? (b) Pode ser que z n n 3? (c) Pode ser que z n n 1/2? (d) Pode ser que z n n 2? (e) Pode ser que z n n? (f) Pode ser que z n n? (g) Pode ser que z n não tem limite nem finito, nem infinito? Problema 54. Seja x n n, y n n 0, y n < 0 para todos n e z n = x n y n.

24 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [24] (a) Pode ser que z n n? (b) Pode ser que z n n? (c) Pode ser que z n n 1? (d) Pode ser que z n n 0? (e) Pode ser que z n n 1? (f) Pode ser que z n não tem nenhum limite? Problema 55. Temos duas seqüências (x n ) e (y n ) de números reais tais que x n e y n quando n. A terceira seqüência z n é definida assim: z n = x ny n. 2x 2 n + 3yn 2 Descrever o conjunto S definido assim: um número real L pertence a S se e somente se a seqüência z n pode tender-se para L. Problema 56. Uma seqüência x n é definida assim: x 1 = 1 e x n+1 = x n + 1/x n para todos n. O que é lim n x n? Problema 57. Sabemos que lim n x n = lim n y n = A e n : (z n = x n ou z n = y n ). Provar que lim n z n = A também. Problema 58. Seja x n e y n e z n = x n /y n. Pode ser que z n tende-se para um número? Para? Para? Não tende para nada? Problema 59. Seqüência x n é definida assim: x 1 = 1 e x n+1 = x n + x 3 n. Esta seqüência é limitada ou não? Problema 60. Seqüência x n é definida assim: x 1 = 1 e x n+1 = x n + x 2 n. Esta seqüência é limitada ou não? Problema 61. Seja x n n e y n = x [ n ] para todos n. Podemos concluir que a seqüência y n tende para? Problema 62. Seja x n n L e y n = x [ n ] para todos n. Podemos concluir que a seqüência y n tende para L? Problema 63. Duas seqüências (x n ) e (y n ) de números reais tendem para e a terceira seqüência é definida assim: (a) Pode ser que z n n? (b) Pode ser que z n n? z n = x n y 2 n y n. x 2 n

25 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [25] (c) Pode ser que z n n 3? (d) Pode ser que z n n 0? (e) Pode ser que z n n 1/2? (f) Pode ser que z n não tem nenhum limite? 9. Pontos de aderência. Definição 2. a) Um número A é chamado um ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma subseqüência, qual tende-se para A. b) Dizemos que é um ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma subseqüência, qual tende-se para. c) Dizemos que é um ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma subseqüência, qual tende-se para. Teorema 23. O teorema de Bolzano-Weierstrass. Cada seqüência limitada tem pelo menos um ponto de aderência. Teorema 24. Um número A é um ponto de aderência de x n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto {n : x n A < ε} é infinito. Teorema 25. Um número A não é um ponto de aderência de x n se e somente se ε > 0 n k > n : x k A ε. Teorema 26. Um número A não é um ponto de aderência de x n se e somente se existe ε > 0 tal que o conjunto {n : x n A < ε} é finito. Exercício 27. Existe seqüência, qual contem todos números racionais? Exercício 28. Existe seqüência, qual contem todos números irracionais? Teorema 27. Para cada seqüência, qual contem todos números racionais, todos números reais são pontos de aderência.

26 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [26] Demonstração. Seja seqüência x n limitada, i.e. existe C tal que n : C x n C. Chamemos um conjunto S magro se o conjunto {n : x n S} é finito e gordo se o mesmo conjunto é infinito. É claro que se temos dois conjuntos magros, sua união é magra também. Agora observamos que o segmento [ C, C] é gordo. Apresentmos-ló como união de dois segmentos fechados: [ C, C] = [ C, 0] [0, C]. Logo pelo menos um deles é gordo. Denotamos-ló de [a 1, b 1 ] e cortamos este segmento emduas partes iguais: [ ] [ ] a 1 + b 1 a1 + b 1 [a 1, b 1 ] = a 1,, b Pelo menos um destes segmentos é gordo. Chamamos-ló de [a 2, b 2 ] e procedemos na mesma maneira indutivamente. Na casa passo de indução temos um segmento gordo [a n, b n ] e apresentmos-ló como ] [ an + b n [a n, b n ] = [ a n, a n + b n 2 2, b n ]. Pelo menos um destes segmentos é gordo. Denotamos-ló de [a n+1, b n+1 ] e procedemos na mesma maneira. Logo obtemos uma seqüência infinita de segmentos gordos [ C, C] [a 1, a 2 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... Os comprimentos destes segmentos tendem para zero, logo todos estes segmentos têm exatamente um ponto comum L. Logo, devido ao teorema X, este ponto é ponto de aderéncia de nossa seqüência x n. Corolario. Cada seqüência tem pelo menos um ponto de aderência: ou um número ou ou. Teorema 28. Seja A o conjunto de pontos de aderência da seqüência (x n ) e B o conjunto de pontos de aderência da seqüência (y n ). Logo A B é o conjunto de pontos de aderênsia da seqüência x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3,... Teorema 29. Seja A o conjunto de pontos de aderência da seqüência x n e B o conjunto de pontos de aderência da seqüência y n. Seja x n uma subseqüência de y n. Logo A B.

27 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [27] Teorema 30. Se uma seqüência x n tem só um ponto de aderência (um número ou ou ), então x n tende para este limite. Teorema 31. Se uma seqüência é obtida atravez de eliminação dum conjunto finito de termos de outra seqüência, estas seqüências têm o mesmo conjunto de pontos de aderência. Teorema 32. Se uma seqüência é obtida atravez de permutação de outra seqüência, então estas seqüências têm o mesmo conjunto de pontos de aderência. Problema 64. Existe seqüência limitada de números reais, cujo conjunto de pontos de aderência é infinito, mas contável? Problema 65. Dadas duas seqüências (a n ) e (b n ). Sabemos que P é um ponto de aderência de (a n ) e Q é um ponto de aderência de (b n ). Podemos concluir que P + Q é um ponto de aderência de (a n + b n )? Problema 66. Apresentar uma seqüência, para aquela o conjunto de pontos de aderência é o conjunto dos números inteiros. Problema 67. Uma seqüência limitada (x n ) tem só dois pontos de aderência, a saber 1 e 1. Podemos concluir que y n = x 2 n tem limite? Problema 68. O número A é um ponto de aderência da seqüência (x n ) e o número B é um ponto de aderência da seqüência (y n ). Podemos concluir que A + B é um ponto de aderência da seqüência z n = x n + y n? Problema 69. O número P é um ponto de aderência de seqüência (x k ) e também um ponto de aderência de seqüência (y k ). Fazemos uma seqüência nova (z k ) seguinte a fórmula { x k se k é par, z k = se k é ímpar. y k Podemos concluir que P é um ponto de aderência de seqüência z k também? Problema 70. Temos um número real L e uma seqüência limitada (a n ) na reta tais que ε > 0 k : a k L < ε. (a) Podemos concluir que L é o limite de (a n )? (b) Podemos concluir que L é um ponto de aderência da seqüência (a n )? (c) Podemos concluir que L é um ponto de aderência do conjunto {a n }?

28 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [28] Problema 71. Seja A um ponto de aderência de seqüência x n. Seja cada x n é um ponto de aderência de outra seqüência y n. Provar que A também é um ponto de aderência de y n. Problema 72. Existe uma seqüência, para aquela o conjunto dos pontos de aderência é o segmento [0, 1]? Problema 73. Existe uma seqüência, para aquela o conjunto dos pontos de aderência é o segmento (0, 1)? 10. O criterio de Cauchy para seqüências. Dizemos que uma seqüência x n satisfaz a condição de Cauchy se ε > 0 k m, n > k : x m x n < ε. (5) Teorema 33. O criterio de Cauchy. Uma seqüência (x n ) dos números reais tem limite finito se e somente se ela satisfaz a condição de Cauchy. Demonstração. Numa direção: seja x n L. Provemos (5). Escolhemos qualquer ε > 0. Pois x n L, existe k tal que Logo Isto é a condição de Cauchy. n > k : x n L < ε 2. m, n > k : x m x n < ε. Noutra direção. Seja a condição (5) satisfeita. Primeiro provemos que a seqüência x n é limitada. Pois (5)é verdadeira para todos ε > 0, é verdadeira para ε = 1. Logo k m, n > k : x m x n < 1. Tomemos k com esta propriedade e m o primeiro número natural qual é mais que k. Logo n m : x m x n < 1. Logo n : x n C onde C = max { x 1,..., x m 1, x m 1, x m + 1 }. Então, esta provado que a seqüência x n é limitada. Logo, devido ao teorema de Bolzano-Weierstrass, ela tem pelo menos um ponto de aderência, o qual denotamos

29 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [29] de L. Provemos que x n L, i.e. ε > 0 k n > k : x n L < ε. Tomemos qualquer ε > 0. Devido a (5), existe k tal que m, n > k : x m x n < ε/2. Pois L é um ponto de aderencia de x n, existe q > k tal que x q L < ε/2. Logo n > k : x n L < ε, o que presicamos. O criterio de Cauchy esta provado nas ambas direções. Exercício 29. Provar que a seqüência 1, 0, 1, 0, 1, 0,... não tem nenhum limite, nem finito, nem infinito. Exercício 30. Seja todos números racionais enumerados. Provar que esta seqüência não tem nenhum limite. Problema 74. Seja a condição de Cauchy verdadeira para uma seqüência x n : condição de Cauchy se Descobrir se podemos concluir que ε > 0 k m, n > k : x m x n < ε. (6) k ε > 0 m, n > k : x m x n < ε. (7) Dada condição (7). Podemos concluir que a condição (5) é ver- Problema 75. dadeira? 11. Conjuntos abertos e fechados em R. Para cada ponto p R e cada ε > 0 chamemos ε-vizinhança de p e denotamos de V ε (p) o conjunto V ε (p) def = {q : q p < ε}. Teorema 34. A seqüência x n tende para p quando n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto {n : x n / V ε (p)} é finito.

30 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [30] Teorema 35. O número p é um ponto de aderência duma seqüência x n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto {n : x n V ε (p)} é infinito. Definição 3. Um ponto p R é chamado de ponto interior dum conjunto S R se existe ε > 0 tal que V ε (p) S. Chamemos um conjunto C R aberto se todos seus pontos são interiores. Observação 4. Notamos que falamos de conjuntos abertos e fechados sempre tendo em mente um conjunto grande Ω e falando so de subconjuntos dele. Teorema 36. Cada conjunto é aberto e fechado em si mesmo. Exemplo 3. Os conjuntos, R, (a, b), (, b), (a, ) são abertos em R Teorema 37. Seja F qualquer família de conjuntos abertos. Logo sua união C F C é aberta também. Teorema 38. Se conjuntos C 1,...,C n são abertos, sua interseção é aberta também. Chamemos um ponto p R ponto de aderência dum conjunto S R se existe uma seqüência x n, todos cujas termos pertencem a S, qual converge a p. Teorema 39. Um ponto p R é ponto de aderência dum conjunto S R se e somente se para cada ε > 0 os conjuntos S e V ε (p) tem interseção não-vazia. Exercício 31. Provar que um ponto p não é um ponto de aderência de conjunto S se e somente se existe ε > 0 tal que S V ε (p) =. Teorema 40. Um ponto p S R é interior em S se e somente se p não é ponto de aderência de R \ S. Teorema 41. Um ponto p S R é ponto d aderência de S se e somente se p não é ponto interios de R \ S.

31 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [31] Para cada conjunto S R chamemos de seu fecho e denotamos de fecho(s) o conjunto de pontos de aderência de S. Exercício 32. Provar que qualquer S fecho(s). Chamemos um conjunto S R fechado se ele coincide com seu fecho. Exercício 33. Provar que cada fecho é fechado. Exemplo 4. Os conjuntos, R, {x}, [a, b], (, b], [a, ) são fechados Exemplos: Os conjuntos (a, b] e [a, b) são nem abertos, nem fechados. O conjunto dos números racionais também é nem aberto, nem fechado, e o conjunto dos números irracionais também. Teorema 42. fechado. O conjunto de pontos de aderência duma seqüência limitada é Teorema 43. a) Se o conjunto C R é aberto, então R \ C é fechado. b) Se o conjunto S R é fechado, então R \ S é aberto. Teorema 44. Seja F qualquer família de conjuntos fechados. Logo sua interseção C F C é fechada também. Teorema 45. Se conjuntos S 1,...,S n são fechados, sua união é fechada também. Teorema 46. Lema de Heine-Borel-Lebesgue. Temos uma familha F de conjuntos abertos na reta tal que a união de todos estes conjuntos inclue o segmento fechado [0, 1]. Logo existe uma sub-familha finita F F tal que a união de todos seus elementos também inclue [0, 1]. Demonstração. Chamemos um conjunto mole se é possivel escolher uma subfamilha finita tal que a união de todos seus elementos inclue este conjunto e duro caso contrario. Observamos que se dois conjuntos são moles, sua união é mole também.

32 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [32] Agora supomos que o segmento [a, b] é duro e obtemos um contradição. Apresentamos [0, 1] como união de dois segmentos fechados: [ ] [ ] a + b a + b [a, b] = a, 2 2, b. Se ambos estes segmentos são moles, sua uniao é mole tambem, o que é contra nossa suponha. Logo pelo menos um destes segmentos é duro. Chamemos este segmento de [a 1, b 1 ] e cortamos-ló em duas metades na maneira parecida: ] [ a1 + b 1 [a 1, b 1 ] = [ a 1, a 1 + b 1 2 2, b 1 ]. Na mesma maneira concluimos que pelo menos destes segmentos é duro e chamamosló de [a 2, b 2 ]. Fazemos o mesmo pela indução: apos de receber um segmento duro a n, b n, apresentamos-ló como união de dois segmentos ] [ an + b n [a n, b n ] = [ a n, a n + b n 2 2, b n ], concluimos que pelo menos um destes segmentos é duro e denotamos-ló de [a n+1, b n+1 ]. Logo obtemos um seqüência de segmentos duros encaixados: [a, b] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... O comprimento de [a n, b n ] é (b a)/2 n, logo tende para zero quando n. Estes segmentos têm um ponto comum, qual denotamos de L. Lembramos que a união de elementos de F inclue [a, b], logo inclue o ponto L. Logo existe um conjunto aberto C F tal que L C. Pois C é aberto, existe ε > 0 tal que (L ε, L + ε) C. Escolhemos n tal grande que (b a)/2 n < ε. Logo [a n, b n ] C. Mas isto significa que [a n, b n ] é mole! Temos uma contradição, qual mostra que nossa suponha foi falsa; na verdade o segmento [a, b] é mole. Problema 76. Usamos a diferença simétrica. a) É verdade que (A B) C = A (B C) para todos conjuntos A, B, C? b) Conjuntos A, B R são fechados. Podemos concluir que A B é fechado também? Problema 77. Usamos a diferença simétrica. Conjuntos P, Q R são abertos. Podemos concluir que P Q é aberto também? Problema 78. Provar que o conjunto vazio e R são os únicos conjuntos em R, qual são abertos e fechados no mesmo tempo.

33 File posgrad/metodos/2012.1/total.tex on March 9, 2012 on [49] pages [33] 12. Seqüências em R 2. Limites e pontos de aderência. Toda teoria desenvolvida acima pode ser aplicada para o plano R 2 com mudanças pequenas. Supomos que no plano é escolhido um sistema de coordenadas, tal que cada ponto é um par (x, y) onde x, y R. Denotamos de dist(p, q) a distância entre pontos p, q R 2. Seguinte o teorema de Pitagoras, a distância entre qualquer pontos (x, y) e (a, b) é dist ((x, y), (a, b)) = (x a) 2 + (y b) 2. Para cada ponto p R 2 denotamos p e chamamos a norma de p a distância entre p e O : (x, y) = dist((x, y), O) = x 2 + y 2. Neste caso ε-vizinhança dum ponto p, denotada V ε (p), é definida como o conjunto dos pontos, cuja distância de p é menor que ε: V ε (p) = { q R 2 : dist(p, q) < ε }. Dizemos que uma seqüência x n tende-se para um ponto p ou que o ponto p é o limite de x n se a distância dist(x n, p) tende-se para zero quando n. Definição 4. Um ponto é chamado ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma sub-seqüência, qual tende-se para este ponto. Chamemos uma seqüência x n em R 2 limitada se existe um número C tal que n : x n C. Teorema 47. Cada seqüência limitada em R 2 tem pelo menos um ponto de aderência. Dizemos que um ponto p R é um ponto de aderência dum conjunto S R 2 se existe uma seqüência q n, todos cujas termos pertencem a S, qual converge a p. Teorema 48. (Outra versão de criterio Cauchy.) Uma seqüência p n dos pontos em R 2 tem limite se e somente se ε > 0 k m, n > k : dist(p m, p n ) < ε. Problema 79. Temos uma seqüência em R 2 de forma (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ),....