André Toom. Resumo teorico de curso PGE-969, Métodos Matemáticos para Estatística

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1 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [1] André Toom. Resumo teorico de curso PGE-969, Métodos Matemáticos para Estatística CONTEUDO 1. Afirmações e quantores [2] 2. Conjuntos básicos [4] relação. Conjuntos contáveis e não contáveis [11] 4. Continuidade do conjunto de números reais. max, min, sup, inf [14] 5. Seqüências em IR. Limites [18] 6. Pontos de aderência [21] 7. O criterio de Cauchy para seqüências [23] 8. Conjuntos abertos e fechados em IR [24] 9. Limsup, liminf [27] 10. Funções IR IR. Limite e continuidade [28] 11. Continuidade uniforme e condição de Lipschitz [32] 12. Espaços metricos [33] Referências [41] Aviso. Matemática é uma ciência rigorosa, cujo maior conteudo é argumentos quais provam afirmações, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudar-ló, atividade mental é necessaria. Encontrando uma definição ou um teorema, pensa de exemplos. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matemático é uma seqüência de afirmações, daquelas cada é ou geralmente conhecida, ou é uma conseqüência de afirmações anteriores. Quando usamos o metodo de contradição, supomos que a afirmação, qual queremos provar, é falso e obtemos uma contradição.

2 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [2] 1. Afirmações e quantores. Na vida cotidiana encontramos muitas afirmações vagas ou pessoais, daqueles é possivel ter opiniões diferentes, por exemplo: Esta roupa é horrivel. Claudio é um gatão. Pêra é mais gostosa que maçã. Na matemática lidamos com afirmações, quais são ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirmações A e B, podemos formar outras: A B, o que significa A e B, i.e. ambos são verdadeiras, A B, o que significa A ou B, i.e. pelo menos um deles é verdadeiro, negação A = A = não A e várias combinações delas. Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas. Cada formula algébrica toma valores numéricos quais dependem de valores de variáveis incluidas nela. Analogamente, cada formula lógica toma valor verdadeira ou falsa dependente de veracidade de afirmações incluidas nela. Como na aritmética usamos tabua de multiplicação, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se sabemos veracidades de variáveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam verdadeira e falsa : V = F, F = V, V V = V, V F = V, F V = V, V V = V V F = F F V = F F F = F, F F = F. O sinal significa implicação lógica. Na matemática A B significa o mesmo que A B. Logo A B significa o mesmo que B A, o que sempre usamos nas provas pela contradição. (Isto é diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase se 2 2 = 5, eu sou imperador do Brasil é um absurdo. Na matemática esta afirmação é sempre correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou não.) O sinal significa equivalência de afirmações. Ela acontece se ambos A B e B A são verdadeiros. Exercício. É verdade que (A B) é equivalente a ( A) ( B)?

3 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [3] Exercício. É verdade que (A B) é equivalente a ( A) ( B)? Aviso: é possivel provar as duas equivalências anteriores considerando quatro casos e enchendo as vazias colunas nesta tabela: A B (A B) ( A) ( B) V V F F V F V F onde V significa verdadeiero e F significa falso. Depois disto, é possivel provar as duas equivalências embaixo pela indução. Exercício. Provar que ( (A 1 A 2 A n ) ) ( ( A 1 ) ( A 2 ) ( A n ) ). Exercício. Provar que ( (A 1 A 2 A n ) ) ( ( A 1 ) ( A 2 ) ( A n ) ). Quantores. O quantor de universalidade significa para todos. O quantor de existência significa existe. Negações de quantores. Seja S um conjunto e P (x) é uma afirmação feita para elementos deste conjunto. Logo a formula x S : P (x) significa que todos elementos de S têm a propriedade P. Logo a formula x S : P (x) significa negação da formula anterior, i.e. não todos elementos de S têm a propriedade P. Isto é mesmo que existe pelo menos um elemento de S qual não tem a propriedade P. Então temos a equivalência de afirmações: ( x S : P (x) ) ( x S : P (x) ). (1) Analogamente obtemos a equivalência parecida: ( x S : P (x) ) ( x S : P (x) ). (2) Exemplo. x C F C C F : x C

4 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [4] e x C F C C F : x C. Observação. As vezes espressões algebricas dependem de variáveis, as vezes não dependem. Apresentamos vários exemplos. O valor de somatório 10 k=1 k 2 não depende de k. A afirmação x 2 1 = 0 é verdadeira para x = 1 e x = 1 e falsa para todos outros valores de x. Diferente disto, a veracidade das afirmações x IR : x 2 1 = 0 e x IR : x 2 1 = 0 não depende de x. De fato, a primeira afirmação é falsa e a segunda afirmação é correta. Geralmente, veracidade duma afirmação não depende de variável precedida por quantor. 2. Conjuntos básicos. Na vida cotidiana é frequentemente dificil dizer se um objeto pertence a um conjunto ou não. Por exemplo, se queremos falar de uma turma de alunos, um aluno pode ser incluido na lista, mas ausente nas todas aulas. Na matemática temos um conjunto A se cada objeto x ou pertence ou não pertence a A. Um conjunto é chamado de finito se ele tem um número finito de elementos. Se este número é pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerandolós em chaves, separando-lós com virgulas. Por exemplo, o conjunto { a } tem só um elemento a, o conjunto { a, b } (onde a b ) tem dois elementos a e b etc. O sinal # significa cardinalidade, qual é uma medida de grandeza de conjuntos. Para conjuntos finitos a cardinalidade é simplesamente o número de elementos. Por exemplo, # { a } = 1, # { a, b } = 2 etc. Existe o conjunto vazio denotado, qual não tem elementos. Sua cardinalidade é zero. Observação. Lima [Lima, vol. 1] use notação card (S) no lugar de #S. Alguns conjuntos infinitos têm notações especiais: INI = { 1, 2, 3,... } o conjunto dos números naturais. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } o conjunto dos números inteiros, QO = { m/n : m, n Z, n 0 } o conjunto dos números racionais.

5 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [5] Para todo número racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado q assim: q se q 0, q = q se q < 0. Usando estas notações, podemos definir outros conjuntos de forma: { x INI : x < 100 } o conjunto de números naturais, quais são menor que 100. { x Z : x > 7 } o conjunto de números inteiros, cujo modulo é maior que 7. { x QO : x < 0 } o conjunto de números racionais, quais são menor que zero. Para cada número racional o seu modulo é igual a distância entre o ponto qual representa-lo na reta e o ponto O qual representa zero. O modulo de diferença entre dois números é a distância entre os pontos quais representam estes números na reta. Veja pontos X e Y na reta e a distância X Y entre eles: X Y { }} { X Y -1-1/2 0 1/2 1 Para todos conjuntos A e B : A é subconjunto de B se cada elemento de A pertence a B. A é subconjunto próprio de B se A é subconjunto de B e A não é nem nem B. Notações para qualquer objeto x e conjuntos A e B : x A ou A x : objeto x pertence ao conjunto A ou conjunto A contem ou inclue objeto x. Neste caso x é chamado de elemento de A. A B ou B A : A é um subconjunto de B, i.e. cada elemento de A pertence a B. O conjunto vazio é subconjunto de todos conjuntos. A = B : os conjuntos A e B coincidem, i.e. cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A. Logo (A = B) ((x A) (x B)),

6 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [6] Ω \ (A B) A B A \ B A B B \ A Este desenho é chamado de diagrama de Venn. Ele ajuda visualizar relações entre dois conjuntos arbitrarios e resolver problemas com eles. Consideremos só subconjuntios de Ω apresentado com o retângulo. Os dois círculos apresentam conjuntos A e B. Eles cortam Ω em quatro partes, quais apresentam os conjuntos A B, A \ B, B \ A, Ω \ (A B). Se temos dois conjuntos A e B, podemos formar outros conjuntos: A B : interseção de A e B. Qualquer objeto x pertence a A B se ele pertence a A e pertence a B. A B união de A e B. Qualquer objeto x pertence a A B se ele pertence a A ou pertence a B. (Pode pertencer a ambos.) A \ B : a diferença entre A e B. Qualquer objeto x pertence a A \ B se ele pertence a A e não pertence a B. A B : a diferença simetrica definida assim: A B = (A \ B) (B \ A).

7 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [7] A B A B c C c A B C c A c B C c A B C A B c C A c B C A c B c C C O desenho acima é diagrama de Venn para três conjuntos. O retângulo apresenta o conjunto Ω. Os três círculos apresentam conjuntos A, B, C quais pertencem a Ω. Eles cortam Ω em oito partes quais correspondem nas oito linhas da tabela.

8 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [8] A tabela no lado pode ajudar resolver problemas com três conjuntos. Aqui o sinal + significa pertence e o sinal significa não pertence. As oito linhas apresentam os oito casos quais podem acontecer com qualquer elemento de Ω e correspondem as oito partes, naquelas os três círculos cortam o retângulo no desenho. A B C o conjunto A B C + + A B C c + + A B c C + A B c C c + + A c B C + A c B C c + A c B c C A c B c C c Classes de conjuntos. Se temos um conjunto F, cujos elementos são conjuntos, por razões estilisticas evitamos de chamar F conjunto e chamamos ele de classe ou familia. Se temos uma classe F de conjuntos, a união de todos elementos de F e a interseção de todos elementos de F são denotadas de C F C e C F C. Exercício. a) É verdade que para todo conjunto A e todo classe de conjuntos F B F (A \ B) = A \ B F B? b) B F (A \ B) = A \ B F B? A lei distributiva para união e interseção. Lidando com números, sabemos que multiplicação e adição satisfazem a lei distributiva: Mas não oposto: geralmente a (b + c) = (a b) + (a c). a + (b c) (a c) + (b c). Lidando com conjuntos, a mesma lei é verdadeira para união e interseção nas ambas direções: a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c).

9 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [9] Exercício. a) Provar estas formulas. b) Provar as generalizações destas formulas: A B F = B F (A B), A B F = B F (A B). Geralmente uma operação denotada é chamada comutativa se a b = b a e associativa se (a b) c = a (b c). Se aplicamos uma operação com estes propriedades várias vezes, não precisamos parenteses e não precisamos cuidar de ordem de termos. Exercício. Provar que operações, e são comutativas e associativas. Produto de dois conjuntos A e B é o conjunto das pares (a, b), onde a A e b B. Por exemplo, nos livros sobre xadrez o conjunto de quadrinhos de tabua de xadrez é apresentado como produto { a, b, c, d, e, f, g, h } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Produto de vários conjuntos S 1 S 2 S n é o conjunto das seqüências de n termos (a 1, a 2,..., a n ), onde a 1 S 1, a 2 S 2,..., a n S n. Por exemplo, se jogamos uma moeda, o conjunto dos resultados possiveis é { cara, coroa }. Se jogamos duas moedas, o conjunto dos resultados possiveis é o produto dos dois conjuntos iguais: { cara, coroa } { cara, coroa } = { cara, coroa } 2. Se jogamos n moedas, o conjunto é { cara, coroa } n. Na teoria da probabilidade o conjunto de todos casos possiveis é chamado espaço amostral. Existem produtos infinitos, por exemplo { cara, coroa } INI, o que é o conjunto de seqüências infinitas, cada termo daquelas é cara ou coroa. Nunca consideramos os todos conjuntos no mundo. Isto conduza a paradoxos. Um destes paradoxos: chamemos um conjunto de estranho se ele é seu próprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todos conjuntos é estranho. Denotamos de N a classe de não-estranhos conjuntos. Seguinte lógica, N é ou estranho, ou não-estranho. Vamos provar que ambos casos são impossiveis. Se N é estranho, ele é seu proprio elemento, o que é falso pois todos seus elementos

10 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [10] são não-estranhos. Se N não é estranho, ele não é seu proprio elemento, o que é falso pois todos conjuntos não-estranhosseus são seus elementos. Por esta causa, na cada pesquisa matemática temos um conjunto bastante grande, qual pode ser chamado Ω e consideramos só seus sub-conjuntos. Neste caso, para cada sub-conjunto S Ω o conjunto Ω \ S é denotado de S c e chamado complementar de S. Logo, quando escrevemos para todos conjuntos, queremos dizer para todos subconjuntos dum Ω, onde Ω cada vez deve ser escolhido na maneira apropriada. Exercício. Provar para todos conjuntos A, B, C : A B = (A c B c ) c, A B = (A c B c ) c. Exercício. Provar para toda família F de conjuntos: S F S c = S F S c, S F S c = S F S c. Classes de equivalência. (Aqui o sentido de palavra equivalência é diferente de equivalência de afirmações.) Uma relação entre alguns elementos dum conjunto S é chamada reflexiva se para cada a S : a a ; comutativa se para cadas a, b S : a b b a ; transitiva se para cada a, b, c S : a b, b c a c. Uma relação entre alguns elementos dum conjunto S é chamada relação de equivalência se a) (reflexidade) para cada a S : a a ; b) (comutatividade) para cadas a, b S : a b b a ; c) (transitividade) para cada a, b, c S : a b, b c a c. Teorema sem provar: se temos uma relação de equivalência num conjunto S, logo existe uma familha F de conjuntos tais que: a) a união de todos elementos de F é S ; b) interseção de cadas dois elementos diferentes de F é vazia. Exemplos. a) Se S é o conjunto de triângulos e x y se os triangulos x e y têm areas iguais, logo é relação de equivalência.

11 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [11] b) Se S é o conjunto de triângulos e x y se os triangulos x e y têm perimetros iguais, logo é relação de equivalência. c) Se S é o conjunto de habitantes duma cidade e x y significa que x e y são visinhos, logo não é relação de equivalência. Exercício. Seja S = Z. Para cada caso seguinte descobrir, se a relação é relação de equivalência e se é, descrever os classes de equivalência. a) x y se x y é par. b) x y se x y é ímpar. c) x y se x y é multiplo de 7. Exercício. Seja S = Z 2 e seus elementos são denotados (x, y) onde x, y Z. Para cada caso seguinte descobrir, se a relação é relação de equivalência e se é, descrever os classes de equivalência. a) (x, y) (p, q) se x + y = p + q. b) (x, y) (p, q) se x q = y p. Você provavelmente ja reparou a semelhança entre notações da logica e da teoria de conjuntos. Esta semelhança tem sentido. Para cada conjunto A podemos considerar a afirmação x A. Logo e x (A B) é equivalente a (x A) (x B) x (A B) é equivalente a (x A) (x B) relação. Conjuntos contáveis e não contáveis. Disemos que existe uma 1-1 relação entre dois conjuntos A e B se existe uma regra, tal que para cada elemento de A corresponde exatamente um elemento de B e vice versa. Dois conjuntos, para aqueles tal relação existe, são chamados equivalentes. Também dizemos que eles tem a mesma cardinalidade. Por exemplo, todos conjuntos finitos com a mesma quantidade de elementos são equivalentes e sua cardinalidade é o número de elementos de cada um deles: # { 1, 2, 3 } = # { a, b, c } = # { Argentina, Brasil, Columbia } = 3. Definição. n! (pronunciado eni fatorial ) é definido para todos n = 0, 1, 2, 3,... assim: 1 se n = 0, n! = n se n = 1, 2, 3,...

12 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [12] Definição. 1-1 relação de um conjunto par ele mesmo é chamado de permutação deste conjunto. Exercício. dele. Para cada conjunto finito com n elementos existem n! permutações Mais dificeis são conjuntos infinitos. Um conjunto é chamado contável se ele é equivalente ao conjunto INI = { 1, 2, 3,... }. Em outras palavras, qualquer conjunto S é contável se os elementos dele podem ser escritos na forma duma seqüência infinita: S = { a 1, a 2, a 3,... } com termos diferentes. Todos conjuntos contáveis tem a mesma cardinalidade. Observação. Lima [Lima, vol. 1] chama de conjuntos enumeráveis todos conjuntos finitos e contáveis. Z, o conjunto dos números inteiros, é contável. O produto INI INI é contável. Conseqüência: O produto de dois conjuntos contáveis é contável. Lema. Se A B e A é infinito e B é contável, logo A é contável. Exercício. O conjunto QO de números racionais é contável. Explicar o sentido da formula # INI = # Z = #QO. Exercício. Temos uma seqüência S 1, S 2, S 3,... de conjuntos contáveis. Provar que sua união S 1 S 2 S 3... é contável também. Exercício. Provar que estes conjuntos são equivalentes: { cara, coroa } n e { 0, 1 } n. Exercício. Provar que estes conjuntos são equivalentes: { cara, coroa } INI e { 0, 1 } INI. O conjunto { 0, 1 } INI não é contável. Logo existem conjuntos não contáveis, cuja cardinalidade é mais de cardinalidade de N.

13 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [13] Prova pela contradição usando o metodo diagonal de Cantor. Seja todos elementos de { 0, 1 } INI são ordenados numa seqüência a 1, a 2, a 3,... Cada deles é uma seqüência: a k = (a k 1, a k 2, a k 3,...) Logo temos uma seqüência de seqüências: a 1 = (a 1 1, a 1 2, a 1 3,...) a 2 = (a 2 1, a 2 2, a 2 3,...) a 3 = (a 3 1, a 3 2, a 3 3,...)... Agora consideremos um elemento de { 0, 1 } INI 1 a 1 1, 1 a 2 2, 1 a 3 3,... definido como seqüência Observe que esta seqüência não pode coincidir com nenhum termo da seqüência a 1, a 2, a 3,... pois ela tem o primeiro termo diferente do primeiro termo de a 1, o segundo termo diferente do segundo termo de a 2, o terceiro termo diferente do terceiro termo de a 3 etc. Então temos contradição qual mostra que nossa suponha foi falsa: é impossivel colocar todos elementos de { 0, 1 } INI numa seqüência. O conjunto dos números reais não é contável. Exercício. Uma seqüência a 1, a 2, a 3,... é chamada periódica se existem números naturais p, s tais que n s : a n = a n+p. Provar que o conjunto de periódicos elementos de { 0, 1 } INI é contável. Exercício. Apresentar uma 1-1 relação entre { 0, 1 } INI e { 0, 1, 2, 3 } INI. Definição. Dizemos que o conjunto A caiba no conjunto B se existe B B e uma 1-1 relação entre A e B. Teorema (sem provar). Entre cadas dois conjuntos pelo menos um caiba noutro. Teorema (sem provar). Temos dois conjuntos A e B. Se A caiba em B e B caiba em A, existe 1-1 relação entre A e B. Devido a estes teoremas, para cadas dois conjuntos A e B há só três possibilidades: a) A caiba em B e B caiba em A. Neste caso dizemos que A e B são equivalentes e suas cardinalidades são iguais: #A = #B.

14 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [14] b) A caiba em B, mas B não caiba em A. Neste caso dizemos que cardinalidade de A é menos que cardinalidade de B : #A < #B. c) A não caiba em B, mas B caiba em A. Neste caso dizemos que cardinalidade de A é mais que cardinalidade de B : #A > #B. Por exemplo, # < # { a } < # { a, b } <... < # INI <... < # { 0, 1 } INI. Então todas as cardinalidades formam um conjunto ordenado. Se passar o conjunto de cardinalidades na ordem de crescimento, começamos em zero - a cardinalidade do conjunto vazio, passamos todos números naturais - cardinalidades de conjuntos finitos e... o que depois? Exercício. Provar que a primeira cardinalidade depois de todos números naturais é a cardinalidade de conjuntos contáveis. 4. Continuidade do conjunto de números reais. max, min, sup, inf. Conjuntos ordenados. Um conjunto S é chamado ordenado se para cadas dois elementos diferentes dele, denotados x y, exatamente um de dois casos seguintes acontece: ou x < y, o que é mesmo que y > x, ou x > y, o que é mesmo que y < x, com condição de transitividade onde x y significa x < y ou x = y. (x y, y z) x z, Por exemplo, os conjuntos INI, Z, QO são ordenados. Pergunta: é possivel ordenar Z 2? Resposta: possivel, mas inútil. Por exemplo, podemos definir: (x, y) < (a, b)) se x < a ou x = a, y < b. Exercício. Exercício. que q = 0. provar transitivide desta ordenação. Seja q número racional tal que q 0 e n INI : q < 1/n. Provar Por que precisamos de números reais? Por que não somos satisfeitos com números racionais? Explicamos isso nas duas maneiras conectadas.

15 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [15] Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condições. A primeira condicao é simples: para cadas a, b S, onde a < b, deve existir c S tal que a < c < b. É evidente que QO satisfaz esta condição: podemos tomar c = (a + b)/2. O que de segunda condição, vamos apresentar-ló em duas maneiras. Se temos um conjunto ordenado S, sua corte é apresentação S = S menor S maior onde x S menor, y S maior : x < y. Chamemos S menor de classe menor e S maior de classe maior. Chamemos de buraco uma corte onde a classe menor não tem maximo e a classe maior não tem minimo. Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue todos números racionais. Apresentamos a mesma dificuldade na outra maneira. Se temos um conjunto ordenado S, chamemos de segmento fechado [a, b] o conjunto { x S : a x b }. Chamemos de seqüência segmentos fechados encaixados ou seqüência de s.f.e. uma seqüência [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar a segunda condição: Para cada seqüência de s.f.e. a interseção de todos segmentos deve ser não-vazio. Mostremos que o conjunto QO não satisfaz nenhuma versão da segunda condição. Apresentamos uma seqüência de s.f.e. [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... tal que a interseção de todos segmentos é vazia. indução. Base de indução: seja a 1 = 1 e b 1 = 2. Definimos os segmentos pela Passo de indução: sejá temos a n e b n. Denotamos m n = (a n + b n )/2 e comparamos m 2 n com 2. Pois m n é racional, m 2 n e 2 não podem ser iguais. Logo temos só dois casos: Se m 2 n < 2, definimos a n+1 = m n e b n+1 = b n. Se m 2 n > 2, definimos a n+1 = a n e b n+1 = m n.

16 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [16] Então os todos [a n, b n ] são definidos. Observe que b n a n = 1/2 n 1 para todos n. Logo a interseção de todos segmentos [a n, b n ] não pode ter mais que um elemento. Mas não pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado seria 2, o que é impossivel. Explicamos a conexão entre as duas apresentações. Para cada seqüência de s.f.e. [a n, b n ] chamemos de classe menor e de classe maior os conjuntos Q menor = { q QO : n : q < a n }, Qmaior = QO \ Q menor. Clases Q menor e Q maior não podem ter elementos comuns. e sua união é QO. Q menor não tem maximo. A seqüência [a n, b n ] defina um buraco se Q maior não tem minimo. Esta situação não é unica, mas muito tipica em QO. É possivel provar que o conjunto de buracos em QO é infinito e mesmo não contável. Agora concertamos a situação. Declaramos cada buraco de número irracional. Números racionais e irracionais juntos são chamados de números reais. Denotamos o conjunto de números reais de IR. Números reais fazem um conjunto ordenado e continuo. Exemplo. O número real 2 é irracional. Os números reais 3, são irracionais também. 3 2, 3 2 Exemplo. Consideremos uma seqüência de números racionais x 1, x 2, x 3,..., onde ( x n = ) 2 n. 2 n É fácil provar que esta seqüência cresce, i.e. x 1 < x 2 < x 3 <... É possivel provar também que todos seus termos são menor que 3. Logo podemos definir uma corte onde R menor = { } r IR : n : r < x n e R maior = IR \ R menor. Aproxi- Esta corte define um número irracional importantissimo denotado e. madamente e = 2, Definição. Para cada número real x denotamos: x = x se x 0, x se x < 0. [x] - o maximo número inteiro, qual não é maior que x ; ]x[ - o minimo número inteiro, qual não é menor que x.

17 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [17] Exemplos: se x é inteiro, logo [x] =]x[= x. Se 0 < x < 1, logo [x] = 0 e ]x[= 1. Se 1 < x < 0, logo [x] = 1 e ]x[= 0. Exercício. Quais valores pode tomar ]x[ [x]? Exercício. Quais valores pode tomar [x 2 ] [x] 2? max, min, sup, inf. Chamemos um conjunto S IR limitado se existem números A e B tais que A x B para todos x S. Exercício. Dados n conjuntos de números reais, daqueles cada é limitado. Provar que seu união e interseção também são limitados. Exercício. Dada uma familha F de subconjuntos de IR, daqueles cada é limitado. Podemos concluir que a união destes conjuntos é limitada? Podemos concluir que a interseção deles é limitada? Para cada conjunto limitado não-vazio S IR, chamemos um número f cota superior de S se x f para todos x S. Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S. Pois S é limitado e nãovazio, ambos conjuntos IR \ S e S são não-vazios, logo eles fazem uma corte no conjunto de números reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo de conjunto S e denotada sup S. Definimos inf S o infimo de S analogamente. Se S não tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S =. Analogamente, se S não tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S =. Se um conjunto de números reais é não vazio, ele tem um supremo e um infimo (talvez, infinitos). Exercício. Provar que qualquer conjunto não pode ter mais que um máximo ou mais que um supremo. Também provar que o máximo e o supremo de mesmo conjunto são iguais se ambos existem. Seja o conjunto IR apresentado como união de dois conjuntos S 1 e S 2 tais que cada elemento de S 1 è menor que cada elemento de S 2. Então, só dois casos são possiveis: ou S 1 tem maximo e S 2 não tem minimo, ou S 1 não

18 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [18] tem maximo e S 2 tem minimo. 5. Seqüências em IR. Limites. Definição. Dizemos que uma seqüência x n tem limite finito L ou tende-se para número L quando n e escrevemos se lim n x n = L ou x n n L ε > 0 k n > k : x n L < ε. (3) Aqui n deve ser natural, mas k pode ser real. A formula (3) não é única possivel. Existem outras formulas com o mesmo sentido. De outro lado, existem formulas parecidas em (3), cujo sentido é diferente. Exercício. Quais das formulas seguintes são equivalentes a (3)? a) ε > 0 k n k : x n L ε. b) k ε > 0 n > k : x n L < ε. Uma seqüência não pode ter dois limites diferentes. Demonstração. Seja x n A e x n B onde A B. Tomemos ε = A B /2 > 0. Logo existem k 1 e k 2 tais que n > k 1 : x n A < ε, n > k 2 : x n B < ε. Tomemos qualquer n > max(k 1, k 2 ). Lembramos que o modulo de diferença entre dois números é a distância entre os pontos quais representam estes números na reta. Logo a distância entre x n e A sera menor que ε e a distância entre x n e B sera menor que ε. Logo a distância entre A e B sera menor que 2ε = 2 A B 2 < A B, o que é impossivel pois esta distância é igual a A B. Definição. Uma seqüência x n é chamada limitada se existe um número C tal que n : x n < C. Se uma seqüência tende-se para um número, então ela é limitada.

19 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [19] Como escrever a afirmação que x n não tende-se para L? O jeito mais fácil é simplesamente colocar o sinal de negação no começo: ε > 0 n k > n : x k L < ε. Agora transformamos esta formula usando a regra (1) : ε > 0 n k > n : x k L < ε. Continuamos transformar usando a regra (2) : ε > 0 n k > n : x k L < ε e mais e finalemente ε > 0 n k > n : x k L < ε ε > 0 n k > n : x k L ε. Esta formula é mais apropriada quando queremos provar que uma seqüência não tende-se para um número. Então está provado o teorema seguinte: x n não tende-se para L se e somente se ε > 0 n k > n : x n L ε. Exercício. Seja { 0 se n é par, x n = 1 se n é ímpar. Provar que a seqüência x n não tende-se nem para zero nem para um. Se x n n A, então C x n C A para cada número C. Se x n A e y n B, então x n + y n A + B. Definição. Dizemos que uma seqüência x n tende-se para e escrevemos x n n se M n k > n : x k > M. Também dizemos que uma seqüência x n tende-se para e escrevemos x n n se M n k > n : x k < M. Exercício. a) Transformar negações destas formulas na maneira parecida de transformação acima.

20 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [20] b) Seja { n se n é par, x n = n se n é ímpar. Provar que a seqüência x n não tende-se nem para nem para. Definição. Se uma seqüência tende-se para um número ou para ou para, dizemos que ela tem limite. Se este limite é finito, dizemos que esta seqüência converge. Se ela tem limite infinito ou não tem nenhum limite, dizemos que ela diverge. Uma seqüência x n tende-se para número L se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { n : x n L ε } é finito. Se uma seqüência tem limite, cada outra seqüência obtida dela eliminando, incluindo e mudando um conjunto finito de termos, tem o mesmo limite. Se x n A, então cada permutação e cada sub-seqüência de x n também tende-se para A. Definição. Dizemos que uma seqüência x n é limitada se existe números A, B tal que A x n B para todos n. Definição. Dizemos que uma seqüência x n é crescente se x n < x n+1 para todos n. Definimos uma seqüência decrescente analogamente. Definição. Dizemos que uma seqüência x n é não-decrescente se x n x n+1 para todos n. Definimos uma seqüência não-crescente analogamente. Cada seqüência não-decrescente x n tem limite. Se x n é limitada, seu limite é finito, caso contrario o seu limite é. Definição. Chamemos um número f cota superior de um conjunto S IR se x f para todos x S. Chamamos uma cota superior f de S o supremo de S se f é o mínimo do conjunto das cotas superiores de S. Definimos o infimo de um conjunto analogamente. Cada conjunto não vazio tem um supremo e um infimo. (O supremo pode ser e o infimo pode ser.) Exercício. Provar que qualquer conjunto não pode ter mais que um máximo ou mais que um supremo. Também provar que o máximo e o supremo de mesmo

21 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [21] conjunto são iguais se ambos existem. Se o número S é o supremo do conjunto C, logo existe uma seqüência (x n ), todos cujos termos pertencem a C e tal que x n S. 6. Pontos de aderência. limite. Se uma seqüência tem limite, cada subseqüência dela tem o mesmo Definição. a) Um número A é chamado um ponto de aderência ou ponto aderênte duma seqüência se ela tem uma subseqüência, qual tende-se para A. b) Dizemos que é um ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma sub-seqüência, qual tende-se para. c) Dizemos que é um ponto de aderência duma seqüência se ela tem uma sub-seqüência, qual tende-se para. Observação. Lima [Lima, vol. 1] use a frase valor de aderência com mesmo sentido que o nosso ponto de aderência. Um número A é um ponto de aderência de x n se e somente se ε > 0 n k > n : x k A < ε. X. Um número A é um ponto de aderência de x n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { n : x n A < ε } é infinito. Um número A não é um ponto de aderência de x n se e somente se ε > 0 n k > n : x k A ε. Um número A não é um ponto de aderência de x n se e somente se existe ε > 0 tal que o conjunto { n : x n A < ε } é finito. Pergunta: Existe seqüência, qual contem todos números racionais? Pergunta: Existe seqüência, qual contem todos números reais? Para cada seqüência, qual contem todos números racionais, todos números reais são pontos de aderência.

22 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [22] O teorema de Bolzano-Weierstrass. Cada seqüência limitada tem pelo menos um ponto de aderência. Demonstração. Seja seqüência x n limitada,i.e. existe C tal que n : C x n C. Chamemos um conjunto S magro se o conjunto { n : x n S } é finito e gordo se o mesmo conjunto é infinito. É claro que se temos dois conjuntos magros, sua união é magra também. Agora observamos que o segmento [ C, C] é gordo. Apresentmos-ló como união de dois segmentos fechados: [ C, C] = [ C, 0] [0, C]. Logo pelo menos um deles é gordo. segmento emduas partes iguais: [ a 1 + b 1 [a 1, b 1 ] = a 1, 2 Denotamos-ló de [a 1, b 1 ] e cortamos este ] [ ] a1 + b 1, b 1. 2 Pelo menos um destes segmentos é gordo. Chamamos-ló de [a 2, b 2 ] e procedemos na mesma maneira indutivamente. Na casa passo de indução temos um segmento gordo [a n, b n ] e apresentmos-ló como [a n, b n ] = [ a n, a n + b n 2 ] [ ] an + b n, b n. 2 Pelo menos um destes segmentos é gordo. Denotamos-ló de [a n+1, b n+1 ] e procedemos na mesma maneira. Logo obtemos uma seqüência infinita de segmentos gordos [ C, C] [a 1, a 2 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... Os comprimentos destes segmentos tendem para zero, logo todos estes segmentos têm exatamente um ponto comum L. Logo, devido ao teorema X, este ponto é ponto de aderéncia de nossa seqüência x n. Corolário. Cada seqüência tem pelo menos um ponto de aderência: ou um número ou ou. Seja A o conjunto de pontos de aderência da seqüência x n e B o conjunto de pontos de aderência da seqüência y n. Logo A B é o conjunto de pontos de aderênsia da seqüência x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3,... Seja A o conjunto de pontos de aderência da seqüência x n e B o conjunto de pontos de aderência da seqüência y n. Seja x n uma subseqüência de y n. Logo A B.

23 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [23] Se uma seqüência x n tem só um ponto de aderência (um número ou ou ), então x n tende para este limite. Se uma seqüência é obtida atravez de eliminação dum conjunto finito de termos de outra seqüência, estas seqüências têm o mesmo conjunto de pontos de aderência. Se uma seqüência é obtida atravez de permutação de outra seqüência, estas seqüências têm o mesmo conjunto de pontos de aderência. 7. O criterio de Cauchy para seqüências. Definição. Dizemos que uma seqüência x n é Cauchy se ε > 0 k m, n > k : x m x n < ε. (4) O criterio de Cauchy. Uma seqüência x n dos números reais tem limite finito se e somente se ela é Cauchy. Demonstração. Numa direção: seja x n L. Provemos (4). Escolhemos qualquer ε > 0. Pois x n L, existe k tal que Logo Isto é a condição de Cauchy. n > k : x n L < ε 2. m, n > k : x m x n < ε. Noutra direção. Seja a condição (4) satisfeita. Primeiro provemos que a seqüência x n é limitada. Pois (4) é verdadeira para todos ε > 0, é verdadeira para ε = 1. Logo k m, n > k : x m x n < 1. Tomemos k com esta propriedade e m o primeiro número natural qual é mais que k. Logo n m : x m x n < 1. Logo n : x n C onde C = max { x 1,..., x m 1, x m 1, x m + 1 }.

24 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [24] Entao, esta provado que a seqüência x n é limitada. Logo, devido ao teorema de Weierstrass-Bolzano, ela tem pelo menos um ponto de aderência, o qual denotamos de L. Provemos que x n L, i.e. ε > 0 k n > k : x n L < ε. Tomemos qualquer ε > 0. Devido a (4), existe k tal que m, n > k : x m x n < ε/2. Pois L é um valor de aderencia de x n, existe q > k tal que x q L < ε/2. Logo n > k : x n L < ε, o que presicamos. O criterio de Cauchy esta provado nas ambas direções. Exercício. Aplicando regras (1) e (2), transformar a formula dizendo que uma seqüência não tem limite finito. Exercício. Provar que a seqüência 1, 0, 1, 0, 1, 0,... não tem nenhum limite, nem finito, nem infinito. Exercício. Seja todos números racionais enumerados. Provar que esta seqüência não tem nenhum limite. 8. Conjuntos abertos e fechados em IR. Definição. Para cada ponto p IR e cada ε > 0 chamemos ε -vizinhança de p e denotamos de V ε (p) o conjunto V ε (p) def = { q : q p < ε }. A noção de visinhança poderia ser útil em todos os capitulos anteriores. exemplo, usando-ló obtemos criterios novos de limite e ponto de aderência: Por A seqüência x n tende para p quando n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { n : x n / V ε (p) } é finito. O numero p é um ponto de aderência duma seqüência x n se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { n : x n V ε (p) } é infinito. Agora vamos falar de coisas novas.

25 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [25] Definição. Um ponto p IR é chamado de ponto interior dum conjunto S IR se existe ε > 0 tal que V ε (p) S. Definição. interiores. Chamemos um conjunto C IR aberto se todos seus pontos são Exemplos. Os conjuntos, IR, (a, b), (, b), (a, ) são abertos. Seja F qualquer família de conjuntos abertos. Logo sua união C F C é aberta também. Exercício. aberta. Se conjuntos C 1,..., C n são abertos, sua interseção é aberta também. Apresentar uma seqüência de conjuntos abertos, cuja interseção não é Definição. Chamemos um ponto p IR ponto de aderência dum conjunto S IR se existe uma seqüência x n, todos cujas termos pertencem a S, qual converge a p. Um ponto p IR é ponto de aderência dum conjunto S IR se e somente se para cada ε > 0 os conjuntos S e V ε (p) tem interseção não-vazia. Exercício. Provar que um ponto p não é um ponto de aderência de conjunto S se e somente se existe ε > 0 tal que S V ε (p) = Um ponto p S IR é interior em S se e somente se p não é ponto de aderência de IR \ S. Um ponto p S IR é ponto d aderência de S se e somente se p não é ponto interios de IR \ S. Definição. Para cada conjunto S IR chamemos de seu fecho e denotamos de fecho(s) o conjunto de pontos de aderência de S. Exercício. Provar que qualquer S f echo(s). Definição. Chamemos um conjunto S IR fechado se ele coincide com seu fecho.. Exercício. Provar que cada fecho é fechado. Exemplos. Os conjuntos, IR, { x }, [a, b], (, b], [a, ) são fechados.

26 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [26] Mais exemplos. Os conjuntos (a, b] e [a, b) são nem abertos, nem fechados. O conjunto dos números racionais também é nem aberto, nem fechado, e o conjunto dos números irracionais também. O conjunto de pontos de aderência duma seqüência limitada é fechado. a) Se o conjunto C IR é aberto, então IR \ C é fechado. b) Se o conjunto S IR é fechado, então IR \ S é aberto. Seja F qualquer família de conjuntos fechados. Logo sua interseção C F C é fechada também. Exercício. Exercício. fechada. Provar que o conjunto de Cantor é fechado. Se conjuntos S 1,..., S n são fechados, sua união é fechada também. Apresentar uma seqüência de conjuntos fechados, cuja união não é (Lema de Heine-Borel-Lebesgue.) Temos uma familha F de conjuntos abertos na reta tal que a união de todos estes conjuntos inclue o segmento fechado [a, b]. Logo existe uma sub-familha finita F F tal que a união de todos seus elementos também inclue [a, b]. Demonstração. Chamemos um conjunto mole se é possivel escolher uma subfamilha finita tal que a união de todos seus elementos inclue este conjunto e duro caso contrario. Observamos que se dois conjuntos são moles, sua união é mole também. Agora supomos que o segmento [a, b] é duro e obtemos um contradição. Apresentamos [0, 1] como união de dois segmentos fechados: [ ] [ ] a + b a + b [a, b] = a, 2 2, b. Se ambos estes segmentos são moles, sua uniao é mole tambem, o que é contra nossa suponha. Logo pelo menos um destes segmentos é duro. Chamemos este segmento de [a 1, b 1 ] e cortamos-ló em duas metades na maneira parecida: [ ] [ ] a 1 + b 1 a1 + b 1 [a 1, b 1 ] = a 1,, b Na mesma maneira concluimos que pelo menos destes segmentos é duro e chamamos-ló de [a 2, b 2 ]. Fazemos o mesmo pela indução: apos de receber um

27 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [27] segmento duro a n, b n, apresentamos-ló como união de dois segmentos [a n, b n ] = [ a n, a n + b n 2 ] [ ] an + b n, b n, 2 concluimos que pelo menos um destes segmentos é duro e denotamos-ló de [a n+1, b n+1 ]. Logo obtemos um seqüência de segmentos duros encaixados: [a, b] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... O comprimento de [a n, b n ] é (b a)/2 n, logo tende para zero quando n. Estes segmentos têm um ponto comum, qual denotamos de L. Lembramos que a união de elementos de F inclue [a, b], logo inclue o ponto L. Logo existe um conjunto aberto C F tal que L C. Pois C é aberto, existe ε > 0 tal que (L ε, L + ε) C. Escolhemos n tal grande que (b a)/2 n < ε. Logo [a n, b n ] C. Mas isto significa que [a n, b n ] é mole! Temos uma contradição, qual mostra que nossa suponha foi falsa; na verdade o segmento [a, b] é mole. 9. Limsup, liminf. Definição. Dada seqüência x n. Denotamos lim sup n x n o supremo (de fato, maximo como reconhecemos em baixo) de conjunto de pontos de aderência dela. Analogamente denotamos lim inf n x n o infimo (de fato, minimo) de conjunto de pontos de aderência dela. Dada seqúência x n, denotamos T n = { x n, x n+1, x n2,... }, I n = inf T n, S n = sup T n. Logo lim inf x n n = n lim I n, lim sup x n = lim n n S n. (Isto é como Lima [Lima, vol. 1] define lim inf e lim sup.) Exercício. Seja x n = ( 1) n /n. Descobrir lim inf x n e lim sup x n. Exercício. Provar que lim sup (x n + y n ) lim sup x n + lim sup y n. Pode ser que lim sup (x n + y n ) < lim sup x n + lim sup y n?

28 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [28] 10. Funções IR IR. Limite e continuidade. Definição. Dada uma função f : S IR, definida em um conjunto S IR, qual contem uma visinhança de ponto x 0, mas não precise conter o mesmo ponto x 0. Dizemos que um número A é o limite de f quando x x 0 e escrevemos A = lim x x0 f(x) ou f(x) x x0 A se ε > 0 δ > 0 x S : 0 < x x 0 < δ f(x) A < ε. Também dizemos que lim x x0 f(x) = se M δ > 0 x S : 0 < x x 0 < δ f(x) > M. Também dizemos que lim x f(x) = A se ε > 0 M x S : x > M f(x) A < ε. Também dizemos que lim x f(x) = se M N x S : x > N f(x) > M. Exercício. Provar que uma função não pode ter dois limites quando x x 0 ou quando x. Também, podemos definir esquerdo e direito limites duma função f(x) num ponto x 0 denotados lim f(x) = lim f(x) e lim f(x) = lim f(x) x x 0 x x 0 x x 0 + x x 0 e definidos analogamente, só no lugar de 0 < x x 0 < δ escrevemos x 0 δ < x < x 0 ou x 0 < x < x 0 + δ. Uma função tem limite no ponto x 0 se e somente se ela tem esquerdo e direito limites, qual são iguais. Definição. Dizemos que uma função f é continua em ponto x 0 se ela é definida neste ponto, o limite dela quando x x 0 existe e este limite é igual á f(x 0 ). Uma função é continua no ponto x 0 se e somente se ela tem esquerdo e direito limites, qual são iguais para um outro e para f(x 0 ).

29 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [29] Uma função f : IR IR é continua no ponto x 0 se e somente se para cada seqüência (x n ), cujos termos são diferentes de x 0 e qual tende-se para x 0, a seqüência f(x n ) tende-se para f(x 0 ). lim x x0 (f(x) + g(x)) = lim x x0 f(x) + lim x x0 g(x). lim x x0 (f(x) g(x)) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x). Seja g(x) > 0 para todos x. Logo lim (f(x)/g(x)) = x x 0 x x0 lim f(x)/ x x0 lim g(x). Dizemos que uma função f : IR IR é não-decrescente se x, y IR : x < y f(x) f(y). Seja f(x) uma função não-decrescente definida em todo IR. Logo f(x) tem esquerdo e direito limites no cada ponto e x, x 1, x 2 > x : x 1 < x < x 2 f(x 1 ) f(x ) f(x) f(x+) f(x 2 ). Também x 1 < x 2 : f(x 1 +) f(x 2 ). Se função f(x) é não-decrescente, logo x 1 < x 2 : f(x 1 +) f(x 2 ). Lema. Temos um conjunto C de intervalos abertos na reta, daqueles cadas dois não tem pontos comuns. Provar que o conjunto C é vazio, finito ou contável. (Mesmo para discos abertos no plano.) Definição. Dizemos que uma função f é continua num conjunto S se ela é continua no cada x S. Seja uma função f definida na toda reta. Logo as três condições seguintes são equivalentes: a) Função f é continua na toda reta.

30 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [30] b) Pre-imagem de cada conjunto aberto é aberta. c) Pre-imagem de cada conjunto fechado é fechada. Definição. Dizemos que uma função f(x) é limitada num conjunto se existe número C tal que f(x) C neste conjunto. Se f(x) é continua em [a, b], logo: a) f(x) é limitada em [a, b]. b) f(x) tem maximo e minimo em [a, b], i.e. x [a, b] : f(x ) = max f(x), [a,b] x [a, b] : f(x ) = min [a,b] f(x). c) Para cada y [f(a), f(b)] existe x [a, b] tal que f(x) = y. Se uma função é continua num segmento fechado [a, b], ela é limitada e tem maximo e minimo neste segmento. Seja f(x) continua em [a, b] e f(a) < 0 e f(b) > 0. Logo existe x (a, b) tal que f(x) = 0. Dica. Consideramos o conjunto C = { x [a, b] : f(x) 0 }, denotamos s o supremo deste conjunto e provemos que f(s) = 0. Observação. É claro que o valor de x [a, b] onde é f(x) = 0 não precise estar único. Pode existir muito valores com esta condição, mesmo um conjunto infinito. Corolario. Se n é ímpar, o polinomio tem pelo menos uma raiz real. P (x) = x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 também. Se z = z(y) e y = y(x) e ambas são continuas, logo z(x) é continua Dado conjunto S IR, chamemos um ponto x S interios de S se existe ε > 0 tal que V ε (x) S. Para cada conjunto S IR, denotamos int(s) o conjunto dos pontos interiores de S. Definição. Para cada S IR chamemos fronteira de S e denotamos f ront(s) a interseção de fecho de S e fecho de IR \ S. int(s) = S \ front(s).

31 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [31] Para cada função f : IR IR denotamos Im f e chamamos imagem de f o conjunto { f(x) : x IR }. Chamamos um conjunto C IR d convexo se para cadas a, b C o todo segmento [a, b] pertence a C. Para cada função continua f : IR IR o imagem de f é convexo. Observação: Seria melhor diser que o imagem de f é conectado, pois isto é verdade em todas dimenções, mas a noção de conectividade é mais complicada e na dimenção 1 é equivalente a convexidade. Todos sub-conjuntos convexos de IR são:, IR, (, b), (, b], (a, ), [a, ), (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], { a }, (5) onde a < b IR são parametros. Corolário. Para cada função continua f : IR IR o imagem de f pertence a lista (5). Chamemos uma função f(x) definida num segmento S crescente se a, b S : a < b f(a) < f(b). Se f(x) é crescente em S, para cada a int(s) : a) Os limites lim f(x) e lim f(x) x a x a+ existem e lim f(x) lim f(x). x a x a+ b) Estes limites são iguais se e somente se f(x) é continua no ponto a. é aberto. Se f(x) definida na toda reta é continua e crescente, a imagem dela Corolário. Se f(x) definida na toda reta é continua e fortemente monotonica, a imagem dela pertence a lista IR, (, b), (a, ), (a, b).

32 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [32] 11. Continuidade uniforme e condição de Lipschitz. Dizemos que uma função f : S IR é uniformemente continua em S se ε > 0 δ > 0 x, x 0 S : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. definida em IR é continua em IR, mas não uniforme- Exemplo. Função y = x 2 mente continua. Exemplo. Função y = 1/x definida em S = { x : x > 0 } é continua em S, mas não uniformemente continua. Exercício. Sabemos que uma função é continua na toda reta IR. Podemos concluir que ela é uniformemente continua na IR? em [a, b]. Se uma função é continua em [a, b], ela é uniformemente continua Se uma função é uniformemente continua em (a, b), ela é limitada e existem limites lim f(x) e lim f(x). x a+ x b Se f(x) é continua na toda reta e tem limites quando x e x, ela é uniformemente continua na toda reta. Definição. Dizemos que uma função f : S IR satisfaz a condição de Lipschitz com constanta C ou é C-Lipschitz se existe um número C > 0 tal que x, y S : f(x) f(y) C x y. continua. Exercício. Se uma função satisfaz a condição de Lipschitz, ela é uniformemente Apresentar uma função uniformemente continua, mas não Lipschitz.

33 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [33] 12. Espaços métricos. Espaço métrico (S, ρ) é um conjunto S, para cadas dois elementos x, y daquele, chamados pontos, uma distância ρ(x, y) entre eles é definida tal que para todos x, y, z S : se x = y, logo ρ(x, y) = 0 ; se x y, logo ρ(x, y) = ρ(y, x) > 0 ; ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Exemplos. (a) S = IR e ρ(x, y) = x y ; (b) S = IR 2 e ρ ( (x, y), (a, b) ) = (x a) 2 + (y b) 2. (c) S é o conjunto de funções definidas e continuas em D = [0, 1] com distâncias ρ(f, g) = sup x D f(x) g(x). Aqui poderiamos escrever max no lugar de sup. Dado espaço métrico (S, ρ), para cada S S podemos definir sub-espaço, a saber espaço métrico (S, ρ) com o conjunto de pontos S e mesmas distâncias ρ entre seus pontos. Exemplo (d). Consideremos um espaço metrico S, ρ parecido no exemplo (c) acima, com mesmas distâncias, mas com outro conjunto S de pontos: uma função f S pertence a S se x D : f(x) 1. Tal definido (S, ρ) é um sub-espaço de (S, ρ). Se temos uma seqüência de pontos (a n ) num espaço métrico (S, ρ), disemos que um ponto p S é um limite desta seqüência se ρ(a n, p) tende para zero quando n. Qualquer seqüência num espaço métrico não pode ter mais que um limite. Demonstração. Seja a seqüência (a n ) tem dois limites diferentes p e q. Logo ρ(p, q) > 0. Escolhemos ρ(p, q) ε =. (6) 2

34 File posgrad/metodos/2006/teor.tex on July 22, 2008 on [41] pages [34] Logo k 1 : n > k 1 : ρ(a n, p) < ε, k 2 : n > k 2 : ρ(a n, q) < ε. Podemos tomar n natural mais que max(k 1, k 2 ). Logo ρ(a n, p) < ε e ρ(a n, q) < ε, de onde ρ(p, q) < 2ε, o que contradiz (6). Dado espaço métrico (S, ρ), um ponto p é o limite duma seqüência (a n ) se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { q S : ρ(p, q) ε } é finito. Um ponto p num espaço métrico é chamado ponto de aderência duma seqüência no mesmo espaço se ela tem uma sub-seqüência, qual tende para p. Dado espaço métrico (S, ρ), um ponto p é um ponto de aderência duma seqüência (a n ) se e somente se para cada ε > 0 o conjunto { q S : ρ(p, q) < ε } é infinito. Dado espaço métrico (S, ρ) e conjunto C S, chamemos de diametro de C diam(c) = sup ρ(p, q). p,q C Chamemos C limitado se seu diametro é finito. Chamemos uma seqüência em (S, ρ) limitada se o conjunto de seus termos é limitado. Uma seqüência (a n ) num espaço métrico (S, ρ) é chamada Cauchy se ε > 0 k m, n > k : ρ(a m, a n ) < ε. (7) Lema. Cada seqüência Cauchy é limitada. Demonstração. Substituindo ε = 1 em (7), obtemos que existe k natural tal que ρ(a m, a n ) < ε para todos m, n > k. É fácil provar que diam { a n } diam { a1,..., a k, a k+1 } + 1, onde a parte direita é finita pois cada conjunto finito tem diameter finito. Lema. Uma sequencia (a n ) é Cauchy se e somente se todos diametros diam { a n, a n+1, a n+2, a n+3,... }