Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real

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1 Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real Nesta lista, a n, b n, c n serão sempre sequências de números reais.. Mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do supremo possui a propriedade do ínfimo. 2. Defina a seguinte propriedade do máximo : um conjunto ordenado A é dito ter a propriedade do máximo se todo subconjunto limitado superiormente tem máximo. A propriedade do mínimo é definida analogamente. É verdade que todo conjunto ordenado com a propriedade do máximo possui a propriedade do mínimo? Mostre ou dê um contra-exemplo. 3. Mostre que em qualquer conjunto ordenado X, toda sequência possui subsequência monótona. 4. Mostre que toda sequência real convergente é limitada. 5. Mostre que diretamente da definição que toda sequência real de Cauchy é limitada (isto é, sem usar a equivalência em R de sequências de Cauchy e sequências convergentes) 6. Mostre que se uma subsequência de uma sequência monótona é convergente, então a sequência é convergente. 7. Mostre que se x n x, então x n x. 8. Mostre que x n 0 se e somente se x n Seja A um subconjunto de R. Dado k R, defina A k := {k a a A}. Mostre que se k > 0, então sup A k = k sup A. Mostre também que se k < 0, então sup A k = k inf A. 0. Mostre que se k > 0, e se k < 0, lim sup(ka n ) = k lim sup a n lim sup(ka n ) = k lim inf a n.. Mostre que se a n, b n > 0, lim a n = a R e lim sup b n +, então lim sup(a n b n ) = a lim sup b n. 2. Suponha que lim sup a n e lim sup b n não sejam ±. É verdade em geral que lim sup(a n b n ) = lim sup(a n ) lim sup(b n )? Mostre ou dê um contra-exemplo. E se colocamos também a restrição de a n > 0, b n > 0? 3. Mostre que se existe um número a R tal que toda subsequência de a n possui uma subsequência convergindo para a, então a n converge para a. 4. Calcule o limite das sequências abaixo. n 2 + n n; n n k, k natural fixado;

2 n n!; n! n n. 5. Mostre que a sequência de Fibonacci F n possui a fórmula explícita 6. Estude a convergência da série F n = ( + 5) n ( 5) n 2 n. 5 F n. 7. Sejam x,, x p números reais positivos. Ache o limite da sequência a n := n x n + + xn p. 8. Mostre que se a n > 0, b n > 0 e lim an b n somente se b n converge. é um número real diferente de 0, então a n converge se e 9. Se o limite for zero no exercício anterior, o que podemos concluir? E se for infinito? 20. Estude a convergência das séries abaixo. n 2 n 4 + sin(n) ; n! n n ; n log(n) ; n log(log(n)). 2. Mostre que a sequência s n := é convergente. Ela converge para zero ou para um número maior que zero? 22. Demonstre o teorema a seguir. Teorema do Confronto: Sejam x n, y n, z n sequências de números reais tais que Se x n a e z n a, então y n a. 2n i=n i x n y n z n. 23. Mostre que se a n b n, então lim sup a n lim sup b n e lim inf a n lim inf b n. 24. Suponha que a n > 0. Mostre que se a n é convergente, então a 2 n também é convergente. 25. Mostre que o exercício anterior é falso sem a hipótese de a n > É verdade que sempre existe uma subsequência de a n convergindo para sup{a n }? (o sup da imagem da sequência). Mostre ou dê um contra-exemplo. Se for falso, você consegue dizer uma condição natural que faça ser verdade? 2

3 27. Defina Mostre que a função D := {f : Z {0,,, 9} N N : f(n) = 0 n > N}. F : D R 0 f i Z f(i)0 i está bem-definida e é sobrejetiva. Mostre também que ela não é injetiva. 28. Mostre que se a n a, então s n := a + + a n n também converge para a. A recíproca vale? Mostre ou dê um contra-exemplo. 29. Este exercício mostra um algoritmo eficiente para aproximar raízes quadradas, junto com uma estimativa de sua eficiência. Seja a > 0. Escolha x > a, e defina uma sequência x n através da recorrência Mostre que x n a. x n+ = 2 ( x n + a ). x n Defina ɛ n := x n a (isto é, o erro de aproximação). Mostre que ɛ n+ = ɛ2 n < ɛ2 n 2x n 2 a. Conclua por indução que ɛ n+ < 2 ( ) 2 n ɛ a 2. a Faça algumas contas com algum exemplo. Por exemplo, para calcular 5, podemos começar de x = 3 e temos uma estimativa (grosseira) para ɛ /2 5 dada por ɛ /2 5 < /4. Mesmo com tal estimativa grosseira, obtemos que o erro na quinta iteração pode ser estimado como a seguir ɛ 5 < 2 5 ( ) 2 4 < < < Pesquise sobre o teste de Dirichlet para convergência de séries e veja sua demonstração. 3. Este exercício introduz o conceito de séries de potências. Uma série de potências é, a priori, uma soma formal do tipo a n (X x 0 ) n, onde a n é uma sequência de números reais e x 0 é um número real fixado. Usamos o termo formal para implicitamente dizer que não atribuímos a priori nenhum significado de convergência para a série acima: rigorosamente falando, temos só uma sequência de números a n. 3

4 Estamos interessados em saber para quais números reais x a série a n (x x 0 ) n converge, de forma que este símbolo realmente faça sentido quando interpretamos ele como série. Mostre que dada uma série de potências, há 3 e apenas essas 3 possibilidades: a possibilidade: Existe um número real R tal que Se x x 0 < R, então a série é convergente. Se x x 0 > R, então a série é divergente. 2 a possibilidade: A série converge para qualquer número real R. 3 a possibilidade: A série só converge para x = x 0. Definimos então o raio de convergência de uma série de potências como sendo o número R caso estejamos no caso, + caso estejamos no caso 2 e 0 caso estejamos no caso 3. Dica: Use o teste da raíz. 32. Dê exemplos mostrando que qualquer coisa pode acontecer no bordo do raio de convergência na primeira possibilidade. 33. Dada uma série de potências a n (X x 0 ) n, definimos sua derivada formal como sendo a série (n + )a n+ (X x 0 ) n. Mostre que a derivada formal de uma série de potências possui o mesmo raio de convergência que a série de potências original. No entanto, mostre que é possível que ocorra mudança de convergência em pontos do bordo do raio de convergência. OBS: É possível mostrar que no raio de convergência, a derivada formal é de fato a derivada da função dada pela série de potências. 34. Mostre que a série de potências n! Xn define uma série convergente para todo x R, e que sua derivada formal é igual a si própria. 35. Este exercício introduz o conceito de séries de Fourier. Uma série de Fourier será, para nós, uma soma formal do tipo (a n cos(2πnx) + b n sin(2πnx)). A questão de convergência de séries de Fourier é muito mais delicada que de séries de potências. Por exemplo, ache os números reais x para o qual a série n sin(2πnx) é convergente. n= Dica : Você provavelmente vai precisar de outros exercícios desta lista, não necessariamente apenas anteriores a este. Dica 2: Use que e ix = cos(x) + i sin(x) junto com a dica. 4

5 36. Dada uma série de Fourier (a n cos(2πnx) + b n sin(2πnx)), definimos sua derivada formal como sendo a série (2πnb n cos(2πnx) 2πna n sin(2πnx)). Mostre que a derivada formal da série n= n sin(2πnx) (a série do exercício anterior) é divergente para qualquer x real. 37. Seja (X, d) um espaço métrico. Dizemos que A (X, d) é limitado se existe p X e R > 0 tal que A B(p; R). Mostre que se A é limitado, então para qualquer p X existe R > 0 tal que A B(p, R ). 38. Mostre que toda sequência convergente em um espaço métrico é limitada. 39. Mostre que toda sequência de Cauchy em um espaço métrico é limitada. 40. Mostre um exemplo de um espaço métrico que possui uma sequência limitada que não tem subsequência convergente. 4. Mostre a unicidade do limite de sequências em espaços métricos. 42. Seja (X, d) um espaço métrico com a métrica discreta. Diga exatamente quem são as sequências convergentes. 43. Sejam x n, y n sequências de Cauchy em um espaço métrico. Mostre que a n := d(x n, y n ) é uma sequência convergente (OBS: Note que a n é uma sequência de números reais, independentemente de onde x n, y n vivem). 44. Seja x n uma sequência em um espaço métrico que converge para p, e y n uma sequência tal que d(x n, y n ) 0. É verdade que y n converge para p? Mostre ou dê um contra-exemplo. 45. Seja x n uma sequência em um espaço métrico tal que a subsequência formada pelos índices pares e a subsequência formada pelos ímpares convergem para o mesmo ponto p. Mostre que x n converge para p. 46. O diâmetro diam(a) de um subconjunto A de um espaço métrico (X, d) é definido como sup{d(x, y) x, y A}. Dada uma sequência x n em (X, d), defina E n := {x i i n}. Mostre que uma sequência x n é de Cauchy se e somente se lim diam(e n ) = É verdade que o diâmetro de uma bola de raio r em um espaço métrico (X, d) é 2r? Mostre ou dê um contra-exemplo. 48. Seja (X, d) espaço métrico. A afirmação abaixo é verdadeira? (X, d) é completo Toda sequência limitada em (X, d) possui subsequência convergente. Demonstre se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se não for. Se não for, alguma das implicações é verdadeira? Demonstre ou dê um contra-exemplo (faça isso para cada uma das implicações). 49. Sejam (X, d ),, (X p, d p ) espaços métricos. Mostre que a função d : (X X p ) (X X p ) R ( (x,, x p ), (y,, y p ) ) max{d (x, y ),, d p (x p, y p )} 5

6 é uma métrica. Diga (pictoricamente) quem são as bolas abertas em R 2 e R 3 com tal métrica, obtida considerando tais espaços como o produto de R s com a métrica canônica dada pelo valor absoluto da diferença. Denotaremos R p com tal métrica por (R p, d prod ). Mostre que uma sequência x n = (x (n),, x(n) p ) X X p converge para x = (x,, x p ) se e somente se as sequências dadas por cada i-ésima coordenada de x n convergem para a i-ésima coordenada de x. Mostre também que uma sequência no produto é de Cauchy se e somente se cada coordenada é Cauchy. 50. Mostre que se (X, d ),, (X n, d n ) são espaços métricos tais que toda sequência limitada possui subsequência convergente, então X X n com a métrica d prod também satisfaz a propriedade que toda sequência limitada possui subsequência convergente. 5. Mostre que se (X, d ),, (X n, d n ) são espaços métricos completos, então X X n com a métrica d prod também é completo. 52. Procure a definição de um espaço vetorial real com produto interno, e demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz. 53. Procure a definição de um espaço vetorial real normado, e mostre que todo espaço vetorial com produto interno tem uma norma natural dada por x := x, x (mostre que é de fato uma norma!). 54. Mostre que todo espaço vetorial real normado é naturalmente um espaço métrico, com métrica dada por d(x, y) := x y (mostre que é de fato uma métrica!). 55. Mostre que, : R n R n R n x, y = x i y i define um produto interno em R n. A métrica que se origina dos exercícios anteriores (explicitamente dada por d(x, y) = (x y ) (x n y n ) 2 é chamada de métrica Euclidiana, e a norma (explicitamente dada por x = x x2 n) é chamada de norma Euclidiana, e denotada por 2 quando queremos evitar confusão. O espaço Euclidiano é R n equipado com toda essa estrutura. 56. Mostre que a função i= : R n R x max{ x,, x n } é uma norma, e que a métrica que ela dá origem é d prod. Chamaremos tal norma de. 57. Mostre que, dado x R n, temos que x x 2 e existe uma constante C (que depende apenas de n) tal que x 2 C x. 58. Conclua que uma sequência x n converge para x em (R p, d prod ) se e somente se converge para x em (R p, d Euc ). Finalmente, mostre usando os exercícios anteriores que toda sequência limitada no espaço Euclidiano tem subsequência convergente. 59. Conclua que uma sequência x n é de Cauchy em (R p, d prod ) se e somente se é de Cauchy em (R p, d Euc ). Finalmente, mostre usando os exercícios anteriores que toda sequência de Cauchy no espaço Euclidiano é convergente. 6

7 60. Considere o espaço métrico (X, d) := C 0 ([0, 2]), d(f, g) := 2 f g. Mostre que a função 0 ev 0 : X R f f(0) é linear. Defina a sequência de funções f n : [0, 2] R dada por f n (x) = nx se x /n, f n (x) = 0 se x /n. Mostre que f n 0 com relação à métrica d, e que lim ev 0 (f n ) ev 0 (lim f n ). OBS: Veremos posteriormente que este é um exemplo de uma função linear que não é contínua, fenômeno que não pode acontecer com funções lineares no R n canônico. 6. Mostre que em um espaço normado X com a métrica dada pela norma, temos que x n 0 se e somente se x n Considere C := R 2, com as operações que o definem como corpo de forma canônica. Em primeiro lugar, mostre que a fórmula a n b n = (a b)(a n + a n 2 b + + ab n 2 + b n ) vale em qualquer anel comutativo. Conclua que uma série geométrica z n converge se e somente se z <. Mostre que se z = e z, apesar de a série geométrica divergir, suas somas parciais associadas formam uma sequência limitada. 7