Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 2. Sequências de Números Reais

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1 Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 0 Lista Sequências de Números Reais. Dê o termo geral de cada uma das seguintes sequências: a,, 3, 4,... b, 4, 9, 6,... c,, 6, 4, 0,... d, 4 3, 3, 8 5,.... Dê exemplos de: a Sequência a n tal que a n 0, 0, n N e a n 0. b Sequência a n tal que a n 7 0,, n N e a n. c Sequência que não seja monótona, e que seja convergente para 0. d Sequência a n tal que a n 0, 9, n N e a n 9. e Sequência a n tal que a n, 3 5, n N e a n. 3. Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo. a Toda sequência convergente é limitada. b Toda sequência limitada é convergente. c Toda sequência crescente não é convergente. d Se b n e c n são subsequências da sequência a n, com b n L e c n L, então a n L. e Se a n possui uma subsequência convergente, então a n é convergente. f Se a n possui subsequência convergente, então a n é limitada. g Se a n é uma sequência monótona que possui uma subsequência convergindo para L, então a n também converge para L.

2 h Se a n é monótona e possui subsequência limitada então a n é limitada. i Se a n é uma sequência crescente, então ela não é limitada superiormente. j Se a n L e L > 0, então a n > 0, n N. k Se a n > 0, n N, e a n L, então L > 0. l Se a n L e k R, então a sequência b n = ka n converge para kl. m Se a n < b n, para todo natural n, e a n a e b n b então a < b. 4. Mostre que o limite de uma sequência, quando existe, é único. 5. Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição. n a lim n +5 b lim c lim d lim 3n n n n+5 n n+ sennx n, x R qualquer. 6. Mostre que se a n L e L > M respect. L < M, então existe n 0 N tal que n > n 0 a n > M respect. n > n 0 a n < M. 7. Sejam a n, b n e c n três sequências tais que a n b n c n, com a n L e c n L. Mostre que b n L. 8. Mostre que a sequência a n = n não é convergente. 9. Mostre que se a n L então a n L. A recíproca é verdadeira? 0. Mostre que se a n é limitada e b n 0 então a n b n 0. Se a n for uma sequência qualquer o resultado continua válido?. Mostre que se a n a e a n 0, n N, então a n a.

3 . Em cada um dos ítens abaixo, construa uma sequência que tenha a propriedade indicada. a duas subsequências convergentes, cada uma delas para cada um dos números 0 e. b três subsequências convergentes, cada uma, para cada um dos números 0, e. c para cada j N, uma sequência que tenha exatamente j valores de aderência. d uma sequência que tenha um conjunto infinito enumerável de valores de aderência. e uma sequência cujo conjunto dos valores de aderência seja igual a R. 3. Prove que: a lim n + n n n =. b lim n+ + c lim + + n n+ d lim n + h n = 0. n n = = 0. n+ n 4. Mostre que a sequência a n = n+ + n n converge e que seu limite está entre e. 5. soma da PG infinita Mostre que se q < então a sequência a n = + q + q q n converge para q. 6. Se p > 0 mostre que lim = 0. n p 7. Estude a convergência da sequência a n para diferentes valores de a: a >, a =, 0 a <, < a < 0, a = e a < sugestão: caso a > escreva a = + h e use a Desigualdade de Bernoulli; caso 0 < a < faça o mesmo com o número /a. 3

4 8. O objetivo desse exercício é mostrar que se p > 0 então lim n p =. a Suponha p > e considere x n = n p. Aplique a Desigualdade de Bernoulli aos números + x n para mostrar que x n 0. b Se 0 < p < aplique a conclusão do item anterior a /p. 9. O objetivo desse exercício é mostrar que n n 0. a Defina x n = n n. Como x n 0 use o Binômio de Newton para mostrar que n = + x n n nn x n. b Conclua que x n Mostre que n n + n.. Mostre que se a, b 0 então lim n a n + b n = max{a, b}.. Escolha 0 < a < b e defina a n+ = a n b n, b n = a n + b n. a Mostre que cada uma das sequências a n e b n é convergente. b Mostre que ambas têm o mesmo limite. 3. número e Faça o que se pede. a Mostre que a n = + +! n! é convergente e denote seu limite pela letra e. b Mostre que e < 3. c Mostre que e é irracional curiosidade: e =, d Considere a sequência b n dada por b n = + n n. Faça o que se pede. e Usando o Binômio de Newton mostre que b n é crescente e que b n < a n, n. Conclua que b n é convergente e que lim b n e. f Mostre que para n > p vale b n ++! n p! 4... p. n n n

5 g Fixando p e fazendo n demonstre que lim b n a p, p N. h Conclua que lim b n = e. 4. Seja a n a sequência definida indutivamente por: a = e a n+ = + an, para n >. a Escreva os 5 primeiros termos dessa sequência. b Mostre, por indução, que a n <, n N. c Mostre que a n é crescente sugestão: verifique que a n+ a n = a n + a n > 0, para n, então a n+ > a n. d Conclua, pelos itens anteriores, que a n é convergente e calcule seu limite. 5. Generalize o exercício anterior considerando a sequência a = a e a n+ = a + a n, onde a > 0. a Sejam p = + +4a e q = +4a. Verifique que p e q são raízes da equação r r a = 0. Conclua que pq = a e p + q =. Verifique também que a + p = p, a + q = q e q < 0. b Mostre, por indução, que a n < p, n. Depois, mostre que a n é crescente sugestão: a n+ a n = p a n q + a n > 0. c Finalmente, conclua que a n é convergente e calcule seu limite. 6. Qual o valor de ? 7. Aproximações sucessivas da raiz quadrada Seja a > 0 e a n definida indutivamente por a = a e a n+ = a n + a a n, para n >. a Usando o fato de que x a x 0 obtenha x + a x 4a. Use isso para mostra que x n+ a, n N. b Mostre que a n+ a n+, n N. c Mostre que a n é convergente e calcule seu limite. 8. Dizemos que a n é uma sequência de Cauchy quando para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que m, n > n 0 a m a n < ɛ. 5

6 a Mostre que toda sequência convergente é de Cauchy. b Mostre que se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente então a sequência é convergente. c Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada. d Conclua que uma sequência é convergente se, e somente se, a sequência é de Cauchy. 9. Sequência de Fibonacci e número áureo A sequência a n definida por a = a = e a n+ = a n + a n+ é chamada Sequência de Fibonacci. O número áureo φ é definido como a raiz positiva da equação x =, x ou seja, φ = + 5. O objetivo desse exercício é verificar que a sequência de Fibonacci tende a ser uma P.G. cuja razão é o número áureo, mais precisamente, definindo x n por x n = a n+ a n tem-se que x n φ. Mostre que: a φ = + φ. b x n+ = + x n, n N e x n 0, n N. c x n+ x n+ x n+ x n, n N e conclua que x n+ x n+ n x x, n N. d x n é uma sequência de Cauchy. e x n φ. 6