A sequência é ordenada pois existe um primeiro termo,, um segundo termo,, e, se denota um número inteiro positivo arbitrário, um n-ésimo termo.

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1 MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SEQUÊNCIAS INFINITAS A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Uma sequência é uma sucessão de elementos dispostos em uma ordem definida. Exemplo de uma sequência numérica infinita: A sequência é infinita: Notação: e cada número é um termo da sequência. Assim, cada termo terá um sucessor. A sequência também pode ser escrita como ou Exemplo: a sequência tem como o seu n-ésimo termo: A sequência é ordenada pois existe um primeiro termo,, um segundo termo,, e, se denota um número inteiro positivo arbitrário, um n-ésimo termo. Definição: Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos, pois para cada inteiro positivo, existe um número correspondente. Uma função é uma correspondência que associa a cada número do domínio exatamente um número do contradomínio (conjunto de números reais). f: sequência infinita. Domínio de f = Domínio de ( A sequência é a função com para todo inteiro positivo. Exemplos: Sequência n-ésimo termo Termos da sequência Décimo termo (0.1) ,...} 1

2 Gráfico de uma sequência : Exemplo: f(n) f(n)=n/(n+1) n Uma sequência pode ter a seguinte propriedade: A medida que cresce, se aproxima de um número real L, ou seja, se é suficientemente grande!! Exemplo: Primeiros termos desta sequência : 1.5, 2.25, 1.875, , , ,... Os termos se aproximam de 2 quando cresce!! Para todo inteiro positivo, Logo, o número pode tornar-se arbitrariamente próximo de 0, DESDE QUE seja suficientemente grande!! Definição 1: Uma sequência converge para o limite L, se, para todo, existe um inteiro positivo (possivelmente dependente de ) tal que sempre que. ou quando Sequência convergente: converge para um limite. Sequência divergente: Se tal número não existe, a sequência não tem limite, ou diverge! No exemplo acima, a sequência tem por limite 2, ou converge para 2: 2

3 f(n) 2.3 f(n)= 2+(-1.0/2.0)^n n Gráfico de uma sequência para o caso específico em que : Sequência divergente: não converge para um limite. Casos de divergência: --> o número cresce sem limite quando aumenta. --> o número decresce sem limite quando aumenta. --> Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Exemplos: determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem. 1) A sequência é: O que se observa? os termos estão ficando cada vez menores a medida que se aumenta o valor de! Para suficientemente grande, podemos fazer tão pequeno quanto quisermos. Pela definição 1: a sequência converge para o limite 0. f(n) f(n)=10^(1-n) n 2) A sequência é: O que se observa? os termos oscilam entre -1 e 1. Logo, não se aproxima de um limite e, portanto, a sequência diverge! 3

4 ... f(n) 2 f(n)= (-1)^n n TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções Sejam: : a função definida no intervalo, : a sequência definida por para cada inteiro positivo. Supor que exista para todo número real, CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se Propriedades dos limites de sequências: Supor uma sequência convergindo para o limite A e uma outra sequência convergindo para o limite B, e uma constante. 1. LIMITE DE UMA CONSTANTE 2. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CTE 3. LIMITE DA SOMA 4. LIMITE DA SUBTRAÇÃO 5. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO 6., se para todos os inteiros positivos e. 7.,, se é uma constante positiva. 8. se (converge para 0) e se (diverge) 9. se e 4

5 Exemplos: Use o Teorema 1 e as propriedades dos limites para determinar se cada sequência converge (neste caso, determinar o seu limite) ou se diverge. 1. Fazer e considerar para Sabe-se que f(n) f(n)=1+(1.0/n) f(x)=1+(1.0/x) n A sequência converge para 1!! 2. Fazer e considerar logo: A sequência diverge pois o limite não existe! f(n) n f(n)= ((1.0/4.0)*(n**2))-1.0 f(x)= ((1.0/4.0)*(x**2))-1.0 A função, é uma indeterminação da forma quando. Pode-se aplicar a regra de L'Hôpital : =0 Logo,. A sequência converge para 0. 5

6 Obs: nos exercícios que seguem seria interessante que vocês também representassem graficamente para facilitar o entendimento do comportamento das sequências. Exercícios: (considerar o Teorema 1 e as propriedades dos limites) 1- Calcule os primeiros seis termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge (justifique os resultados). a. b. c. d. e. f. R: a) Diverge b) Converge para 0 c) Converge para 0 d) Converge para 2 e) Converge para 0 (propriedade 8 dos limites) f) Diverge (propriedade 8 dos limites). 2- Determinar se cada sequência converge ou diverge. Verificar as propriedades dos limites. Caso convirja, calcule o seu limite. (Dica: usar L'Hôpital quando necessário). Justifique através das propriedades e do Teorema 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. Respostas: a) Diverge b) Converge para c) Converge para 0 d) Converge para e) Converge para 0 f) Diverge g) Converge para 0 h) Diverge i) Converge para 0 j) Converge para 0 k) Converge para 1 l) Diverge m) Converge para 0 (propriedade 8) n) Diverge o) Diverge p) Diverge q) Converge para 1. r) Converge para 0. s) Converge para 1. Resolução do item r : diz-se que igual a para n suficientemente grande! Para provar que o limite é 0 fazemos: Portanto, 3- Encontre a expressão do termo geral de cada sequência (n-ésimo termo). a.. { } c. { } d. 6

7 e. { } f. { } g. h. { } i. TEOREMA 2: Teorema do "sanduíche" para sequência (ou Teorema do Confronto) Se são sequências e e Se A sequência está entre as sequências e. Exemplo: Determine o limite da sequência Resolução:, Aplicando a propriedade 8 dos limites, com, = =0. Do Teorema 2,. Como Exemplo: Discuta a convergência da sequência onde Resolução: Quando, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito. Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! O que acontece com quando torna-se maior? 7

8 Parece que os termos estão decrescendo e se aproximando de 0. PARA PROVAR, fazer O que se observa é que a expressão em parênteses é no máximo 1, pois o numerador é menor (ou igual) ao denominador. Assim:. Pelo Teorema 2, como quando, quando TEOREMA 3: Termos alternados Seja uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo, se Exemplo: Supor que o n-ésimo termo de uma sequência seja PROVAR que Resolução: Os termos da sequência são alternados, positivo e negativo. Os sete primeiros termos da sequência: Como, do Teorema 3, Exercício. Provar que termos da sequência. utilizando o Teorema 3. Informar também os 4 primeiros a. b. Definição 2: Sequências crescentes e decrescentes Uma sequência é crescente se,. ( Uma sequência é decrescente se,. ( Uma sequência é monótona (ou monotônica) se ela é crescente ou decrescente. Uma sequência é não-monótona caso contrário. Exemplo: Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. a. e Para qualquer valor de : 8

9 Se é um inteiro positivo, então ( e, logo: ; então,. Portanto, a sequência é decrescente! f(n)=(2*n+1)/(3*n-2) 2 f(n) n b. A sequência: Sequência não-monótona pois repete sempre o ciclo c. Fazendo e para é uma função decrescente no intervalo. se verifica para todo inteiro positivo, ou seja, a sequência dada é decrescente!! Exercício: Determine se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. Justifique. a. b. Resposta: a) Decrescente b) Decrescente. Definição 3: Sequências limitadas, cota superior e inferior Um número é denominado cota inferior de uma sequência se,. Um número é denominado cota superior de uma sequência se,. Sequência limitada inferiormente - possui uma cota inferior. Sequência limitada superiormente - possui uma cota superior. Sequência limitada - limitada inferiormente e superiormente. 9

10 Logo, uma sequência é limitada, ou cotada, se e somente se existe um número real positivo M tal que,. Exemplo: a sequência: é MONOTÔNICA (pois os termos são crescentes) PROVA Verificação que a sequência é crescente: para qualquer valor de n: = Se é um inteiro positivo, então ( e, logo: ; então,. Portanto, a sequência é CRESCENTE! De acordo com a Definição 2. Uma outra forma de verificação seria através da derivada da função em. é LIMITADA (1 é uma cota superior (todo termo é < 1) e 0 é uma cota inferior (todo termo > 0)). PROVA Verificar o limite da função: De acordo com a Definição 3. Exemplo: Determine se a sequência é limitada superiormente ou inferiormente. Resolução: Como e a sequência é limitada tanto superiormente quanto inferiormente. A sequência é também não-monotônica devido a alternância entre os sinais positivos (valores pares de ) e negativos (valores ímpares de ). TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente. Exemplo: Use o Teorema 4 para mostrar que a sequência é convergente. 1. Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes), para. Logo, é DECRESCENTE em. 10

11 Verifica-se também que para todo inteiro positivo, ou seja, a sequência é decrescente. Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas) Todos os seus termos são positivos e ela é limitada inferiormente pelo número 0. PROVA: Aplicando L Hôpital: Logo, Terceiro passo: do Teorema 4 A sequência converge, pois sequência é decrescente e limitada inferiormente. 2. Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes) Primeiros 4 termos da sequência (3 casas decimais): 1.667, 1.389, 0.772, 0.322,... Assim, a sequência DEVE ser decrescente. PARA PROVAR, mostrar que: ou seja, A sequência é mesmo decrescente para qualquer inteiro positivo. Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas) Observa-se que todos os termos da sequência são positivos. Logo, 0 é uma cota inferior. PROVAR Quando, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito. Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! ou O que acontece com quando torna-se maior? Observa-se que a expressão ( tende a 0 quando e a expressão tende a quando Logo, quando Terceiro passo: do Teorema 4 Como a sequência é DECRESCENTE e LIMITADA INFERIORMENTE, ela CONVERGE. Exercícios (Justifique as respostas: verifique os exemplos fornecidos anteriormente) 1- Determine: - Se cada sequência é crescente, decrescente ou não monótona (Definição 2), - Se é limitada superiormente ou inferiormente (Definição 3), - Indique se a sequência é convergente ou divergente (Teorema 4). 11

12 a. b. c. d. e. f. f(n) 0.8 f(n)=sin (npi/4)/n n g. f(n) n f(n)=(1.0/(2*n+3)) h. a) Crescente, limitada e convergente b) Crescente, limitada inferiormente, mas não superiormente, divergente c) não-monótona, limitada e divergente d) não-monótona, limitada e divergente e) Decrescente, limitada superiormente, mas não inferiormente, divergente f) não-monótona, limitada e convergente. g) Decrescente, limitada inferiormente e convergente. h) não-monótona, limitada, divergente. Resolução dos itens (e), (f) e (h): e. Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes) para, logo é DECRESCENTE em (1, ). (OBS: Cálculo da derivada: ) 12

13 Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas) A função, é uma indeterminação da forma quando. Pode-se aplicar a regra de L'Hôpital :. Portanto: A sequência NÃO É LIMITADA INFERIORMENTE. Terceiro passo: do Teorema 4 Sequência DECRESCENTE mas não LIMITADA INFERIORMENTE, portanto, é DIVERGENTE. f. Sequência não-monotônica: Numerador: o limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente, fica sempre seguindo um padrão: 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0,... Denominador: limite infinito quando n tende a infinito. Limitada e convergente: Aplicação do Teorema 2 - Teorema do confronto: Sabemos então que Logo, Como temos Portanto, h. Este limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente, variando indefinidamente: 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1,... fica Assim, a sequência é não-monotônica. 13

14 É Limitada pois Limite inferior: -1 e Limite superior: 1. Divergente - Caso 3 da divergência: Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência nos casos a seguir: D; 2. D; 3. Converge para 0; 4. Converge para 1; 5. Diverge. 3. Definir a. O que é uma sequência? Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode também ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. b. O que significa dizer que Que os termos tendem a 8 quando torna-se grande. c. O que significa dizer que Que os termos tornam-se grandes torna-se grande. 4. Definir a. O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos. b. O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos. c. O que é uma sequência monotônica? Dê dois exemplos. 5. Liste os 7 primeiros termos de cada sequência: a. b. c. d. e. f. 6. Liste os 5 primeiros termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge. Caso convirja, encontre o seu limite. a) b) c) d) e) f) g) h) g) 7. Use um gráfico de sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Stewart) a) b) c) 14

15 Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart. 15

16 Apêndice - Resumo dos teoremas: TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções Sejam: : a função definida no intervalo, : a sequência definida por para cada inteiro positivo. Supor que exista para todo número real, CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se TEOREMA 2: Teorema do Confronto Se são sequências e e Se TEOREMA 3: Termos alternados Seja Se uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo, TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente. 16

17 Apêndice - Limites de funções: Formas indeterminadas Vamos ver alguns exemplos de tratamento de formas indeterminadas do tipo: a) Formas do tipo Se e são duas funções tais que e, então a função tem a forma indeterminada em. Por exemplo, a fração possui uma indeterminação da forma para. Ou seja, e. A solução é calcular o limite desse tipo de fração através da fatoração do numerador e do denominador. Exemplos: 1) (Resolvido por simplificação algébrica) 2) (Resolvido pela multiplicação pelo conjugado) 3) (Resolvido pela Regra de L'Hôpital) 4) (Resolvido pela Regra de L'Hôpital) 5) Regra de L'Hopital: Suponha que tenha associado a ele a forma indeterminada para e que exista. Então. Nesta regra, a fração é obtida diferenciando-se, separadamente, o numerador e o denominador da fração. 17

18 b) Formas do tipo Esta indeterminação pode ser entendida como, ou seja, pode ser reduzida à forma. c) Formas do tipo Para determinarmos escrevemos como ou o que conduz à forma ou d) Formas do tipo Se e então o limite é chamado forma indeterminada do tipo. Devemos tentar converter a diferença em quociente, usando um denominador comum ou racionalizando, ou colocando em evidência um fator comum a fim de termos uma forma indeterminada do tipo ou. Exemplos: 1) 2) 18