1 Propriedades dos limites infinitos

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1 Propriedades dos ites infinitos Comecemos por recordar a proposição dada para as operações com funções reais de variável real(f.r.v.r.) que têm ites finitos quando x tende para a. Proposição Sejamf eg funçõesreaisdevariávelrealcomitefinito ema(paraafinitoouinfinito)ek R.Então. asfunções kf,f+g,f g,f g têmitefinitoem a e k=k, (f+g)(x)]=+g(x), (f g)(x)]= g(x), (f g)(x)]= g(x); 2. se g(x) 0,afunção f g temitefinitoem a e g(x) ]= g(x). A aplicação desta propriedade permite-nos, para funções f e g cujos ites existam e sejam finitos, saber os ites das funções indicadas simplesmenteapartirdositesdef edeg. Note-se aindaqueestaproposição éválidaquerxtendaparaumvalor finito,quertendapara+ oupara (exige-seéqueosvaloresdosites quando xtendepara aexistamesejamfinitos). Para ites infinitos, nalguns casos o simples conhecimento dos ites das funções envolvidas permite-nos saber, imediatamente, o ite da nova função; noutros casos, o conhecimento dos ites das funções envolvidas permite-nos apenas saber que não podemos aplicar nenhuma propriedade dos ites e que teremos que calcular explicitamente o valor do ite da nova função, por termos o que se chama uma indeterminação. O objectivo destas folhas é recordar, ilustrando com exemplos simples, propriedades que são válidas para os ites infinitos e situações que correspondem a indeterminações, indicando também algumas técnicas que, para alguns destes casos, permitem levantar a indeterminação, isto é, calcular o valor desses ites. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 5/0/2008

2 A generalidade das propriedades que seguidamente indicaremos (bem como muitos ites dos exemplos que serão apresentados) resultam simplesmente das duas alíneas da proposição que se segue, que são intuitivas e muito fáceis de provar a partir da definição de ite infinito. Proposição2 Sejamf egf.r.v.r.,paraasquaisfazsentidofalardeite ema,taisque g(x), para qualquer x suficientemente próximo de a(isto é, para qualquer x numa vizinhança de a):. se =+,então g(x)=+ ; 2. se g(x)=,então =. Observação Recorde-se que, quando nos referimos a x suficientemente próximodea(istoé,numavizinhançadea),temosquedistinguirtrêssituações: sea R,estamosaconsiderarxpertencenteaumintervalo]a ε,a+ε com ε > 0 (quanto mais pequeno for o ε, mais próximo garantimos quexestádea); sea=+,estamosaconsiderarxpertencenteaumintervalo]m,+, comm > 0, portanto x>m (quantomaior for om, mais próximo garantimosquexestáde+ ); sea=,estamosaconsiderarxpertencenteaumintervalo],n, com N < 0, portanto x < N (quanto menor for o N, mais próximo garantimosquexestáde ). Convém, ainda, recordar que dizemos que uma função f tende para infinito quando x tende para a, e escrevemos se =, =+. É claro, pela definição, que caso = + ou =, verifica-se que =. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 2 5/0/2008

3 Noentanto,hácasosemque = semque =+ ou = ; dizemos, nestes casos, que f tende para infinito sem sinal determinado. Éocasode. x. Propriedades da soma Antes de apresentarmos as propriedades da soma, comecemos por ver um exemplo ilustrativo de algumas destas propriedades. Exemplo : Consideremos as funções =x, g(x)=x 2, h(x)=x 3 e i(x)= x+. A proposição que veremos de seguida permite afirmar imediatamente que: como = g(x)= h(x)=+,entãoasomade quaisquerduasdestasfunçõestendepara+,quando; como g(x)= i(x)=+, então g(x)+i(x)]=+ ; x x x como = h(x)=, então +h(x)]=. x x x Proposição 3(Propriedades da soma) Sejamf,g f.r.v.re a finitoouinfinito:. se =+ e g(x)=+,então +g(x)]=+ ; 2. se = e g(x)=,então +g(x)]= ; 3. sendob R, se = e g(x)=b, então +g(x)]=, (seoitede f for+ ou,oitedasomatambémoé). Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 3 5/0/2008

4 Notação abreviada: Estas propriedades são frequentemente escritas na forma (+ )+(+ )=+ ( )+( )= (+ )+b=+ ( )+b= +b= Atenção, esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada exactamente no sentido das propriedades., 2. e 3. da proposição anterior, e não como se estivessemos realmente a"somar os infinitos" ou a "somar infinito com b". Para as funções do exemplo, a simples aplicação da proposição anterior nada nos permitem afirmar sobre +i(x)], g(x)+i(x)], h(x)+i(x)], +g(x)], +i(x)], h(x)+g(x)], x x x ou x h(x)+i(x)] (pois,nestescasos,umafunçãotendepara eoutrapara+ ). Estes ites terão que ser calculados directamente. Calculemos os dois primeiros ites: +i(x)] = x+( x+)]= g(x)+i(x)] = x 2 x+ ] =+ = (note-sequex 2 x+>x 2 x=x(x ) x,parax 2,peloquetende para+ quandoxtendepara+ ). Temos duas situações do mesmo tipo(a primeira função tende para + e a segunda para ), cujos resultados são diferentes. Quando uma função tende para + e outra para, temos uma situação de indeterminação para a soma. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 4 5/0/2008

5 Símbolos de Indeterminação(associados à soma) Na notação abreviada, os símbolos (+ )+( ) + são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o facto de existir ou não ite, bem como o seu valor, depende das funções envolvidas; não resulta imediatamente de uma propriedade das operações. Observação: Tendo presente que a subtracção de duas funções é igual à somadaprimeiracomasimétricadasegunda,istoé, eque f g=f+( g) =+ seesóse ( )=, é fácil concluir(a partir das propriedades da soma) quais as propriedades da subtracção de ites infinitos e ainda que (+ ) (+ ) ( ) ( ) também são símbolos de indeterminação. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 5 5/0/2008

6 .2 Propriedades do produto Tal como fizemos para a soma, antes de apresentarmos as propriedades do produto comecemos por ver uns exemplos ilustrativos. Exemplo 2: Consideremos as funções para as quais =lnx, g(x)=x+3 e h(x)= x 2 2, = g(x)=+ e h(x)= g(x)= h(x)= x x (D f =R +,peloquenãofazsentidofalardoseuitequandox ). A proposição que veremos de seguida, conjugada com a respectiva observação, permite afirmar imediatamente que ( g(x))=+, (g(x) h(x))=, ( h(x))=, (g(x) h(x))=+. x Como +=, g(x)=3 e h(x)= 2, a mesma proposição(e respectiva observação) permite-nos concluir que +( g(x))= +( h(x))=+. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 6 5/0/2008

7 Proposição 4(Propriedades do produto) Sejamf,g f.r.v.re a finitoouinfinito:. se = e g(x) =, então (f g)(x)] = casof eg tendampara+ oupara,pelosinaldoprodutosabemossef g tendepara+ ou ]; 2. se = e g(x)=b R\{0},então (f g)(x)]=, casof tendapara+ oupara,pelosinaldoprodutosabemosse f g tendepara+ ou ]. Observação: Comofoireferido,casof eg tendampara+ oupara,pelosinal doprodutosabemossef gtendepara+ ou : sefegtendemambaspara+ ouambaspara,paraxsuficientemente próximo de a as funções são ambas positivas ou ambas negativas, peloquef gtendemesmopara+ ; se umadas funções tende para+ e aoutrapara, paraxsuficientementepróximodeaoprodutoénegativo,peloquef g tende mesmo para. Analogamente se tiram as conclusões para a alínea 2. A simples aplicação da proposição anterior nada nos permitem afirmar sobre os ites que se indicam de seguida, cujos valores são, no entanto, muito fáceis de calcular. Exemplo 3: Consideremos as funções =x 3, g(x)=x, h(x)= x e i(x)= x. A proposição anterior nada nos permite afirmar sobre i(x)], g(x) i(x)] ou h(x) i(x)] Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 7 5/0/2008

8 nem sobre i(x)], g(x) i(x)] ou +h(x) i(x)] (pois, em qualquer um destes casos, uma função tende para infinito e outra para0). eque No entanto, é imediato que i(x)] = g(x) i(x)] = h(x) i(x)] = i(x)] = x 3 ] x g(x) i(x)] = x ] = x ] x +h(x) i(x)] = + x x 3 ] = x x2 =+ x ] = x = ] x = =0 x x = x 2 =0 = = x =+. + Quer quando x +, quer quando x 0, temos três situações do mesmo tipo em que os resultados são diferentes. Quando uma função tende para 0 e outra para, temos uma situação de indeterminação para o produto visto que, como acabámos de verificar, o facto de existir ou não ite, bem como o seu valor, depende das funções envolvidas; não resulta imediatamente de uma propriedade das operações. Símbolos de Indeterminação(associados ao produto): 0 (+ ) 0 ( ) 0 Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 8 5/0/2008

9 .3 Propriedades do quociente O estudo do quociente de duas funções fica mais simples tendo presente que g(x) = g(x). Assim, as propriedades desta operação resultam das do produto e das duas primeiras alíneas da proposição que se segue. De igual modo, através das mesmas propriedades, qualquer indeterminação associada ao quociente pode transformar-se numa indeterminação associada ao produto. A proposição que se segue resume as propriedades do quociente, quanto aos ites infinitos. A seguir são apresentadas as situações de indeterminação e depois exemplos ilustrativos. Proposição 5(Propriedades do quociente) Sejamf,g f.r.v.r,comg nãonulanumavizinhançadea(excepto,eventualmente, em a):. se g(x)= então 2. se g(x)=0então =0; g(x) g(x) = pelosinaldeg(x)poderemossaberse g(x) tendepara+ ou : se g(x)=0 +,então g(x) =+, se g(x)=0,então g(x) = ]; 3. se g(x)= e éfinito,então g(x) =0; Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 9 5/0/2008

10 4. se g(x)=0e éinfinitooufinitoediferentedezero,então = g(x) (dependendo do sinal das funções f e g, poderemos averiguar se g(x) tendepara+ ou ). Na notação abreviada, escreve-se: a =0 = a=, sea Saliente-se, novamente, que esta é uma mera notação abreviada, para nos lembrarmos das propriedades ou nos referirmos ao tipo de situação que ocorre,enãodeveserusadanodecursodascontas. Símbolos de Indeterminação(assoc. ao quociente): 0 0 ± ± Exemplo 4: Consideremos as funções paraasquaissetemque =lnx e g(x)=x 3 +3 = g(x)=+ =0,g(x)=4 x x += e g(x)=3. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 0 5/0/2008

11 Então =0, x x + x ] =, ] ] ] g(x) =0, + ] g(x) =, x ] g(x) x ] g(x) x + =+ (pois x +=0+ ), =, (pois x =0 ), = (pois x =0 e x g(x)>0), =+ (pois x +=0+ e x g(x)>0). Exemplo 5: Consideremos as funções polinomiais =2x 2 +, g(x)=x 3 +3 e h(x)=x Os ites g(x), h(x) e g(x) h(x) correspondemasituaçõesdeindeterminaçãodotipo + +. Também nestes casos, facilmente se determinam os ites que são, respectivamente, 0, + e. De facto, g(x) 2x 2 + = x 3 +3 = = 2x 2 x 3 + x 3 x 3 x x 3 = 2x 2 + x 3 x 3 +3 e analogamente se provaria para os restantes casos. = x 3 2 x + x x 3 =0 Observação 2 É frequente haver algum facilitismo na justificação de situações como a anterior, vendo-se frequentemente a"justificação" g(x) = 2x 2 + x 3 +3 = 2x 2 x = 3 2 x =0. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 5/0/2008

12 Estas igualdades entre os ites são verdadeiras, precisamente porque o raciocínio acima as justifica. O facto de se usar esta argumentação, sem ter presente a devida justificação, pode, além do mais, levar-nos a usar o mesmo procedimento em situações onde este não é válido. Como, por exemplo, na situação do exemploquesesegue. Exemplo 6: Determinemos x 2 x 2 4 x 3 8. Trata-se de uma indeterminação, do tipo 0, consequência de ambos os 0 polinómiosseanularemparax=2. Isto significa que qualquer um dos polinómios pode ser escrito na forma (x 2) polinómio, o que permitirá simplificar a função. De facto, x 2 4=(x 2)(x+2) e o poómio x 3 8 pode ser decomposto, descobrindo um zero deste polinómio e aplicando depois a Regra de Ruffini: (pois2 3 8=0) 2ézerodex pelo que Portanto, x 3 8=(x 2) ( x 2 +2x+4 ). x 2 x 2 4 x 3 8 = (x 2)(x+2) x 2(x 2)(x 2 +2x+4) = x+2 x 2x 2 +2x+4 = 4 2 = 3. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 2 5/0/2008

13 .4 Limites notáveis: Os seguintes ites são conhecidos(demonstram-se sem ser pelas propriedades dos ites), estão relacionados com propriedades importantes das funções em causa e são chamados de ites notáveis: e x x =+ lnx =0 x senx x = e x x = ln(x+) x = Por exemplo, os dois primeiros ites são consequência do tipo de crescimento das funções exponencial e logaritmo. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 3 5/0/2008

14 .5 Propriedades da exponenciação Sejamf egduasfunçõesreaisdevariávelreal,com>0,paraqualquer x D f. Consideremos a função h(x)= g(x). Supondo que, para um certo a, finito ou infinito, existem pretende-se averiguar a existência de Tendo presente que e g(x) g(x)]. g(x) =e ln() g(x) o estudo da exponenciação de duas funções pode ser reduzido à aplicação de propriedades do produto de funções e das funções exponencial e logaritmo. Vejamos esta passagem com mais detalhe: Comecemos por recordar que o logaritmo é a função inversa da exponencial, pelo que e lnx =x. Portanto, g(x) = e ln()] g(x) =e ln() g(x) (note-seque,paraqualquerx D f,>0,peloque D ln ). Assim, concluímos imediatamente, para o caso dos ites finitos, que é válida a seguite proposição: Proposição 6 Sejamf eg f.r.v.r,com>0paraqualquerx D f,e a finito ou infinito tais que Então =c R\{0} e g(x)=b R. g(x)] =c b. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 4 5/0/2008

15 Para enunciar as propriedades desta operação, quando algum dos ites é infinito, teríamos que considerar uma série de casos, quando na prática o mais eficaz é fazer a transformação acima indicada. Exemplo 7: Determinemos alguns ites:. (+x) x2 +2 Estamos nas condições da proposição, pelo que podemos dizer imediatamente que (+x)x2 +2 = 2 =. 2. ( ) 2+ 3 x 2 +2 x Nestecaso,nãopodemosaplicaraproposição,vistoquex Deveserintuitivoqueoiteé+. Fazendo a transformação, ( 2+ 3 ) x 2 +2 x = e ln(2+3 x) ] x 2 +2 = e (x2 +2)ln(2+ x) ] 3 =+ poisln ( 2+ 3 x) 2>0ex ,peloque(x 2 +2)ln ( 2+ 3 x) + e, consequentemente, e (x2 +2)ln(2+ 3 x) (2+3x) x2 +2 Nestecaso,2+3e x Pensando um pouco, podemos perceber que neste tipo de situação o ite é0. +2 (2+3x) x2 = ] ] e ln(2+3x) x 2 +2 = e ( x2 +2)ln(2+3x) =0 poisln(2+3x) + e x 2 +2,peloque ( x 2 +2 ) ln(2+3x) e, consequentemente, e ( x2 +2)ln(2+3x) 0. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 5 5/0/2008

16 Símbolos de Indeterminação(assoc. à exponenciação): Recorrendo a 0 0 (+ ) 0 g(x) =e ln() g(x) é fácil perceber que estes casos correspondem a situações de indeterminação, que estão relacionadas com indeterminações do tipo respectivamente. ( ) 0, 0 e (+ ) 0, Terminemos com dois exemplos, em que temos situações(de indeterminação) do mesmo tipo, muito semelhantes, cujos resultados são diferentes. Exemplo 8:. Determinemos (+x) x. Temosumaindeterminaçãodotipo. (+x) x = ] e ln(+x) x = e ln(+x) x =e pois ln(x+) x = (ite notável) e a função exponencial é contínua. 2. Determinemos ( ) + x x. + Temosumaindeterminaçãodotipo. pois ( ) + x x = e ln(+ x) ] x ln(+ = +e ( x ln(+ ) x) x = x ln(+ x)= +e =e 0 = x) x =,vistoque,eafunçãoexponencialécontínua. Ana Matos- Prop. dos Lim. Inf. 6 5/0/2008