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1 Consideremos os seguintes exemplos de hipóteses cuja veracidade interessa avaliar: o tempo médio de efeito de dois analgésicos não é o mesmo; a popularidade de determinado partido político aumentou; uma nova técnica de vendas conduz a um aumento dos produtos vendidos. Conjecturas desta natureza podem ser testadas recorrendo a um conjunto de técnicas estatísticas designadas por testes de hipóteses paramétricos. Neste tipo de testes de hipóteses o objectivo é avaliar se uma determinada conjectura sobre um parâmetro populacional é verdadeira. 1

2 Dada uma hipótese estatística sobre determinada população, a sua veracidade será facilmente determinada se for possível observar todos os elementos da população. Contudo, em geral, isso não é possível; temos, quando muito, possibilidade de observar uma amostra da população. Através dessa amostra vamos avaliar a veracidade da hipótese em estudo. Se a amostra for consistente com a hipótese formulada, a hipótese é aceite, caso contrário é rejeitada. Existem duas hipótese envolvidas em qualquer estudo deste tipo: a hipótese proposta pelo investigador H 1, que se designa por hipótese alternativa; a negação desta hipótese H 0, que se designa por hipótese nula. 2

3 Exemplos: (1) Para decidir se as lâmpadas de tipo A são melhores que as lâmpadas de tipo B, formulamos as hipóteses: H 0 (hipótese nula): não há diferença entre os dois tipos de lâmpadas H 1 (hipótese alternativa): as lâmpadas do tipo A são melhores que as lâmpadas tipo B. (2) Considere-se o julgamento de uma pessoa acusada de ter cometido um delito. Em princípio a pessoa é inocente; é a acusação que tem de apresentar provas em contrário. Se não houver evidência nesse sentido, a pessoa continua a ser considerada não culpada. 3

4 As hipóteses são as seguintes: H 0 (hipótese nula): o réu é inocente H 1 (hipótese alternativa): o réu não é inocente, é culpado. Se a acusação não conseguir provar que o réu é de facto culpado, decidir-se-á não rejeitar H 0. No entanto, note-se que isto não significa aceitar H 0, isto é, aceitar que o réu seja realmente inocente; significa tão só que não há provas (não há evidência) para rejeitar a hipótese de que ele o seja, isto é não há evidencia para rejeitar H 0. Por isso é preferível dizer não rejeitar H 0 a dizer aceitar H 0. 4

5 Em qualquer estudo deste tipo partimos sempre da hipótese de que H 0 é verdadeira é um pressuposto para desenvolver o teste não havendo evidência para provar o contrário teremos de decidir não rejeitar H 0. Relativamente ao exemplo anterior há duas possibilidades de tomar uma decisão errada: o juiz considera o réu culpado quando ele é de facto inocente: Rejeitar H 0 sendo H 0 verdadeira o juiz absolve o réu quando ele é de facto culpado: Não rejeitar H 0 sendo H 0 falsa. 5

6 Definição: Os dois tipos de erro que podem ser cometidos são os seguintes: Erro tipo I: rejeitar H 0 sendo H 0 verdadeira (erro de rejeição) Erro tipo II: não rejeitar H 0 sendo H 0 falsa (erro de não rejeição). Notação: α = P(erro tipo I) probabilidade de cometer um erro tipo I β = P(erro tipo II) probabilidade de cometer um erro tipo II α é chamado o nível de significância do teste. Para determinar se aceitamos ou rejeitamos a hipótese nula, utilizamos regras de decisão. Podemos fazê-lo através do cálculo do valor-p ou através da região critica - RC (também designada por região de rejeição). 6

7 Exemplo: Sabe-se que a cotação de determinada acção no mercado de valores segue uma distribuição normal de média u.m.. Com a finalidade de verificar se a acção se encontra "em alta" registou-se a cotação da acção durante 10 dias e obteve-se os valores(em u.m.): 0,13; 0,12; 0,14; 0,15; 0,14; 0,15; 0,12; 0,13; 0,14; 0,13 O que podemos concluir quanto à hipótese da acção estar "em alta"? Para responder a esta questão conduza um teste de hipóteses adequado, ao nível de significância de 0,025. 7

8 Seja, X, a cotação diária de uma acção no mercado de valores, em u.m.. As hipóteses são: X ~N(µ,σ 2 ) H 0 : µ = 0,127 u.m. - não há alteração H 1 : µ > 0,127 u.m. - a acção está em alta Logo a estatística do teste sob o pressuposto de a hipótese nula ser verdadeira é (ver quadro): T= X 0,127 S 10 ~ t 9 Para que valores da estatística do teste será de rejeitar a hipótese nula? 8

9 Sabemos que a média da amostra X estima a média populacional µ. Então, sendo o valor da média da amostra, X, muito superior ao valor 0,127 proposto em H 0 para a média populacional µ, parece razoável que a decisão se encaminhe no sentido de rejeitar H 0 e aceitar que µ > 0,127. Quanto maior for essa diferença, isto é, quanto mais significativa for a diferença entre o valor da hipótese nula (µ=0,127) e a média da amostra (X), tanto mais o decisor é levado a pensar que a hipótese nula µ=0,127 não é verdadeira, e consequentemente, decide rejeitar H 0. 9

10 Por outras palavras, valores de X muito superiores a 0.127, apoiam a hipótese alternativa H 1 e levam-nos a rejeitar H 0. Ou, em termos da estatística de teste X 0,127 T=, S 10 valores de T muito superiores a zero, apoiam a hipótese alternativa H 1 e levam-nos a rejeitar H 0. Mas, como identificar o que é muito superior? Isto é, o que é que se pode considerar como uma diferença significativa? 10

11 Por exemplo, se a média da amostra for igual a 0.128, será de considerar que este valor difere significativamente do valor µ=0,127 proposto em H 0 e, consequentemente, aceitar a hipótese H 1 : µ>0,127? Ao ponto de separação t c, entre uma diferença significativa e uma diferença não significativa, dá-se o nome de ponto crítico. Denotando por t obs o valor observado na amostra da estatística de teste T, a regra de decisão será: rejeitar H 0 se t obs t c ; caso contrário não rejeitar H 0. 11

12 O ponto crítico t c é tal que P(T t c ) = α, com T ~ t 9. Para α = 0,025 e n = 10, tem-se t c = TINV(0,05;9) = 2,262 12

13 Logo a regra de decisão será rejeitar H 0 se t obs 2,262 Sabe-se que x = 0, 135 e s = 0,0108, donde o valor observado na estatística do teste é t obs = 0,135 0,127 0, = 2,342 Como t obs = 2,342 > 2,262 rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 0,025. Isto é, há evidência estatística para concluir que a acção está em alta. 13

14 Uma outra forma de determinar se aceitamos ou rejeitamos a hipótese nula é determinando o valor-p. Calculemos o valor-p associado ao nosso exemplo. O valor observado da estatística de teste (t obs ) foi 2,342. valor-p = P(T t obs ) = P(T 2,342)= TDIST(2,342;9;1)=0,022 O valor-p é o menor nível de significância para o qual se rejeita a hipótese nula. 14

15 A regra de decisão será: rejeitar H 0 se valor-p < α; caso contrário não rejeitar H 0. Como valor-p = 0,022 < 0,025 rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 0,025. Isto é, há evidência estatística para afirmar que a acção está em alta. 15

16 Testes Unilaterais e bilaterais Sem perda de generalidade vamos considerar que o parâmetro em teste é a média de uma população µ. 1º H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ >µ 0 2º H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ <µ 0 3º H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ µ 0 Unilateral à direita Unilateral à esquerda Bilateral 16

17 1º - Teste Unilateral à direita H 0 : µ µ 0 este caso reduz-se a H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ >µ 0 H 1 : µ >µ 0 pois, valores da estatística de teste que nos levarão a rejeitar H 0 e concluir que µ > µ 0, também nos levarão a rejeitar qualquer valor menor do que µ 0. 17

18 2º - Teste Unilateral à esquerda H 0 : µ µ 0 este caso reduz-se a H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ <µ 0 H 1 : µ <µ 0 pois, valores da estatística de teste que nos levarão a rejeitar H 0 e concluir que µ < µ 0, também nos levarão a rejeitar qualquer valor maior do que µ 0. 18

19 3º - Teste Bilateral H 0 : µ =µ 0 H 1 : µ µ 0 19

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