37 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 37 a Aula AMIV EAN, EC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 37.1 Equação das ondas-modos de vibração Vimos na última aula que a solução do problema u Equação das ondas t = c u tem a solução formal Condições fronteira (de Dirichlet) Condições iniciais u (t, ) = u (t, ) = u (,)=u () u t (,)=v () com [,], (37.1) u (t, ) = ³ ³ nπc t ³ nπc t ³ nπ A n cos + B n sen sen (37.) onde A n = Z ³ nπ u ()sen d e B n = nπc Z ³ nπ v ()sen d. Para simplificar a interpretação desta solução vamos supor v, ou seja B n =para todo n (esta simplificação não altera significativamente a interpretação que se segue; é sobretudo a uma simplificação na notação 1 ). Temos então u (t, ) = ³ nπc t ³ nπ A n cos sen. Para cada t fio, esta epressão é a série de senos da função u (t, ), sendo os seus coeficientes dados por A n cos nπc t.vemos então que a evolução temporal de u (t, ) é consubstanciada 1 No caso geral, escrevendo o ponto (A n,b n ) em coordenados polares (A n,b n )=α n (cos θ n, sen θ n ),com α n = p A n + B n e θ n =arg(a n + ib n ),temos u (t, ) = = ³ nπc α n ³cos t ³ nπc t ³ nπ θ n cos +senθ n sen sen ³ α n sen θ n + nπc t ³ nπ sen.

2 u (t, ) = 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) na oscilação periódica dos coeficientes da epansão espacial em série de senos. Cada um dos termos da série que define u (t, ), ³ nπc t ³ nπ A n cos sen, é designado por harmónico (para n =1designa-se harmónico fundamental e para n > 1 temos os harmónicos supertónicos). O comprimento de onda de cada harmónico é o dobro da distância espacial entre dois zeros e é dado por. Cada um destes harmónicos vibra n com uma frequência (temporal) dada por nc ; o comprimento de onda (espacial) é portanto inversamente proporcional à frequência temporal). Graficamente temos: A n e n π k t sen nπ ou seja: u (t, ) =A 1 cos πc t sen π + A cos πc t sen π + +A 3 cos 3πc t sen 3π + A 4 cos 4πc t sen 4π + A 5 cos 5πc t sen 5π + y y y = b 1 + b + +b 3 +b 4 +b 5 + Embora já tenhamos resolvido o problema (37.1) e interpretado a sua solução como a sobreposição de vibrações harmónicas, é útil introduzir uma resolução alternativa que nos levará a uma diferente interpretação das (mesmas) soluções da equação das ondas. Antes de abordarmos esta resolução alternativa devida a d Alembert, vamos efectuar alguns cálculos com a solução (37.) já obtida, que nos permitirão por um lado motivar a anunciada diferente resolução, e por outro, mostrar que as soluções obtidas pelos dois processos são idênticas. De facto temos usando igualdades trigonométricas bem conhecidas temos

3 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) 3 u (t, ) = = = = ³ ³ nπc t ³ nπc t ³ nπ A n cos + B n sen sen h ³ nπc t ³ nπ ³ nπc t ³ nπ i A n cos sen + B n sen sen An ³ ³ nπ sen An sen ³ nπ ( + ct) ( + ct) + ³ nπ +sen + B n ( ct) + ³ ³ nπ cos B n cos ³ nπ An sen ³ nπ ( + ct) ( + ct) + ( ct) ³ nπ +cos + B n cos ³ nπ ( ct) ( ct) = p ( + ct)+q ( ct), com p (τ) = + P An sen nπ τ B n cos nπ τ e q (τ) = + P 37. Equação das ondas-solução de d Alembert An sen nπ τ + B n cos nπ τ. Comecemos por ver que a forma que obtivemos acima é suficiente para garantirmos que se tratadeumasoluçãodaequaçãodasondas. Proposição 37.1 Se p e q são duas funções reais de classe C então a função definida por u (t, ) =p ( + ct)+q ( ct), é solução da equação u t = c u. Demonstração. Com u (t, ) =p ( + ct)+q ( ct) temos u t = cp ( + ct) cq ( ct) Do mesmo modo temos u = p ( + ct)+q ( ct) e e u t = c p ( + ct)+c q ( ct). u t = p ( + ct)+q ( ct), pelo que u t = c u. Mas o recíproco também é verdadeiro como se mostra a seguir.

4 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) 4 Proposição 37. Se u édeclassec ese u t = u c, então eistem funções p e q tais que u (t, ) =p ( + ct)+q ( ct). Demonstração. Considere-se a seguinte mudança de variáveis: EsejaU (α, β) =u α β, α+β c.temos α = + ct e β = ct. u t = U α α t + U β β t = c U α c U β e usando o Teorema de Schwarz ( u C U C U α β = U β α ) De igual modo Então u t µ u U α = c t α t + U β α β c t = c µ U α U β α + U β = c u escreve-se c µ U α U β α + U β. u = U α + U β α + U β. donde se obtém U β α =. Integrando esta última equação em relação a β vem µ U α α β t + U β β t µ = c U α + U β α + U β, U α = r (α), onde r (α) é uma função arbitrária de classe C 1. Integrando agora em ordem a α obtemos U = p (α)+q (β), onde p (α) é uma primitiva de r (α) (portanto é uma função arbitrária de classe C )eq (β) é uma função arbitrária de classe C. A conclusão de p e q serem de classe C advém do facto de sabermos apriorique u (e portanto U) éde classe C.

5 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) 5 De acordo com estes resultados a solução do problema (37.1) escreve-se u (t, ) =p ( + ct)+q ( ct). Vamos agora determinar as funções p e q de forma a que u satisfaça as condições iniciais e fronteira de (37.1). Comecemos por impor as condições iniciais (supondo u () e v () são suficientemente regulares 3 ) p ()+q() =u () com [,]. cp () cq () =v () integrando a segunda equação obtemos p ()+q() =u () donde(para [,]) p () q () = 1 c Z v (s) ds + K Z com [,] e p () = 1 u ()+ 1 c q () = 1 u () 1 c Z v (s) ds + K v (s) ds K, onde K é uma constante arbitrária e irrelevante pois u (t, ) =p ( + ct) +q ( ct) não depende desta constante. Tomemos pois K =. Note-se que apenas ficamos a conhecer as funções p e q no intervalo [,] e que para construirmos a função u necessitamos de conhecer as estas funções em toda a recta real. Vamos então impor as condições fronteira u (t, ) = p (ct)+q( ct) =. u (t, ) =p ( + ct)+q ( ct) = 3 Basta por eemplo que u seja de classe C, v seja de classe C 1 etaisque u () = u () =v () = v () =u () = u () =, (ou seja u, v e u têm também de satisfazer as condições fronteira). No entanto condições menos restritivas são possíveis se generalizarmos o conceito de solução. De facto podemos considerar a epressão (37.3) como uma solução generalizada do problema (37.1) quando pedimos apenas que v seja integrável, sendo a função u arbitrária tal que u () = u () =.

6 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) 6 Uma vez que t é um número real qualquer, podemos tomar τ = ct como um número arbitrário de R eescrever p (τ) = q ( τ). p ( + τ) = q ( τ) Donde p (τ +) = p ( + τ + ) = q ( ( + τ)) = q ( τ) = p (τ), ou seja p é uma função periódica de período. Comoq (τ) = p ( τ), a função q também é periódica de período. Portanto a solução do problema (37.1) é dada pelas seguintes epressões u (t, )=p ( + ct)+q ( ct) p ()= 1 u ()+ 1 c q ()= 1 u () 1 c Z Z v (s) ds se [,] v (s) ds se [,] (37.3) p (τ)= q ( τ) p (τ)=p (τ +) τ R τ R Esta solução deve ser interpretada como a sobreposição de uma onda que se desloca para a esquerda (consubstanciada na parcela p ( + ct) no caso c>) comumaondaquese desloca para a direita (consubstanciada na parcela q ( ct) no caso c>), ambas com uma velocidade de propagação epressa pelo número c. Ao chocar com os pontos de fronteira ( =e = ) a onda sobreposta u reflete-se com inversão de sinal. De facto a parte de u que sai do intervalo [,] através da função q entrapelomesmopontofronteira( = no caso c>) através da função p com sinal contrário; reciprocamente o que sai na função p entra pelo mesmo ponto fronteira ( =no caso c>) nafunçãoq com sinal oposto. Na seguinte figura representa-se evolução temporal das funções p ( + ct), q( ct) e u(t, ) =p ( + ct)+q( ct), cada linha representando um pequeno acréscimo temporal em relação à linha anterior:

7 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) 7 p ( + ct) q( ct) u(t, )

8 37 a AUA AMIV EAN, EC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UT.PT) Eemplo Considere-se a seguinte concretização de problema (37.1): De acordo com a solução (37.) temos De acordo com a solução (37.3) temos u t = u c u (t, ) = u (t, π) = u (,)=sen com [,π]. u t (,)= u (t, ) =cos(ct)sen(). p () = 1 sen () =q (), primeiramente para [,π] e em consequência, pelas relações p (τ) = q ( τ) e p (τ) == p (τ +π), paratodo R. Portanto u (t, ) = 1 sen ( + ct)+1 sen ( ct). Não se trata de soluções diferentes, mas da mesma solução vista sob perspectivas alternativas. De facto usando igualdades trigonométricas bem conhecidas concluímos 1 sen ( + ct)+1 sen ( ct) =cos(ct)sen().